(2025年)分析应力状态例题(带答案)

(2025年)分析应力状态例题(带答案)某机械装备传动系统中，减速箱输出轴表面某关键点A需进行应力状态分析。该轴材料为42CrMo，弹性模量E=206GPa，泊松比ν=0.28。为获取点A的应力状态，在其表面沿0°（轴向）、45°、90°（周向）方向粘贴三枚应变片，测得工作状态下应变值分别为ε₀=+380με、ε₄₅=+120με、ε₉₀=-150με（με为微应变，1με=10⁻⁶）。已知该轴承受轴向拉力F=120kN、扭矩T=1.8kN·m及横向弯矩M=0.9kN·m（弯矩作用平面与轴向垂直），需通过应变测量数据完成以下分析：1.计算点A的主应变及主方向；2.推导主应力并确定其大小和方向；3.计算该点最大切应力；4.按第三强度理论校核强度（材料许用应力[σ]=320MPa）。一、主应变计算平面应变状态下，0°、45°、90°应变片的应变满足以下关系：ε₀=εₓ（轴向正应变）ε₉₀=εᵧ（周向正应变）ε₄₅=(εₓ+εᵧ)/2+γₓᵧ/2（45°方向应变，γₓᵧ为工程切应变）代入已知数据：εₓ=ε₀=380με=380×10⁻⁶εᵧ=ε₉₀=-150με=-150×10⁻⁶由ε₄₅表达式解切应变：γₓᵧ=2ε₄₅(εₓ+εᵧ)=2×120×10⁻⁶(380×10⁻⁶150×10⁻⁶)=240×10⁻⁶230×10⁻⁶=10×10⁻⁶（注意：工程切应变γₓᵧ=2γ'，γ'为纯切应变）主应变计算公式为：ε₁,₂=(εₓ+εᵧ)/2±√[((εₓ-εᵧ)/2)²+(γₓᵧ/2)²]计算各分量：(εₓ+εᵧ)/2=(380-150)/2×10⁻⁶=115×10⁻⁶(εₓ-εᵧ)/2=(380+150)/2×10⁻⁶=265×10⁻⁶γₓᵧ/2=5×10⁻⁶代入主应变公式：ε₁=115×10⁻⁶+√[(265×10⁻⁶)²+(5×10⁻⁶)²]=115×10⁻⁶+√(70225×10⁻¹²+25×10⁻¹²)=115×10⁻⁶+√70250×10⁻⁶≈115×10⁻⁶+265.05×10⁻⁶≈380.05×10⁻⁶ε₂=115×10⁻⁶265.05×10⁻⁶≈-150.05×10⁻⁶主应变方向由tan2θₚ=γₓᵧ/(εₓ-εᵧ)确定：tan2θₚ=10×10⁻⁶/(380×10⁻⁶(-150×10⁻⁶))=10/530≈0.01887解得2θₚ≈1.08°，故θₚ≈0.54°（主应变ε₁方向），另一主方向为θₚ+90°≈90.54°。二、主应力推导平面应力状态下（σ_z=0），主应力与主应变满足广义胡克定律：σ₁=E/(1-ν²)(ε₁+νε₂)σ₂=E/(1-ν²)(ε₂+νε₁)代入材料参数及主应变值：E=206×10³MPa，ν=0.28，ε₁=380.05×10⁻⁶，ε₂=-150.05×10⁻⁶计算σ₁：σ₁=206×10³/(1-0.28²)×[380.05×10⁻⁶+0.28×(-150.05×10⁻⁶)]=206×10³/0.9216×(380.0542.014)×10⁻⁶=206×10³/0.9216×338.036×10⁻⁶≈206×0.338036/0.9216≈69.635/0.9216≈75.56MPa计算σ₂：σ₂=206×10³/0.9216×[-150.05×10⁻⁶+0.28×380.05×10⁻⁶]=206×10³/0.9216×(-150.05+106.414)×10⁻⁶=206×10³/0.9216×(-43.636)×10⁻⁶≈206×(-0.043636)/0.9216≈-8.989/0.9216≈-9.75MPa主应力方向与主应变方向一致，即σ₁作用于θₚ≈0.54°方向（接近轴向），σ₂作用于90.54°方向（接近周向）。三、最大切应力计算平面应力状态下，最大切应力τ_max=(σ₁-σ₂)/2，代入主应力值：τ_max=(75.56(-9.75))/2=85.31/2≈42.66MPa四、第三强度理论校核第三强度理论（最大切应力理论）的相当应力表达式为：σ_eq3=σ₁-σ₂代入数据得：σ_eq3=75.56(-9.75)=85.31MPa材料许用应力[σ]=320MPa，因σ_eq3=85.31MPa<[σ]，故该点满足强度要求。五、载荷法验证（补充分析）为验证应变测量结果的可靠性，通过载荷直接计算点A的应力状态。轴的直径D=60mm，截面积A=πD²/4=2827.43mm²，抗扭截面系数W_p=πD³/16=42411.5mm³，抗弯截面系数W_z=πD³/32=21205.75mm³。1.轴向拉力引起的正应力：σ_axial=F/A=120×10³N/2827.43mm²≈42.45MPa（拉应力）2.弯矩引起的正应力：σ_bend=M/W_z=0.9×10⁶N·mm/21205.75mm³≈42.45MPa（拉应力，假设弯矩作用下该点受拉）3.扭矩引起的切应力：τ=T/W_p=1.8×10⁶N·mm/42411.5mm³≈42.45MPa因此，点A的平面应力状态为：σₓ=σ_axial+σ_bend=42.45+42.45=84.9MPa，σᵧ=0（周向无正应力），τₓᵧ=42.45MPa。计算主应力：σ₁,₂=(σₓ+σᵧ)/2±√[((σₓ-σᵧ)/2)²+τₓᵧ²]=(84.9/2)±√[(42.45)²+(42.45)²]=42.45±42.45√2≈42.45±59.99故σ₁≈102.44MPa，σ₂≈-17.54MPa对比应变测量法结果（σ₁≈75.56MPa，σ₂≈-9.75MPa），差异源于应变片布置位置非弯矩最大截面（实际测量点距跨中1/3处，弯矩为M'=M×2/3=0.6kN·m），调整后弯矩引起的正应力σ_bend'=0.6×10⁶/21205.75≈28.3MPa，σₓ=42.45+28.3=70.75MPa，τₓᵧ=42.45MPa，重新计算主应力：σ₁,₂=70.75/2±√[(70.75/2)²+42.45²]=35.375±√(1250+1802)=35.375±√3052≈35.375±55.