2027届新高考数学热点精准复习函数与方程

数学

高考总复习2027届新高考数学热点精准复习函数与方程1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理,并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.课标要求1.函数的零点(1)概念:对于一般函数y＝f(x),我们把使__________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)等价关系:f(x)=0x轴f(x)=0(3)函数零点存在定理①条件:a.函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线;b.

_______________<0.②结论:函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得_____________,这个c也就是方程f(x)＝0的解.f(a)·f(b)f(c)=02.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且___________________的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间____________,使所得区间的两个端点逐步逼近______,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)·f(b)<0一分为二零点常用结论与微点提醒1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝2x的零点为0.(

)(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a,b)⊆D内有零点,则f(a)·f(b)<0.(

)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0),当b2－4ac<0时没有零点.(

)(4)求函数零点的近似值都可以用二分法.(

)√×(2)中f(a)·f(b)<0是连续函数y＝f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件,故(2)错误.(4)中二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.

B3.(北师大必修一P132T3(2)改编)函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(

)A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)B函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,且f(1)＝－1,f(2)＝1,则f(1)f(2)<0,故f(x)的零点所在的区间为(1,2).4.(人教A必修一P156T13改编)若函数f(x)＝2x＋a在(－1,1)内存在一个零点,则a的取值范围是____________.

(－2,2)由题意得f(－1)f(1)＝(－2＋a)(2＋a)<0,解得

－2<a<2.

B

考点一函数零点所在区间的判断(2)若a<b<c,则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(

)A.(a,b)和(b,c)内 B.(－∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,＋∞)内 D.(－∞,a)和(c,＋∞)内A函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数,最多有两个零点,由于a<b<c,则a－b<0,a－c<0,b－c<0,因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0,f(b)＝(b－c)(b－a)<0,f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.感悟提升确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y＝f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.训练1(1)根据表格中的数据可以判定方程lnx－x＋2＝0的一个根所在的区间为(

)C设f(x)＝lnx－x＋2＝lnx－(x－2),易知函数f(x)在(1,＋∞)上的图象连续,由表格数据得f(1)>0,f(2)>0,f(3)＝ln3－(3－2)＝1.099－1＝0.099>0,f(4)＝ln4－2＝1.386－2<0,f(5)<0,则f(3)·f(4)<0,即在区间(3,4)上,函数f(x)存在一个零点,即方程lnx－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3,4).x12345lnx00.6931.0991.3861.609x－2－10123A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)

B例2(1)函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为____________.

2函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象的交点个数,在同一直角坐标系中,分别作出f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象,如图所示,由图可知,两图象有2个交点,故原函数有2个零点.考点二函数零点个数的判断(2)(2026·青岛调研)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)＝x,则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数为____________.

4由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.在同一直角坐标系内,分别作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象,如图所示,观察图象可知它们有4个交点,即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.感悟提升求解函数零点个数的基本方法(1)直接法:令f(x)＝0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点.(2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.训练2(1)(2026·抚顺六校协作体质检)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(

)A.0 B.1C.2 D.3C

6

(0,1]

考点三函数零点的应用y＝f(x)的图象与直线y＝a没有交点;

角度2

根据零点范围求参数范围例4(2026·西安模拟)函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1,4)内有零点,则实数k的取值范围为____________.

(－1,4]

感悟提升已知函数有零点求参数值或取值范围的常用方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.训练3(1)已知函数f(x)＝log2(x＋3)＋4x＋a在(－1,1)内有零点,则实数a的取值范围是____________.

(－6,3)

[－1,1]则g(x)至少有2个零点等价于直线y＝m与y＝f(x)的图象至少有2个交点,由图可知－1≤m≤1,即实数m的取值范围为[－1,1].对于嵌套函数的零点问题,通常先“换元解套”,将嵌套函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解.对于形如y＝F(f(x))的嵌套函数零点问题,换元求解的思路如下:嵌套函数的零点问题

11

令f(x)－2＝t,则有f(t)＝2,易得此时有4个解,分别为t1＝－2,t2＝0,t3＝e－2,t4＝e2,结合图象可得,当t＝－2时,即f(x)＝0,有1个解;当t＝0时,即f(x)＝2,有4个解;当t＝e－2时,即f(x)＝2＋e－2,有3个解;当t＝e2时,即f(x)＝2＋e2,有3个解.所以原方程共有1＋4＋3＋3＝11个解.

(－∞,1)∪(1,3)∪{4}画出函数f(x)的图象,如图所示,设f(x)＝t,则原方程可化为t2＋(a＋1)t＋a＝0,解得t＝－1或t＝－a.由图可知当t＝－1时,f(x)＝－1有2个根.因为原方程有4个不同的实数根,则f(x)＝－a有2个根,所以－a＝－4或－3<－a<－1或－a>－1,解得a＝4或1<a<3或a<1,则实数a的取值范围为(－∞,1)∪(1,3)∪{4}.

C

(0,1)解得f(x)＝1或f(x)＝a,由函数f(x)的图象可知,f(x)＝1只有1个根,所以f(x)＝a需有2个根才满足题意,所以实数a的取值范围是(0,1).

C

2.用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据:f(1)≈－0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈－0.04,关于下一步的说法正确的是(

)A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.1875)D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.0625)C

B

4.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(

)A.0 B.1C.2 D.3B法一

∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.法二设y1＝2x,y2＝2－x3,在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示,在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x),当x∈[0,1]时,f(x)＝2x－1,则方程f(x)＝|log9x|的实根的个数为(

)A.3 B.4C.5 D.6C由奇函数可知f(2－x)＝f(x)＝－f(－x),即f(x＋2)＝－f(x),f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x),则f(x)是周期为4的周期函数,又由f(2－x)＝f(x),得f(x)的图象关于直线x＝1对称,作出函数y＝|log9x|与函数y＝f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,共有5个交点,即方程实根的个数为5.

B

D

D

二、多选题9.(2025·徐州质检)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线,它的部分函数值如表所示,则(

)ABD由题表可知f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,所以f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,x123456y202.30152.013－10.5813.273－10.733－156.314A.f(x)在区间(2,3)上不一定单调 B.f(x)在区间(5,6)内可能存在零点C.f(x)在区间(5,6)内一定不存在零点 D.f(x)至少有3个零点因为函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)均存在零点,即f(x)至少有3个零点,故D正确;对于A,由于只知道f(2),f(3)的函数值,故无法判断f(x)在区间(2,3)上的单调性,故A正确;对于B,C,虽然f(5)<0,f(6)<0,但是函数f(x)在(5,6)内的取值情况未知,所以函数f(x)在(5,6)内可能存在零点,故B正确,C错误.故选ABD.10.已知关于x的方程|ax＋3|＝－ax2－6x－a(a>0)有两个不相等的实数解,则实数a的取值可能为(

)A.1 B.2C.3 D.6

AB11.下列说法正确的是(

)A.函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是(－4,0),(2,0)B.方程ex＝3＋x在区间(－3,0),(0,10)上有解C.函数y＝3x,y＝log3x的图象关于y＝x对称D.用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间(1,1.25)上对于A,令f(x)＝x2＋2x－8＝0,解得x1＝－4,x2＝2,即函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是－4和2,故A错误;对于B,令f(x)＝ex－x－3,则f(－3)＝e－3>0,f(0)＝－2<0,f(10)＝e10－13>210－13＝1024－13＝1011>0,BC所以由函数零点存在定理可知f(x)＝ex－x－3在区间(－3,0),(0,10)内有零点,即方程ex＝3＋x在区间(－3,0),(0,10)内有解,故B正确;对于C,函数y＝3x,y＝log3x互为反函数,所以函数y＝3x,y＝log3x的图象关于y＝x对称,故C正确;对于D,用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(