长沙市一中2026届高三4月月考试卷（十）数学试卷（含答案）

长沙市一中2025-2026学年高三下学期第十次月考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，且，则（）A.1 B. C.2 D.2.复数的值为（）A. B. C.-2 D.23.已知平面向量为单位向量，且，若，则=（）A. B. C. D.4.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（）A.1 B.2 C.1或2 D.1或5.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且满足，则的离心率为（）A. B. C. D.6.已知定义在上的函数fx=cosωx-3sinA.2353 B.2357.已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（）A.1 B. C. D.28.现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第k=1,2,3,⋯,n个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是（）A. B. C. D.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分.部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.2025湖南省足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念，多元融合激活文旅消费，助推体育产业创新，创造经济效益超4亿元.下表是常规赛各队的积分：永州队常德队长沙队株洲队娄底队衡阳队郴州队岳阳队益阳队邵阳队湘潭队怀化队湘西州队张家界队2226352723201919181311654则下列说法正确的是（）A.积分数据的众数为19B.积分数据的第70百分位数为22C.积分数据的中位数为19.5D.积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差小10.已知抛物线，其焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别记为，则（）A.是定值 B.以为直径的圆过点C.对于上的任一点恒成立 D.面积的最小值为211.已知数列满足an+1=2an,an<3A.当时， B.当时，C.，使得 D.为等比数列的充要条件是三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知，则__________（用数字作答）13.在正方形所在平面内，动点在以点为圆心且与直线相切的圆上，设AP=xAB+yACx,y14.已知函数有三个不同的零点，且，则的最小值为_________.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，，平面，点M是CD的中点，点N是PB的中点．（1）求证：．（2）求二面角的余弦值．16.已知数列的前n项和为，对任意n∈N*，满足且数列满足，b3=127，其前3（1）求数列的通项公式；（2）将数列的项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a1,b1,b2,a217.已知直线与双曲线有唯一的公共点.（1）若点在直线上，求满足条件的所有直线l的方程；（2）已知直线的斜率为，且过点且与垂直的直线交x轴于交轴于点.是否存在定点使得当点在双曲线上运动时，动点使得为定值?若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.18.已知函数（e为自然对数的底数）.（1）求证：时，；（2）设的解为（，2，…），.①当时，求的取值范围；②判断是否存在，使得成立，并说明理由.19.现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数.（1）求点所有可能的坐标；（2）求投掷骰子8次后棋子在原点的概率；（3）投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值.湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三下学期第十次月考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，且，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由，得，进而得到关于的方程，结合集合的性质求解即可.【详解】由，得，所以或或，解得或或或.当时，A=1,4,3，，不符合集合元素的互异性，故舍去.当时，A=1,4,4，，不符合集合元素的互异性，故舍去.当时，，，符合题意.当时，A=1,4,1，，不符合集合元素的互异性，故舍去.故.2.复数的值为（）A. B. C.-2 D.2【答案】A【解析】【分析】根据复数除法与乘法法则求结果.【详解】,选A.【点睛】本题重点考查复数的乘除运算，属于基本题.考查基本求解能力.3.已知平面向量为单位向量，且，若，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律，利用夹角计算公式求出余弦值即可.【详解】由向量，为单位向量，又，知.因为，则c=2所以cosb4.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（）A.1 B.2 C.1或2 D.1或【答案】C【解析】【分析】应用余弦定理计算求解.【详解】因为，，由余弦定理得1=3+c2则或.5.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且满足，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】设，则，在中，由正弦定理得，又因为，所以，整理得，因为为三角形内角，，所以，则，故，即是以为直角顶点的直角三角形，在中，

，由勾股定理得，代入，得，解得，所以，根据椭圆的定义，有，所以，因此，椭圆的离心率.6.已知定义在上的函数有最小值，但无最大值，则ω的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】，因为，，则ωx+π3∈[π又有最小值，但无最大值，所以，解得7.已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】由正棱台性质可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，然后由截面图结合勾股定理列出关于球的半径的等量关系。即可求解.【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为，由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，，则．设内切球的球心为O，半径为，则正三棱台的高，内切球与相切于点M，根据圆的性质可知，．则，如图：所以，即，所以正三棱台的高为28.现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据全概率公式及条件概率公式，结合第三次取出的球为白球的概率列出关于的方程，求出的值，再根据条件概率公式求解即可.【详解】设“取出第个袋子”为事件，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”为事件，则，且两两互斥，，，PBA所以PA所以.令，解得.所以第1个袋子：1红4白；第2个袋子：2红3白；第3个袋子：3红2白；第4个袋子：4红1白；第5个袋子：5红.设前两次取出白球为事件，第三次取出白球为事件，则...所以PD故在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分.部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.2025湖南省足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念，多元融合激活文旅消费，助推体育产业创新，创造经济效益超4亿元.下表是常规赛各队的积分：永州队常德队长沙队株洲队娄底队衡阳队郴州队岳阳队益阳队邵阳队湘潭队怀化队湘西州队张家界队2226352723201919181311654则下列说法正确的是（）A.积分数据的众数为19B.积分数据的第70百分位数为22C.积分数据的中位数为19.5D.积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差小【答案】AB【解析】【分析】先从小到大排列，再应用众数，百分位数，中位数及方差定义计算判断各个选项即可.【详解】将14支球队的积分，按照从小到大的顺序排列：4,5,6,11,13,18,19,19,20,22,23,26,27,35；积分数据的众数为19，A选项正确；因为14×0.7=9.8，所以积分数据的第70百分位数为第10个数据，即22，B选项正确；积分数据的中位数为19，C选项错误；积分最高的4队积分的平均数为23+26+27+354=2734，积分最高的积分最低的4队积分的平均数为4+5+6+114=612，积分最低的所以积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差大，D选项错误；10.已知抛物线，其焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别记为，则（）A.是定值 B.以为直径的圆过点C.对于上的任一点恒成立 D.面积的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及三角形面积公式求解判断AD；利用抛物线的几何性质推理判断BC.【详解】抛物线的焦点，准线，设直线，，由消去，得，则，对于A，，A正确；对于B，连接，由，得，则，因此以为直径的圆过点，B正确；对于C，取中点，当为中点时，，则，C错误；对于D，，当且仅当时取等号，因此面积的最小值为2，D正确.11.已知数列满足an+1=2an,an<3aA.当时， B.当时，C.，使得 D.为等比数列的充要条件是【答案】BCD【解析】【分析】AB项通过递推数列规则依次求解各项，可得重复项，进而得到周期规律即可判断；C项取特殊首项求和即可；D项从充分性与必要性两个角度证明.【详解】对于A，由，，，，，，，由递推关系以下过程重复操作，后面各项依次为所以数列除了外，从开始成周期为3规律，从到共2025项，2025是3的倍数，所以，故A错误；对于B，根据选项A可知，S2026=5+675×2+4+1=4730对于C，取，则，则，，依此下去，对，都有，此时，，即∃a1=3∈N*，使得对于D，若，则，则，，依此下去，对，都有，则成立，故，数列为等比数列；若数列为等比数列，设公比为，假设数列中存在某项，则，，可得，又，解得，由，可知，故必存在某项，则，即，这与公比矛盾，假设错误，即数列中任意一项都小于，自然；再假设数列中存在某项，则，即，则由，可知时，，且数列为递增数列，故存在某项，则，这与数列递增矛盾，假设也错误；所以数列中也不存在大于且小于的项，又等比数列中各项均不为，故数列中任意一项均小于，即；综上所述，为等比数列的充要条件是，故D正确.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知，则__________（用数字作答）【答案】0【解析】【分析】利用二项式定理和赋值法求解即可.【详解】由题意可知，令，则.13.在正方形所在平面内，动点在以点为圆心且与直线相切的圆上，设，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】以为原点建系，先求圆的方程，再将向量式转化为点的坐标，把目标式转化为求的最大值，最后用直线与圆相切的几何方法求解，得最大值为．【详解】如图，设正方形的边长为，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则各点坐标为，，，，直线的方程为，由题意得，圆与直线相切，所以圆的半径等于点到直线的距离，即，所以，动点的轨迹方程为，因为，，所以，设，则，，所以，问题转化为：在圆上，求的最大值，设，即，当直线与圆相切时，取得最值，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，，所以，因此，的最大值为．14.已知函数有三个不同的零点，且，则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】易知，当时将方程变形为，令gx=x⋅2x-1+x-22x-1-1，，由可得关于对称，由题意可得有两个实数根，即函数与有两个交点，进而得出，，代入，利用一元二次函数的性质可得答案．【详解】由题意得f1=所以是函数的一个零点，当时，令，可得，令gx=x⋅g=2-x-x⋅所以关于对称，若要函数有三个不同的零点，则需满足方程有两个实数根，即函数与有两个交点，且两交点关于直线对称，又，可得，，所以3x1当且仅当，，时，等号成立，此时的最小值为．四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，，平面，点M是CD的中点，点N是PB的中点．（1）求证：．（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）取PA的中点E，连接EN，DE，利用中位线定理得到四边形为平行四边形，则，再利用四边形是正方形得到线线垂直，利用面面垂直的判定即可证明；（2）利用空间向量计算二面角即可.【小问1详解】取PA的中点E，连接EN，DE，因为点M是CD的中点，点N是PB的中点，可得，且，而，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，而平面，所以平面平面，因为平面，平面平面，，所以平面，而平面，所以，所以；【小问2详解】以A为坐标原点，以AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，底面是边长为6的正方形，点M是CD的中点，点N是PB的中点，则，，，，所以，，所以，，易得平面AMB的法向量，设平面AMN的法向量为，则，即，令，则，可得3，，，所以，因为二面角的平面角为锐角，所以它的余弦值为．16.已知数列的前n项和为，对任意满足且数列满足，，其前3项和为（1）求数列的通项公式；（2）将数列的项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：求这个新数列的前33项和【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由题意可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，可求出，再由an=A1,n=1An-An-1,n≥2可求出数列的通项公式，由等差中项法可知数列为等差数列，从而可得出数列为等比数列，且设该等比数列的公比为q q>0（2）求出数列的前项和，对进行分类讨论，利用等差数列和等比数列的求和公式可得出.【小问1详解】且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，∴Ann=1+12n-1=当时，an=A也适合上式，所以，an=n，即，所以，数列为等差数列，设其公差为，则，，所以，数列是正项等比数列，设其公比为，则.由题意可得b3=b因此，bn【小问2详解】数列的前项和为An=n数列的前项和为Bn=1①当n=2k k∈N②当n=4k+1 k∈N特别地，当时，也适合上式；③当n=4k-1 n∈N综上所述，Sn所以.17.已知直线与双曲线有唯一的公共点.（1）若点在直线上，求满足条件的所有直线l的方程；（2）已知直线的斜率为，且过点且与垂直的直线交x轴于交轴于点.是否存在定点使得当点在双曲线上运动时，动点使得为定值?若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在定点使得当点在双曲线上运动时，动点使得为定值，定点坐标为，定值为.【解析】【分析】(1)根据题意知直线为切线或者与渐近线平行的直线(2)根据题意知直线为切线，做法线，找到坐标之间的关系即可得；【小问1详解】因为直线与双曲线有唯一的公共点，所以直线与双曲线渐近线平行或者与双曲线相切；双曲线渐近线，情况一：直线l的斜率不存在。此时直线l的方程为：，不符合题意；情况二：直线l的斜率存在.设直线l的方程为：，即，将直线方程代入双曲线方程中得到：1-2k2直线平行于双曲线的渐近线，此时，直线l的方程为：或者；直线与圆锥曲线相切，此时，且Δ=-32k2+4k-5设切点Qx0,y0，则，过点因为点在直线上，所以代入切线方程可得x0=4y0所以代入双曲线方程得：，解得y0当y0=-2时，，切点为：，切线方程为，当时，，切点为：207,-2切线方程为，综上，满足条件的直线l的方程为有以下四条：【小问2详解】直线的斜率为，且所以直线为切线，由(1)过点的切线方程为，所以，，，过点且与垂直的直线（法线）的斜率为：，法线方程为：，因为该直线交x轴于，交轴于点，所以令得：，所以，同理可得，所以动点的坐标为P32x0所以设Px,y，则所以，化简得，所以动点的轨迹方程为，根据双曲线的定义，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为常数，因为，所以，该双曲线的焦点坐标为：F1对于双曲线上的任意点，都有，所以存在定点使得当点在双曲线上运动时，动点使得为定值，定点坐标为M-36,0,N318.已知函数（e为自然对数的底数）.（1）求证：时，；（2）设的解为（，2，…），.①当时，求的取值范围；②判断是否存在，使得成立，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）①；②不存在，理由见解析.【解析】【分析】(1)根据给定条件构造函数，利用导数探讨其单调性推理作答.(2)①探讨函数的性质，作出部分图象，结合图象可得，构造函数并求出其值域得解；②分类讨论的各种取值条件下值的范围即可判断作答.【小问1详解】，令，求导得：，令，，，则在上单调递减，，在上单调递减，则，，即，所以时，.【小问2详解】①，当或或时，，当或时，，于是得在，，上都递增，在，上都递减，而，又时，，，的部分图象大致如图，观察图象知，当时，又，必有，令，，因在上递减，则在上递减，因此，在上递增，则当时，，所以的取值范围是；②不存在，因，则当时，而，必有，即不成立，当时，不存在或者，有，即不成立，当时，，令，，，而当时，，，则，即在上递增，，因此，，，于是得，又，，且函数在上递增，故有，即，不成立，综上，不存在，使得成立.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.19.现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图