小学二年级数学下册“有余数的除法”单元整体教学设计

小学二年级数学下册“有余数的除法”单元整体教学设计

  一、单元整体解读与设计理念

  本单元教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，立足于小学二年级学生的认知发展规律与心理特征，围绕“有余数的除法”这一核心内容展开。本单元并非孤立的知识点传授，而是将“有余数的除法”视为整数除法认知序列中承上启下的关键一环，是学生从“等分除”到“包含除”，从“整除”到“非整除”认知飞跃的枢纽。设计理念强调“素养导向、学生中心、整体建构”。通过创设真实的、富有挑战性的问题情境，引导学生在动手操作、合作探究、数学表达与问题解决的过程中，主动建构“余数”概念，深刻理解“余数一定比除数小”的道理，初步掌握有余数除法的竖式计算方法，并发展学生的数感、运算能力、几何直观和应用意识。教学设计打破传统课时壁垒，采用单元整体架构，将知识逻辑、认知逻辑与学习活动逻辑有机融合，规划了“概念形成—算法理解—问题解决—思维拓展”四阶递进的学习路径，确保学生在深度参与中实现意义理解与能力迁移。

  二、单元学习目标体系

  （一）知识与技能目标：学生能够结合平均分的具体情境，理解余数产生的意义与必要性。能够用语言、算式、图形等多种方式表征平均分后有剩余的情况。掌握有余数除法的横式与竖式书写方法，并能正确计算除数是一位数的有余数除法。理解并牢固掌握“余数必须小于除数”的算理。能运用有余数除法的知识解决简单的实际问题。

  （二）过程与方法目标：经历从“实物操作”到“表象操作”再到“符号操作”的完整抽象过程，体会数学建模思想。在探索“余数”与“除数”大小关系的过程中，经历观察、比较、归纳、猜想、验证等数学活动，发展合情推理与初步的演绎推理能力。学会在小组合作中清晰表达自己的操作过程和思考结果，并倾听、质疑、反思他人的观点。

  （三）情感态度与价值观目标：在解决“分不完”的真实问题中，感受数学与生活的紧密联系，体验数学学习的实用性和趣味性。在探索规律、克服认知冲突的过程中，培养勇于探究、严谨求实的科学态度和克服困难的意志品质。通过数学游戏和拓展活动，感受数学的内在美和逻辑力量。

  三、单元内容结构与核心概念网络

  本单元以“有余数的除法”为核心概念，向外辐射出相互关联的四个知识模块，共同构成一个立体化的认知网络。第一模块是“概念的缘起与意义”，核心在于理解余数是对“平均分”物体时“有剩余且不够再分一份”这一现实状况的数学抽象。这是整个单元学习的认知起点和意义基础。第二模块是“算法的探索与理解”，包括横式（如：13÷4=3……1）和竖式两种表达形式的建构。重点是理解竖式中每一步的含义，特别是商与除数乘积的由来，以及被除数减去这个积后得到余数的过程，这是计算的程序性知识核心。第三模块是“核心规律的发现与论证”，即“余数必须小于除数”。这不仅是确保除法算式唯一性和计算正确的规则，更是除法定义和算理的必然要求，是连接概念与算法的桥梁。第四模块是“知识的迁移与问题解决”，将前三个模块获得的知识与技能应用于多样化的现实情境和数学问题中，如周期排列、最优方案等，实现从理解到应用的升华。这四个模块并非线性排列，而是在教学实施过程中螺旋上升、交错渗透，最终在学生的认知结构中形成一个稳固的整体。

  四、单元教学重难点剖析

  （一）教学重点：余数概念的本质建立。这不能仅靠记忆定义完成，必须让学生在丰富的分物活动中，亲历“正好分完”和“分后有剩余”两种结果的对比，深刻体会“余数”是平均分过程“未完成”状态的量化表征。有余数除法竖式的算理理解。学生需清晰理解竖式计算是对平均分过程的程序化记录，商的定位、乘减的步骤均对应着具体的分物动作。

  （二）教学难点：“余数一定比除数小”的算理内化。学生往往能记住这个规则，但在计算中容易遗忘或犯错，其根本原因是对这一规律的必然性理解不深。这需要通过设计关键冲突（如：如果余数等于或大于除数会怎样？）引导学生进行反向思考和操作验证，从而从除法“平均分”的意义上认同其必然性。灵活运用有余数除法的知识解决实际问题，特别是理解商和余数在具体情境中的含义与单位。这需要学生具备较强的信息提取、数学建模和解释反思能力。

  五、单元教学整体规划与课时安排

  本单元教学计划用6个课时完成，采用“总—分—总”的结构进行整体规划。第1课时为“单元启动与概念初建课”，旨在创设大情境，激发认知冲突，初步感知余数。第2、3课时为“算法探究与规律发现课”，重点进行竖式教学和“余数小于除数”规律的深度探究。第4、5课时为“综合应用与问题解决课”，着重训练学生在复杂情境中应用知识解决问题的能力。第6课时为“单元整理与思维拓展课”，通过知识梳理、错例分析和跨学科主题学习，实现认知的结构化与迁移。每一课时都承载着单元目标的一部分，彼此紧密衔接，前一课时的产出是后一课时学习的输入，形成一个连贯的学习历程。

  六、单元学习评价设计

  本单元评价遵循“教学评一体化”原则，贯穿学习全过程，采用多元化的评价方式。过程性评价主要包括：课堂观察记录，重点关注学生在操作、讨论、汇报中的参与度、思维层次和合作表现；学习单分析，通过分析学生课上的操作记录、算式书写、问题解答，诊断其概念理解与技能掌握程度；基于问题的访谈，针对关键难点（如对余数意义的解释）进行个别或小组访谈，深入了解学生的思维过程。总结性评价设计了一份单元学习测评卷，包含概念理解（如看图写算式、判断对错并说理）、计算技能（竖式计算）、问题解决（情境应用题、规律探索题）等多个维度，其中特别设计了开放性问题和非常规问题，以考查学生的高阶思维。此外，还设立了“数学探究小报告”作为表现性评价任务，要求学生围绕“生活中有余数的除法”进行调查、记录和分析，评估其知识应用与综合实践能力。所有评价结果均用于及时反馈，调整教学，并为学生提供个性化的学习支持。

  七、教学资源与环境准备

  为支撑学生进行深度探究与具身学习，需准备以下资源与环境：实物操作材料，包括足够数量的小棒、圆片、豆子、糖果等，供学生进行分一分、摆一摆的活动。信息技术资源，利用交互式电子白板或平板电脑，展示动态的分物过程，实现操作过程的放大与共享，并运用相关软件设计互动练习和游戏。学习支持工具，设计结构化的《探究学习单》，引导学生记录操作过程、书写算式、提出猜想；制作“余数除法”思维导图模板，用于单元知识整理。环境布置方面，将教室课桌椅调整为适合小组合作探究的岛屿式布局，墙面设置“问题墙”和“成果展示区”，用于张贴学生提出的真问题和探究过程中的精彩作品、发现。

  八、教学实施过程详案

  （第一课时：分物游戏中的“新朋友”——余数的意义）

    核心任务：通过连续的分物操作活动，从“正好分完”过渡到“有剩余”，经历余数概念的自然产生过程，初步理解余数的含义，并能用语言和算式进行表征。

    环节一：情境激疑，唤醒旧知（约10分钟）。教师创设贴近学生生活的“课后服务点心分享”情境：“老师准备了6颗糖果，要平均分给2个表现好的小朋友，每人能分到几颗？”学生利用学具（圆片代表糖果）动手操作，并列出除法算式6÷2=3（颗）。追问：“‘平均分’和‘除法’在这里是什么意思？”引导学生复习“等分除”的含义和整除算式的意义。随后变化数量：“如果是7颗糖，还是平均分给2人，结果会怎样？”让学生先猜想，再操作。学生很快发现“每人分3颗，但还多出1颗”。教师板书学生描述：“分到不能再分为止，还剩下1颗。”引出认知冲突：剩下的这1颗，在数学上该如何表示呢？

    环节二：操作探究，概念初建（约20分钟）。开展“分一分，记一记”小组探究活动。为每组提供不同数量的物品（如8支铅笔、9个橘子、10颗棋子）和不同的份数要求（平均分成2份、3份、4份）。任务一：动手分一分，将分的结果用语言向组员说清楚。任务二：想办法把分的过程和结果记录下来，可以画图，也可以尝试写算式。教师巡视指导，重点关注学生如何记录“剩余”的部分。小组汇报时，选取有代表性的记录进行展示对比：有的用图画表示多出一个；有的写成“8÷4=2，多1个”；有的尝试写出“9÷2=4……1”。教师抓住记录中的“……”和“多1个”，揭示：“在数学中，我们用一种规范的方式来表示这种平均分后还有剩余的情况。比如，9个橘子，平均分给2人，每人分4个，还剩余1个。可以写成：9÷2=4（个）……1（个）”。带领学生认读算式，明确算式中每个数的名称：9是被除数，2是除数，4是商，1是余数。并强调“……”读作“余”。让学生将自己操作中的其他情况，也用这种规范的算式写出来。

    环节三：对比辨析，深化理解（约10分钟）。出示两组操作结果：一组是整除的（如10÷5=2），一组是有余数的（如10÷3=3……1）。引导学生观察对比：“这两种分的结果有什么相同点和不同点？”学生通过讨论发现：相同点是都是在进行“平均分”；不同点是第一种全部分完，没有剩余，第二种分完后还有剩余，这个剩余的数就是“余数”。教师小结：“当平均分一些物品时，有时正好分完，没有剩余；有时会有剩余，且剩下的部分不够再分一份。这个剩下的、不够再分一份的数，我们就叫它‘余数’。这样的除法就是‘有余数的除法’。”布置课堂练习：看图写算式。呈现一些平均分后有剩余的情景图（如11个草莓，每4个一盘），让学生独立写出有余数的除法算式，并说出算式中每个数的含义。

    环节四：反思小结，联结生活（约5分钟）。引导学生回顾：“今天我们认识了除法家族的一位新成员，它叫什么？它是在什么情况下产生的？”请学生举例说说生活中哪些地方会遇到“平均分后有剩余”的情况（如：分组活动多出几人、一盒铅笔分给几人后还剩几支等）。教师总结，并预告下节课将学习如何用更简洁的竖式来计算有余数的除法。

  （第二课时：竖式记录“分”的过程——有余数除法的计算）

    核心任务：理解有余数除法竖式书写每一步的算理，掌握其计算方法，并能正确计算。

    环节一：复习迁移，引入竖式（约8分钟）。出示横式：13÷4=？……？。让学生用手中小棒分一分，得到结果：13÷4=3……1。提问：“我们之前学习没有余数的除法时，可以用竖式来记录计算过程。那么，有余数的除法能不能也用竖式来计算呢？竖式该怎么写才能清楚地记录我们刚才分小棒的过程？”激发学生尝试的欲望。

    环节二：探索建构，理解算理（约25分钟）。第一步：教师与学生共同回顾整除竖式（如12÷3）的写法，明确书写格式和各部分含义。第二步：以13÷4为例，进行算理结合的操作演示。教师边用课件演示分小棒，边同步用竖式记录：“一共有13根小棒（被除数13），要平均分成4份（除数4）。我们先想每份最多能分几根？一四得四，二四得八，三四十二，四四十六，16比13大了，所以每份最多分3根（商3）。这个‘3’写在哪里？它表示每份分得的数量，应该写在个位上，对齐被除数的个位。”接着追问：“分掉了多少根？”根据口诀“三四十二”，我们分掉了12根（4×3=12）。这个‘12’写在被除数13的下面，表示已经分掉的部分。然后画横线表示减法：“还剩下多少？”13-12=1，这个‘1’就是分完后剩下的、不够再分一份的根数，它就是‘余数’，写在最下面。”完整呈现竖式。第三步：学生模仿操作。发给每组13根小棒，让学生一边动手分，一边口述分的过程，同时请一位学生在黑板上同步书写竖式。强调每一步操作与竖式每一步记录的对应关系。第四步：尝试练习与辨析。出示：15÷6。学生先独立用小棒分，尝试写竖式。教师巡视，收集典型写法（尤其是错误写法，如商的位置不对、忘记写余数等）进行投影展示，组织学生讨论：“这样写对吗？为什么不对？应该怎么写？”通过辨析，巩固竖式的规范书写和算理理解。

    环节三：巩固算法，形成技能（约10分钟）。进行“森林医生”改错练习。出示几道有典型错误的竖式（如余数比除数大、竖式中漏写余数等），让学生诊断错误并改正。进行基本计算练习。设计层次：第一层，模仿性计算（如17÷5，19÷6）；第二层，（）里最大能填几的练习（如（）×6<43），为试商打基础。练习后组织学生交流计算时的思考步骤。

    环节四：总结延伸，提出猜想（约7分钟）。引导学生观察今天所做的几道竖式（如13÷4=3……1，15÷6=2……3，17÷5=3……2），看看余数和除数有什么关系。学生初步发现“余数都比除数小”。教师顺势提问：“这是巧合吗？余数可能等于4或者比4大吗？如果余数比除数大会怎样？我们下节课一起来研究这个有趣的规律。”

  （第三课时：揭秘“余数”的秘密——余数与除数的关系）

    核心任务：通过大量例证的观察、操作验证和推理论证，发现并理解“余数一定比除数小”的规律，并能运用规律判断计算的正误和进行快速试商。

    环节一：问题驱动，聚焦规律（约5分钟）。直接抛出上节课末尾的问题：“同学们猜想‘余数比除数小’，这到底是不是一条普遍规律呢？余数能不能等于除数？或者比除数大？如果出现这样的情况，意味着什么？”让学生自由发表初步想法，教师不急于评判，而是引导学生进入探究活动。

    环节二：操作验证，归纳发现（约20分钟）。开展“分彩带”探究活动。任务情境：有一根长度为23厘米的彩带，按不同长度截成若干段。探究一：如果每4厘米截一段，能截几段？还剩几厘米？请学生列竖式计算23÷4=5……3。操作验证：用画线段图的方式，在纸上画一条23厘米的线段，每4厘米标记一段，确认最后剩下3厘米，3<4。探究二：如果余数等于4呢？假设算式是23÷4=4……7（余7）。让学生思考并讨论：“如果余数是7厘米，意味着什么？用线段图画一画看。”学生通过画图会发现，如果余下7厘米，这7厘米里面还包含了1个4厘米，实际上可以再截出一段，说明商4太小了，应该商5。从而理解“余数如果等于或大于除数，说明还没有分完，还可以继续分”。探究三：小组系统探究。给每组发放“探究学习单”，提供一组被除数相同、除数不同的算式（如用一堆23颗的棋子，分别按每2颗、3颗、4颗、5颗、6颗、7颗一份来分），要求先列竖式计算，再用学具分一分，将结果（商和余数）记录在表格中。最后观察表格中所有算式的余数和除数，小组讨论发现了什么规律。

    环节三：总结规律，理解本质（约10分钟）。各小组汇报发现，最终全班共识：在有余数的除法中，余数一定要比除数小。教师引导学生从除法意义的角度进行深度理解：“为什么余数必须比除数小？因为我们在平均分的时候，每次分走一份，也就是一个除数那么多。如果剩下的（余数）还能再分一份（等于或大于除数），那我们肯定还会继续分下去，直到剩下的部分比一份的数量（除数）少为止。所以，‘余数比除数小’是平均分过程的必然结果。”将规律板书，并让学生齐读、背诵。

    环节四：应用规律，提升思维（约10分钟）。应用一：快速判断。出示一些有余数的除法算式（包括正确的和错误的，如28÷5=5……3，30÷6=4……6），让学生不计算，直接运用“余数比除数小”的规律判断对错，并说明理由。应用二：灵活试商。出示如（）÷7=4……（），问：“余数可能是哪些数？最大是几？”再如47÷（）=5……2，让学生逆向思考除数可能是几。应用三：解决“猜数”游戏。教师心里想了一个数，用它除以6，商是5，余数最大，这个数是几？余数最小时，这个数是几？通过富有挑战性的问题，让学生灵活运用规律和除法各部分关系解决问题。

  （第四课时：生活中的余数智慧——简单实际问题解决）

    核心任务：能根据具体情境，选择并运用有余数除法的知识解决简单的实际问题，能结合情境合理解释商和余数的意义，并能根据实际情况对结果进行“进一法”或“去尾法”的处理。

    环节一：情境导入，明确问题类型（约10分钟）。呈现两个对比情境。情境A（包装问题）：有22块蛋糕，每6块装一盒，可以装满几盒？还剩几块？情境B（乘车问题）：有22个同学去春游，每辆车限乘6人，至少需要几辆车？先让学生独立列式解答，都会得到22÷6=3（盒）……4（块）和22÷6=3（辆）……4（人）。然后引导学生聚焦讨论：“两个算式一样，答案的含义一样吗？情境A中，商3表示‘可以装满3盒’，余数4表示‘剩下4块装不满一盒’。情境B中，商3表示‘坐满了3辆车’，但剩下的4个人也需要坐车啊，所以还需要1辆车，总共需要3+1=4辆车。”由此引出：在生活中，我们有时要根据实际情况，对计算得到的商进行“加1”（进一法）或“不加1”（去尾法）的处理。

    环节二：策略探究，对比分析（约20分钟）。将学生分成两大组，分别探究一类问题。一组探究“进一法”问题集（如：缝制一个窗帘需要4米布，现有25米布，最多能缝制几个这样的窗帘？）。另一组探究“去尾法”问题集（如：一本练习本7角钱，5元钱最多能买几本？）。要求每组学生：1.读懂问题，画图或摆学具理解题意。2.列式解答。3.讨论：最后的答案是多少？为什么？商需要调整吗？调整的依据是什么？每组完成探究后，派代表进行汇报讲解。教师在关键处追问，引导学生总结：“当问题要求‘至少需要多少容器、车辆、次数’才能装完、运完、做完时，即使余数很小，也需要让商加1（进一法）。当问题要求‘最多可以买几个、装满几盒、做几件’时，剩下的部分不够再买一个、装一盒、做一件了，那么商就是最终答案，不需要加1（去尾法）。”

    环节三：综合应用，巩固提升（约12分钟）。设计一组混合实际问题，让学生先判断属于哪种类型，再列式解答并口答。题目包括：购物问题（带钱限额）、裁剪问题（布料长度）、租船/车问题、分组问题等。例如：“30个同学去划船，每条船最多坐4人，他们至少要租多少条船？”“一根绳子长35米，做一根跳绳需要4米，这根绳子最多能做多少根这样的跳绳？”在学生解答后，重点让学生说一说“商和余数各表示什么”、“为什么这样回答”。

    环节四：总结反思，提炼模型（约8分钟）。引导学生回顾本节课解决的问题，讨论：在解决有关有余数除法的实际问题时，我们的思考步骤是怎样的？师生共同总结步骤模型：1.审题，找出已知信息和问题。2.分析数量关系，确定用什么方法计算（除法）。3.列竖式计算。4.结合具体情境，思考计算结果（商和余数）的实际意义。5.根据问题需要，判断是否需要调整商（进一还是去尾）。6.写出完整的答句。强调“联系实际思考答案”是解决问题的关键一步。

  （第五课时：余数里的排列奥秘——周期规律问题）

    核心任务：探索并发现简单周期现象中的排列规律，能利用有余数除法来准确判断某个位置的图形或物体是什么，体会数学与生活的广泛联系。

    环节一：游戏引入，感知周期（约8分钟）。进行“记忆大挑战”游戏。教师在屏幕上快速闪现两组图形序列，每组闪现3秒。A组：○△□○△□○△□……B组：○△□☆○△□☆○△□☆……。闪现后要求学生凭记忆说出后面一个或几个图形是什么。学生通常对A组序列记忆和预测更准确。教师揭示原因：“因为第一组图形是按照‘○△□’三个一组的顺序不断重复出现的，找到了规律就很容易预测。这种依次不断重复出现的规律就叫‘周期规律’。”引出课题。

    环节二：探究规律，建立模型（约22分钟）。出示问题：教室里挂了一串彩旗，按“红、黄、蓝、绿”的顺序依次排列，第13面彩旗是什么颜色？第一步：化繁为简。引导学生用自己喜欢的方式（画图、列式、文字）来寻找答案。教师巡视，收集不同方法。第二步：方法交流。展示学生方法：画图法（一直画到第13面）、列举法（写序号标颜色）、计算法。重点探讨计算法。引导学生观察：每4面旗为一组（一个周期）。求第13面旗的颜色，就是看13里面有几个4，还余几。列式：13÷4=3（组）……1（面）。追问：“商3和余数1分别表示什么？”（商3表示完整的3组，余数1表示第13面是第4组的第1面。）“那么第13面旗的颜色就是每组中第1面旗的颜色，红色。”第三步：对比优化。将画图法、列举法和计算法进行对比，让学生体会当数字很大时（如第100面），计算法的简便与高效。第四步：模型建构。教师引导学生总结解决此类问题的一般步骤：1.观察，找出排列的周期规律，确定每组有几个物体（除数）。2.列除法算式：总数÷每组的个数。3.看余数。余数是几，就是每组中的第几个；没有余数，就是每组中的最后一个。

    环节三：变式练习，深化理解（约12分钟）。进行分层练习。基础层：直接应用模型。如：“字母序列ABCDABCD……第20个字母是什么？”变式层一：图形序列中每组数量有变化。如：“○□□△○□□△……第16个是什么图形？”（每4个一组）。变式层二：问题反过来。如：“按照△○□的顺序排列，第27个图形是□，你知道每组有几个图形吗？”（引导学生思考：27÷（）=（）……0，或商和余数满足一定关系）。拓展层：解决生活问题。“今天是星期二，从今天起，第15天后是星期几？”（周期是7，计算15÷7=2……1，余1表示周期里的第1天，即还是星期二，但需强调“从今天起”的含义）。

    环节四：联系生活，拓展视野（约8分钟）。请学生说说生活中还有哪些周期现象（四季更替、十二生肖、音乐节奏、红绿灯变换等）。出示一些复杂的周期图案或数列，让学生欣赏，并尝试用今天所学知识进行简单的分析，感受数学规律之美。布置一个小调查作业：观察并记录生活中一个周期现象，并尝试提出一个与之相关的数学问题。

  （第六课时：单元整理与思维拓展）

    核心任务：通过系统梳理，构建“有余数的除法”单元知识网络；通过错例分析和综合挑战，巩固核心概念与技能；通过跨学科主题探究，实现知识迁移与思维升华。

    环节一：知识梳理，构建网络（约15分钟）。以“有余数的除法”为中心词，组织学生进行小组合作，绘制本单元的思维导图或知识树。提示学生可以从以下几个分支展开：1.含义（余数是什么？怎么产生的？）。2.计算（横式、竖式怎么写？计算步骤？）。3.重要规律（余数与除数的关系）。4.应用（解决哪些类型的问题？步骤是什么？）。小组讨论并绘制后，选派代表进行展示讲解。教师在此基础上，呈现一个更为完整、结构化的单元知识框架图，与学生共同回顾、完善，将零散的知识点串联成网。

    环节二：错例诊断，查漏补缺（约15分钟）。教师课前收集本单元学生练习中的典型错例，分类呈现。类型一：概念理解错误（如：认为余数可以比除数大）。类型二：竖式计算错误（商的位置错、忘记写余数、余数比除数大）。类型三：解决问题错误（单位错误、未根据实际情况处理商）。将错例投影，但不直接指出错误，而是让扮演“数学小医生”进行会诊：“这个‘病人’哪里‘生病’了？病因是什么？应该如何‘治疗’（改正）？”通过辨析、争论，深化对算理和规则的理解，避免重复错误。

    环节三：综合挑战，思维提升（约12分钟）。设计一组综合性、开放性的挑战题，供学有余力的学生进行深度思考，也鼓励全体学生尝试。挑战一：推理填空。□÷△=5……6，除