数学极限与连续性解题策略习题试题

数学极限与连续性解题策略习题试题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.当x→2时，函数f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}的极限是（）A.0B.2C.4D.不存在2.函数f(x)=\begin{cases}x+1&x<0\\0&x=0\\x-1&x>0\end{cases}在x=0处（）A.极限存在B.连续C.左右极限相等D.无法判断3.若函数f(x)在x=a处连续，则下列说法正确的是（）A.f(x)在x=a处可导B.\lim_{x→a}f(x)不存在C.f(x)在x=a处极限存在D.f(a)必为正数4.函数g(x)=\frac{\sinx}{x}在x=0处（）A.极限不存在B.极限为1C.不连续D.左右极限不等5.若\lim_{x→a}f(x)=A且\lim_{x→a}g(x)=B(B≠0)，则\lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=()A.\frac{A}{B}B.ABC.A-BD.06.函数h(x)=\sqrt{x-1}的定义域是（）A.(-∞,1)B.[1,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,1]7.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上（）A.必有最大值和最小值B.必有极值C.必可导D.必存在零点8.当x→0时，\frac{\tanx}{x}的极限是（）A.0B.1C.∞D.-19.函数k(x)=\frac{1}{x^2}在x=0处（）A.极限存在B.连续C.左右极限不等D.无定义10.若函数f(x)在x=a处不连续，则（）A.f(x)在x=a处必不可导B.\lim_{x→a}f(x)不存在C.f(a)必为0D.f(x)在x=a处必存在跳跃间断二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.若\lim_{x→3}f(x)=5，则\lim_{x→3}(f(x)+2)=()12.函数f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处极限为（）13.若函数g(x)在x=0处连续，且g(0)=3，则\lim_{x→0}g(x)=()14.函数h(x)=\begin{cases}x^2&x≤1\\2x&x>1\end{cases}在x=1处左右极限分别为（）和（）。15.若\lim_{x→a}f(x)=0且\lim_{x→a}g(x)=2，则\lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=()16.函数k(x)=\sqrt{4-x^2}的定义域是（）。17.若函数f(x)在闭区间[0,2]上连续且f(0)=-1，f(2)=3，则根据介值定理，f(1)（）取到介于-1和3之间的某个值。18.当x→0时，\frac{\sin2x}{x}的极限是（）。19.函数m(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}在x=0处（）定义。20.若函数f(x)在x=a处存在极限但f(a)无定义，则x=a处为（）间断点。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处必连续。（）22.函数f(x)=|x|在x=0处连续。（）23.若\lim_{x→a}f(x)存在且等于A，则f(x)在x=a处必存在。（）24.函数f(x)=\frac{1}{x}在x=0处极限存在。（）25.任何分段函数在分段点处都不连续。（）26.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在(a,b)内必有极值。（）27.当x→0时，\frac{\sinx}{x}的极限是1。（）28.函数f(x)=x^2在x=0处左右极限相等。（）29.若函数f(x)在x=a处连续，则\lim_{x→a}f(x)必存在。（）30.函数f(x)=\begin{cases}x&x≠0\\1&x=0\end{cases}在x=0处不连续。（）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）31.简述函数在某点处连续的三个条件。32.解释什么是无穷小量，并举例说明。33.写出极限\lim_{x→∞}\frac{1}{x}的值，并说明理由。34.说明函数f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处极限存在但不连续的原因。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）35.讨论函数f(x)=\begin{cases}x^2&x<1\\2&x=1\\x+1&x>1\end{cases}在x=1处的连续性，若不连续如何修改f(1)使其连续？36.求极限\lim_{x→0}\frac{\sin3x}{\tan2x}。37.函数f(x)在闭区间[0,3]上连续，且f(0)=-1，f(3)=2。根据介值定理，证明存在c∈(0,3)使得f(c)=1。38.设函数g(x)=\sqrt{x}，讨论其在x=4处的连续性，并求\lim_{x→4}g(x)。【标准答案及解析】一、单选题1.B2.A3.C4.B5.A6.B7.A8.B9.A10.A解析：1.分子分母同时约去(x-2)，得f(x)=x+2，极限为4，但选项有误，正确应为4。2.左极限\lim_{x→0^-}f(x)=1，右极限\lim_{x→0^+}f(x)=-1，左右极限不等，极限不存在。3.连续性不要求可导，但可导必连续。4.\lim_{x→0}\frac{\sinx}{x}=1，利用等价无穷小替换。5.极限的运算法则。6.被开方数非负，x≥1。7.最大最小值定理。8.\lim_{x→0}\frac{\tanx}{x}=\lim_{x→0}\frac{\sinx}{x}\cdot\frac{x}{\tanx}=1。9.\lim_{x→0}\frac{1}{x^2}=∞，极限不存在。10.不连续包含多种情况，但必满足极限不存在或函数值与极限不等。二、填空题11.712.213.314.1,215.016.[-2,2]17.是18.219.否20.跳跃解析：14.左极限\lim_{x→1^-}h(x)=1，右极限\lim_{x→1^+}h(x)=2。18.等价无穷小\frac{\sin2x}{2x}\cdot\frac{2x}{x}=2。三、判断题21.√22.√23.×24.×25.×26.×27.√28.√29.√30.√解析：23.极限存在不要求函数在该点有定义。24.\lim_{x→0}\frac{1}{x}不存在。25.分段函数也可能在分段点连续，如f(x)=|x|在x=0连续。四、简答题31.函数f(x)在x=a处连续需满足：①f(a)存在；②\lim_{x→a}f(x)存在；③\lim_{x→a}f(x)=f(a)。32.无穷小量是指极限为0的变量，如x→0时x^2。33.\lim_{x→∞}\frac{1}{x}=0，因为分母趋于无穷大，分数趋于0。34.\lim_{x→1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x→1}(x+1)=2≠f(1)=1，故不连续。五、应用题35.左极限\lim_{x→1^-}f(x)=1，右极限\lim_{x→1^+}f(x)=2，左右极限不等，极限不存在，故不连续。修改f(1)=2使其连续。36.\lim_{x→0}\frac{\sin3x}{\tan2x}=\lim_{x→0}\frac{\sin3x}{3x}\cdot\frac{2x}{