数学 重积分的计算及其应用

引言重积分不仅是高等数学定义在多维空间区域上的一种积分，且在现代数学中还是一个数学知识较独特，应用相对更加广泛的重要理论内容，也是在多元函数积分学里占据重要地位，同时也是定积分的重要推广及应用的发展.其中二重积分和三重积分的综合应用最为广泛，而二重积分与三重积分的联系在于，二重积分从上面连接定积分，下面又引出了三重积分。二重积分的实际计算方法主要在二维空间域上，利用极坐标系和直角坐标系下将二重积分化为二次积分.但是求解二重积分的过程往往不是一蹴而就的，也会出现仍然困难的计算问题，这时，我们就要根据不同的情况采用特殊的算法计算.由于二重积分计算的多样性，则二重积分的实际应用也有多样性，其多样性体现在如何求曲线积分，曲面积分，空间立体图形体积等实际问题.而三重积分的计算就是将三重积分化为累次积分.并且在化累次积分时有不同情况，届时也可采用不同方法，可以使用坐标面投影法，也可以使用坐标轴投影法，更可以选择换元法来求解.三重积分在我们现实生活中的应用主要体现在，利用三重积分可以求解不规则物体的体积、质量、重心等的问题.通过上述对于重积分计算与实际应用的总结，我们可以看出在数学的各个领域中，重积分的计算都有着非常重要的价值，所以我认为，我们对重积分更深入的研究是非常有必要的.本文将寻找重积分的简便的算法以及多方面的应用，做到更全面系统地研究重积分。1重积分的定义与性质1.1二重积分的定义与性质1.1.1二重积分的定义设是定义在有界闭区域D上的有界二元函数，将D分为任意的n个区域，，任意取一点，若存在一个常数，使得，记作则可以说可积，并且数可以称为函数在D上的二重积分.1.1.2二重积分的性质二重积分与定积分有相似的性质，我将其概括为如下几例性质1.性质2逐项积分.性质3对各区域具有可加性（D1,D2无公共内点）性质4若，则.性质5若在上可积，且，则这里是积分区域的面积.性质6二重积分的中值定理设在有区域上为连续的二元函数，且，有最后我总结中值定理的几何意义，曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积.1.2三重积分的定义与性质1.2.1三重积分的定义类似于第一型曲线积分，求一个空间立体的质量就可导出三重积分，设密度函数，为了求的质量，我们把分割成个小区域.在每个中任取一点，则其中为小块的体积，.设为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，是一个确定的常数.若对任给的正数,总存在某一正数,使得对于任的意分割,只要,属于分割的所有积分和都有则称在上可积，数J称为函数在上的三重积分，记作其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区域.当时，在几何上表示的体积.[1]1.2.2三重积分的性质性质7性质8依据区域可加性，若，且与无公共内点，则性质9若与在上可积，且，则性质10积分绝对值不等式[1]2重积分的计算2.1二重积分的计算2.1.1利用直角坐标系计算 二重积分是一个特定的乘积和式极限，然而使用定义来求解二重积分是麻烦的，所以在二维空间域上研究可将二重积分简单化解决.首先，二重积分只和被积函数以及其积分域有关，而其积分域D可以分为X型域与Y型域.在Y型域下应先积X后Y，在X型域下应先积Y后X.定理1在x型域下计算，首先由几何意义，若，则，此时V为平行截面面积为已知立体图形的体积，截面为曲边梯形面积为.定理2在Y型域下二重积分的计算同理可知，V是平行截面面积为已知的立体图形的体积，界面为曲边梯形，面积为于是.例1计算二重积分，其中区域是由所围成的.解先对方程组求解，得出交点坐标.画出积分在区域的图形，yD如图2.1所示为，yDox此题可用先积后积的累次积分即ox图2.1.图2.1例2设是由直线，及围成的区域，试计算的值.解若用先对后对的积分，则.由于的原函数无法用初等函数形式表示，则改用另外顺序的累次积分，.由分部积分法，即可算得.由此可以总结在二重积分转化为二次定积分的时候，关键就在于如何正确地确定积分限，以及选择积分次序.[2]2.1.2利用极坐标系计算当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为时，采用极坐标变换，，往往能达到简化积分区域或被积函数的目的.此时，变换的函数行列式为应用极坐标替换，可以将直角坐标系中的二重积分化为极坐标系的，能简化二重积分的计算，如下二重积分的极坐标替换是在研究过程中，我总结了在极坐标系下的二重积分化为二次积分的几点计算方法（1）若原点且平面上射线常数与的边界至多交于两点，则可表示成，，于是有类似地，若平面上的圆与的边界至多交于两点，则必可表示为，，所以（2）若原点为的内点，的边界的极坐标方程为，则可表示成，，所以（3）若原点0在的边界上，则为，，于是有例3计算，其中为区域.解采用极坐标，此时表示为，，故有例4计算，其中为圆域:.解由于原点为的内点，故有与极坐标相类似，我们也可以作下面的广义极坐标变换，，并计算得.[3]2.1.3利用二重积分的几何意义计算二重积分的几何意义是各部分区域上柱体体积的代数和，在平面上方的取正，在平面下方的取负.例5计算二重积分，其中.解投影区域为圆域.被积函数为半球面由二重积分的几何意义得.[4]2.1.4利用格林公式计算定理6若函数，在闭区域上连续，且有连续的一阶偏导数，则有，这里为区域的边界曲线，并取正方向.例6有，其中是以，，为顶点的三角形闭区域.解令，，则，应用格林公式有2.1.5利用函数奇偶性与区域对称性计算设区域关于轴对称，若函数关于是奇函数，因为函数关于是奇函数，即关于原点对称，所以有，则；若函数关于是偶函数，因为函数关于是偶函数，即关于轴对称，所以有，则（其中是区域位于轴右侧的部分）.设区域关于轴对称，若函数关于是奇函数，因为函数关于是奇函数，即关于原点对称，所以有，则；若函数关于是偶函数，因为函数关于是偶函数，即关于轴对称，所以有，则（其中是区域位于轴上侧的部分）.设区域关于轴和轴都对称，同时也是关于对称的，因为区域关于轴和轴对称，也是关于对称，所以有，，则有（其中是区域位于第一象限中的部分）.例8计算，其中.解法1利用极坐标计算这个二重积分，时，分为四个区域，即在一，二，三，四象限的部分依次记为.解法2利用奇偶对称性由于积分区域关于轴和轴对称，而被积函数关于和是偶函数.因此有.2.2三重积分的计算2.2.1利用直角坐标计算在直角坐标系下求解三重积分时，一般是先将三重积分化为累次积分.但是，将三重积分化为累次积分时，可以“先一后二”也可以“先二后一”.不同的题目，适合化为哪一种累次积分，还得具体问题具体分析.[5]2.2.1.1坐标面投影法如图2.2，在面上闭区域的投影为闭区域过作一条与轴平行且穿过闭区域的直线，这时，该直线和闭区域的边界曲面分别相交于两点.首先，我们将看作定值，则就可以看成只关于的函数.令图2.2在面上，我们可知图2.2因此，在上的二重积分有所以三重积分可以化为这种方法称为坐标面投影法，即先一后二法.[6]闭区域称为型空间区域.同理，我们可以得到型空间区域.例9求，其中是由曲面，与平面和所围成的闭区域.解由题意可知.2.2.1.2坐标轴投影法如图2.3，把积分区域向轴投影，得投影区间，用过点，且平行于面的平面去截，得到截面.在截面上，可以计算二重积分.此时是关于的函数，只需计算单积分的值就可以得到三重积分的值.由分析可知，三重积分可以化为这种方法被称为坐标轴投影法，即先二后一法.[7]闭区域.这样的闭区域被称为-型空间区域.图2.3同理，可以得到-型，-型空间区域.图2.3例10计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.解由题意可知..例11计算，其中是曲面，，以及抛物柱面所围成的闭区域.解由题意可知2.2.1.3利用对称性化简三重积分计算若是三维空间中关于面对称的有界闭区域，为V上的连续函数，则有当关于为奇函数时，.当关于为偶函数时，.其中为在面上方的部分.[8]2.2.2利用柱坐标及球坐标计算2.2.2.1柱坐标变换设为空间中的一点，在面上的投影为由图2.4可知，，，因此在面上的的极坐标为，我们称为的柱坐标.图2.4因此，我们得到柱坐标变换.图2.4而相对应的雅克比行列式所以.例13计算其中由与所围的立体.解2.2.2.2球坐标变换图2.5如图2.5，在面内的投影为，轴正半轴与的夹角为，轴正半轴与的夹角为，，则为的球坐标.图2.5因此，我们得到球坐标变换而对应的雅克比行列式所以，三重积分的球坐标变换公式为.[12]例14计算，其中是由锥面和球面围成.解，..3重积分的应用3.1二重积分的应用3.1.1计算曲面的面积3.1.1.1当曲面由显函数给出设曲面方程为，在面上的投影区域为，设小区域，点，为上过的切平面以边界为准线，母线平行于轴的小柱面，截曲面为；截切平面为，则有．为在面上的投影，，，曲面的面积元素，所以.曲面面积公式为:同理可得,设曲面的方程为:曲面面积公式为:设曲面的方程为:曲面面积公式为:3.1.1.2曲面由参数方程给出若曲面的方程是由参数给出，则，为封闭可求积的有界区域，假定函数，和为在域内连续可微分的函数，则对于曲面的面积有公式其中，，．例15求锥面被柱面所截部分的曲面面积．解曲面在平面上的投影区域:，而，，则．3.1.2计算平面薄片的重心，转动惯量及对质点的引力3.1.2.1计算平面薄片的重心设平面上有个质点，它们分别位于处，质量分别为，则该质点系的重心的坐标为，．设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度为，假定在上连续，则平面薄片的重心坐标为，．当薄片是均匀的，即面密度是常量，重心成为形心，则，，其中为闭区域的面积．例16求均匀密度的平面薄板重心:半椭圆.解设密度为（常数），由于图形关于轴对称，故.又质量又轴的静力矩故重心.3.1.2.2计算平面薄片的转动惯量设平面上有个质点，它们分别位于处，质量分别为，则该质点系对于轴和轴的转动惯量依次为，．设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度为假定在上连续，则平面薄片对于轴和轴的转动惯量分别为，．例17求由抛物线及直线所围成的均匀薄板（面密度为常数）对于直线的转动惯量．解转动惯量元素为．3.1.2.3计算平面薄片对质点的引力设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度，假定在上连续，计算该平面薄片对位于轴上的点处的单位质点的引力．薄片对轴上单位质点的引力为，，，（其中为引力常数）[13]例18均匀薄片，计算对于轴上一点处的单位质量的引力．解由对称性，引力必在轴方向上，因此故(其中是引力常数）.3.1.3计算空间立体体积由二重积分的几何意义知，当时，表示以平面上的区域为底，以为顶的曲顶柱体的体积，因此确定曲顶柱体的底与顶是利用二重积分计算空间立体体积的关键.例19求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积.解底面半径为，两个圆柱方程为与.利用对称性，只求出在第一卦限部分的体积，然后再乘以即得所求的体积.第一卦限的立体是以为曲顶，以四分之一圆域为底的曲顶柱体，所以，于是.3.1.4计算曲线及曲面积分3.1.4.1计算曲线积分对平面闭曲线上的对坐标曲线的积分，当判断的计算较容易时，可以考虑使用格林公式，将格林公式化为二重积分.例20计算，其中是沿圆周，逆时针方向.解利用格林公式计算此积分，记所围的区域为，则有.3.1.4.2计算曲面积分第一型曲面积分可化为二重积分来计算:定理7设有光滑曲面，为上的连续函数，则.例21计算第一型曲面积分，其中为平面在第一卦限里的部分.解，则，，，.第二型曲面积分也可化为二重积分来计算:定理8设是定义在光滑曲面上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有.类似地，当在光滑曲面上连续时，有，这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧.当在光滑曲面上连续时，有，这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧.例22计算第二型曲面积分，其中是由平面和所围的四面体表面并取外侧为正向.解由对称性知，原式3.2三重积分的应用3.2.1计算转动惯量设物体占有空间闭区域，在点处的密度为，假定在上连续，则该物体对坐标面转动惯量为该物体对坐标轴的惯量为例23求边长为且密度均匀的立方体关于其任一棱边的转动惯量.解如图3.1所示,正方体的棱长为，我们求正方体关于在轴上的那一棱边的转动惯量，有公式图3.1图3.13.2.2计算引力设物体的密度函数为该物体对立体外质量为的质点的引力F在三个坐标轴上的投影为[15]其中为引力系数，.例24设球体有均匀的密度，求对球外一点（质量为）的引力（引力系数为）.解设球体为球外一点的坐标为,有对称性显然可知因此我们只需计算，而其中所以.令.对做柱坐标变换得到，由此可知.因此.所以因此，该球体对的引力为.

结语在本次研究的课题中，重积分的计算在许多平面、空间几何、物理以及其他实际的问题中，都被认为有着非常广泛的应用，在进行重积分计算的过程中，我们往往需要寻求更加简便的计算方法，如利用直角坐标系计算、换元法等计算方法，将问题化繁为简.当然，任何数学方法都不是一成不变的，在具体运用不同的计算方法的过程中，我们还更需要较强的对几何直观性的认知能力，以便于将积分表示成适当的几何形式，从而简化计算过程，提高计算效率.因此在本论文中介绍的几种方法并非一定是全面和简单的，也并非一定都是独立存在的，有时候还需要我们将它们相互配合起来使用.总之，在对重积分进行求解的过程中，我们要充分运用已知的，确定的条件选择一种最佳的计算方法，将各种公式和计算方法熟练应用，对于衔接积分各个部分的内容，以及推广其解题思路，是大有裨益的.而只有我们在经历了大量的实践计算后，才能锻炼出熟练选择最简单的计算方法的能力.

参考文献[1]华东师范大学数学系．数学分析(下)[M]．北京:高等教育出版社,2001(8):152-153.[2]韩振来.数学分析同步辅导及习题精粹(下)[M].天津:天津科学技术出版社,201