2026年甘肃兰州市九年级模拟考试（一模）数学试题（试卷+解析）

2026年甘肃兰州市九年级模拟考试（一模）数学试题（试卷+解析）第一部分试卷（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）−3的绝对值是（）

A.3B.−3C.13D.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.平行四边形B.等边三角形C.正方形D.圆

计算(3a+2b)(3a−2b)的结果是（）

A.3a2−2b2B.已知一元二次方程x2+4x+3=0，则此方程根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.无法判断根的情况在铺设钢轨时，两条钢轨必须平行，已知其中一条钢轨的倾斜角为30°，则另一条钢轨与水平面的夹角为（）

A.30°B.60°C.90°D.150°

关于x的一元二次方程kx2+6x−9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A.k>−1B.k>−1且k≠0C.k≥−1D.在平行四边形ABCD中，E是AB上一点，AE:EB=2:3，连接AC、DE，交于点F，则△AEF与△CDF的面积比为（）

A.2:3B.2:5C.4:25D.4:9《张丘建算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载一道古算题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”设鸡有x只，兔有y只，可列方程组为（）

A.{x+y=352x+4y=94B.{x+y=354x+2y=94

如图，以AB为直径的⊙O经过点C，∠ACB=90°，若∠BAC=30°，BC=2，则⊙O的半径为（）

A.2B.4C.3D.2某商场为了解顾客满意度，随机抽取部分顾客进行调查，将调查结果分为“非常满意”“满意”“一般”“不满意”四类，绘制扇形统计图，其中“满意”对应的扇形圆心角为144°，则“满意”的顾客占总调查人数的百分比为（）

A.30%B.40%C.50%D.60%

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）

A.a>0B.b2二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）分解因式：x3若点A（−2，y₁）、B（1，y₂）、C（2，y₃）都在反比例函数y=k如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，将△ABC沿直线DE折叠，使点B与点A重合，则DE的长为________．新定义：若点P（x，y）满足xy=x+y（x≠1），则称点P为“定积垂旋点”．已知点A（2，m）是“定积垂旋点”，则m的值为________．三、解答题（本题共11小题，共75分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（5分）计算：12+(π−3.14（5分）解不等式组：{2x−1≤3（5分）先化简，再求值：(1−1x+1)÷（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，求证：BD=CE．（6分）某小区为了解居民对垃圾分类知识的掌握情况，随机抽取50名居民进行测试，成绩（满分10分）如下表所示：

成绩（分）5678910人数（人）351015125

（1）求这50名居民成绩的平均数；

（2）求这50名居民成绩的中位数．

（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象交于A（−1，4）、B（4，n）两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．（7分）如图，某小组用测角仪测量小山上方信号塔的高度，点A、B、C在同一条水平线上，CD⊥AC，垂足为C，在A处测得信号塔顶端D的仰角为45°，在B处测得信号塔顶端D的仰角为60°，测得信号塔底端C的仰角为30°，AB=20米，求信号塔CD的高度（结果保留根号）．（7分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，连接AC、BC．

（1）求证：∠ACD=∠B；

（2）若AD=12，CD=6，求⊙O的半径．（8分）某商店购进一批进价为20元/件的商品，售价为x元/件（x>20），销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系为y=−10x+500．

（1）求该商店销售这批商品的利润W（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式；

（2）当售价定为多少元时，利润最大？最大利润是多少？

（8分）在正方形ABCD中，E是BC边上一点，F是CD边上一点，且BE=CF，连接AE、BF，交于点O．

（1）求证：AE⊥BF；

（2）若正方形边长为4，BE=1，求AO的长．

（8分）如图，二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于A（−1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是二次函数图象上一点，且点P在x轴上方，连接PA、PB，若△PAB的面积为8，求点P的坐标；

第二部分解析一、选择题（每小题3分，共33分）【答案】A

【解析】根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数，∴|−3|=3，故选A．

【答案】B

【解析】A.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；B.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；C.正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形；D.圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选B．

【答案】D

【解析】利用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2【答案】B

【解析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0，根的判别式Δ=b【答案】A

【解析】两条平行钢轨与水平面的夹角相等，已知一条倾斜角为30°，则另一条与水平面的夹角也为30°，故选A．

【答案】B

【解析】∵方程是一元二次方程，∴k≠0；又∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=62【答案】C

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠EAF=∠DCF，∠AEF=∠CDF，∴△AEF∽△CDF；∵AE:EB=2:3，∴AE:AB=2:5，即AE:CD=2:5，∴相似比为2:5，面积比为相似比的平方，即4:25，故选C．

【答案】A

【解析】根据题意，“上有三十五头”即鸡和兔的总只数为35，得x+y=35；“下有九十四足”，鸡有2只足，兔有4只足，得2x+4y=94，故选A．

【答案】A

【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=4，∴⊙O的半径为AB的一半，即2，故选A．【答案】B

【解析】扇形统计图中，某部分占总体的百分比=该部分对应圆心角÷360°，∴“满意”的顾客占比为144°÷360°=40%，故选B．

【答案】C

【解析】A.抛物线开口向下，∴a<0，错误；B.抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，错误；C.抛物线对称轴为x=−1，开口向下，∴当x>-1时，y随x的增大而增大，正确；D.抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，错误，故选C．二、填空题（每小题3分，共12分）【答案】x(x+2)(x−2)

【解析】先提取公因式x，再利用平方差公式分解：x3−4x=x(x【答案】k<0

【解析】∵点A（−2，y₁）、B（1，y₂）、C（2，y₃）在反比例函数图象上，且y₁>y₃>y₂，∴反比例函数图象在第二、四象限，∴k<0（第二象限x负、y正，第四象限x正、y负，且x越大，y越接近0）．

【答案】2

【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，AB=2AC；由BC=6，得AC=23，AB=43；折叠后点B与A重合，∴DE垂直平分AB，∴∠BED=90°，BE=23；在Rt△BDE中，∠B=30°，∴DE=12BE=2．

【答案】2

【解析】∵点A（2，m）是“定积垂旋点”，∴代入xy=x+y得：2m=2+m，解得m=2．

三、解答题（共75分）（5分）【解析】

原式=23+1−2×32+1

（5分）【解析】

解不等式①2x−1≤3，得2x≤4，x≤2；

解不等式②x+2>−1，得x>−3；

∴不等式组的解集为−3<x≤2；

数轴表示：（略，画数轴，标注−3（空心）、2（实心），区间覆盖两点之间）

（5分）【解析】

原式=(x+1−1x+1)÷(x+1)(x−1)x+1

=xx+1×x+1(x+1)(x−1)（6分）【证明】

∵AB=AC，AD=AE（已知），

∴AB−AD=AC−AE（等式的性质），

即BD=CE．

（6分）【解析】

（1）平均数=5×3+6×5+7×10+8×15+9×12+10×550

=15+30+70+120+108+5050=39350=7.86（分）；

（2）将50名居民成绩从小到大排列，第25、26名的成绩均为8分，

（6分）【解析】

（1）将A（−1，4）代入反比例函数y=mx，得4=m−1，∴m=−4，

∴反比例函数解析式为y=−4x；

将B（4，n）代入反比例函数，得n=−44=−1，∴B（4，−1）；

将A（−1，4）、B（4，−1）代入一次函数y=kx+b，

得{−k+b=44k+b=−1，解得{k=−1b=3，

∴一次函数解析式为y=−x+3（7分）【解析】

设BC=x米，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=90°，

∴AC=BC·tan30°=33x；

∵AB=20米，∴AB=AC−BC=20，即33x−x=20（此处修正：应为AC=AB+BC，正确推导如下）

正确推导：设BC=x米，在Rt△BCC'（C'为C在AB延长线的垂足，此处简化），∠BCC=90°，∠DBC=60°，∠CBC=30°，

在Rt△BCD中，CD=BC·tan60°=3x；

在Rt△ACD中，∠DAC=45°，∴AC=CD=3x；

∵AC=AB+BC，AB=20，∴3x=20+x，

解得x=203−1=10(3+1)，

（7分）【解析】

（1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠ACD+∠OCA=90°；

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠OAC=90°；

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠ACD=∠B；

（2）设⊙O的半径为r，则OA=OC=r，OD=AD−OA=12−r；

在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC2+CD2=OD2，

（8分）【解析】

（1）利润W=（售价−进价）×销售量，

即W=(x−20)(−10x+500)=−10x²+500x+200x−10000=−10x²+700x−10000；

（2）∵W=−10x²+700x−10000=−10(x−35)²+2250，

a=−10<0，∴抛物线开口向下，当x=35时，W有最大值，最大值为2250；

答：当售价定为35元/件时，利润最大，最大利润是2250元．

（8分）【解析】

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°；

又∵BE=CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF；

∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠AOB=90°，即AE⊥BF；

（2）∵正方形边长为4，BE=