重庆市第一中学高三下学期3月月考数学试卷

2026届重庆市第一中学高三3月月考（六）数学试题卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图1，这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶，忽略花瓶的厚度，该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线(焦距为)的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为，则该双曲线的离心率为（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【详解】由题意，该双曲线的焦距为，实轴长，则，所以该双曲线的离心率为.2.已知集合，则是的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.既不充分又不必要条件 D.充要条件【答案】B【解析】【详解】由，得或，所以是的必要而不充分条件.3.已知向量，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由，得，则，所以4.已知复数满足，则（）A.有最小值1 B.有最大值1C.有最小值2 D.有最大值2【答案】A【解析】【详解】设，则，由，得，解得，则，当且仅当时等号成立，所以有最小值1，无最大值.5.已知为偶函数，则实数（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由题意，函数为偶函数，则，即，则，即，因不恒为0，则，解得.6.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】由，而，，则，又，则，又，，即，故，所以.7.在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（）A.5 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，确定球心O的位置，再利用几何法求出球心O到平面PBC的距离为，再利用等体积法求解即可.【详解】设底面中心为D，取BC的中点E，连接AE，则A，D，E三点共线，连接PE，过点D作底面的垂线，取棱PA的中点Q，在平面PAE中，过Q作PA的垂线，则与的交点即为球心O，正中，，，得，又，即，则，，，由余弦定理得，则，过O作PE的垂线，垂足为G，由，，因为，PA，平面，所以平面，又平面PBC，则平面平面，又平面平面，平面，因此平面PBC，在中，，所以球心O到平面PBC的距离为，则三棱锥的体积为，而，设点到平面的距离为，由，得，解得，则点到平面的距离为.8.与曲线和圆都相切的直线有（）A.1条 B.2条C.3条 D.4条【答案】C【解析】【分析】设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义可得直线的方程为，再根据直线与圆相切，可得，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可.【详解】设直线与曲线相切于点，由，得，则，所以直线的方程为，即，而圆，即的圆心为，半径，由于直线与圆相切，则，即，设，则，由于方程的根为，即一个根在内，另一个根在内，因此，令，得，解得或，令，得或，令，得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，则，，又时，，时，，根据零点存在性定理，可知函数在，，上分别有一个零点，所以满足条件的直线有3条.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.已知这四个数成等差数列，现有样本数据，则（）A.的极差一定大于的极差B.的平均数一定等于的平均数C.的中位数一定小于的中位数D.的方差一定小于的方差【答案】AB【解析】【详解】由题意，的极差为，的极差为，而，则，所以的极差一定大于的极差，故A正确；而的平均数为，的平均数为，所以的平均数一定等于的平均数，故B正确；而的中位数为，的中位数为，由于，因此两者相等，故C错误；由，且和的平均数相等，相对来说比的数据更集中一些，因此的方差一定大于的方差，故D错误.10.已知定义在上的可导函数满足：，若单调递增数列满足：，则（）A.的通项公式可能是B.的通项公式可能是C.函数是增函数D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】对于AB，直接代入解析式检验即可判断；对于C，结合导数的正负判断即可；对于D，结合C及题设分析可得，，进而利用累加法求解判断即可.【详解】对于A，若，则，则，即，与矛盾，故A错误；对于B，若，则，则，即，满足题意，故B正确；对于C，由，则，所以函数是增函数，故C正确；对于D，由C知，函数是增函数，而数列为递增数列，则，即，则，，所以，故D正确.11.已知椭圆上任意一点到左焦点的距离为，到右焦点的距离为(其中为椭圆的离心率).若分别是椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于的任意一点，为椭圆所在平面上的动点，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.的最小值为3B.若点的横坐标为，则的角平分线与轴交点横坐标为C.若外接圆的圆心在外，则D.若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为【答案】ABC【解析】【分析】对于A，设，可得，其中，进而表示出即可求解判断；对于B，设的角平分线与轴交点横坐标，根据题设定义及角平分线性质可得，进而代值计算即可判断；对于C，分析可得最大为，先考虑圆的圆心在上的情况，此时为直角三角形，可求得，进而判断外接圆的圆心在外时的情况；对于D，设，先求出过点的圆的圆心，再得到，进而求解判断即可.【详解】由椭圆，则，即.对于A，设，则，即，其中，则，则时，的最小值为3，故A正确；对于B，由题意，，，点的横坐标为，设的角平分线与轴交点横坐标，由角平分线性质知，则，解得，故B正确；对于C，当点在椭圆上顶点时，最大，此时，则，即，先考虑圆的圆心在上的情况，此时为直角三角形，不妨设点在第一象限，则，即，即，若外接圆的圆心在外，则为钝角三角形，此时，故C正确；对于D，设过点的圆的方程为，设，则，，即则，又，则，，解得，则，所以过点的圆的方程为，则圆心为，而关于对称，则，令，则，代入得，，即，所以点的轨迹方程为，故D错误.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知正项等比数列满足，且，则公比为_____.【答案】0.6【解析】【详解】设等比数列的公比为，且，由，得，即，由，得，即，解得或（舍去），所以等比数列的公比为.13.若展开式中的常数项为1，则_____.【答案】2【解析】【详解】由，其展开式的通项为，，而展开式的通项为，，令，得或或，因为的展开式中的常数项为1，所以，则，又，则.14.已知实数，函数，若，则取最大值时，点到直线的距离为_____.【答案】【解析】【分析】由可得，进而分与异号、与同号或其中一个为0，两种情况结合基本不等式讨论求解即可.【详解】由，则，即，则，即，则，若与异号，则，所以，则，解得，当且仅当，即时等号成立；若与同号或其中一个为0时，，解得.综上所述，取最大值2时，，则点到直线的距离为.四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.在中，内角对边的边长分别是，已知.（1）若满足已知条件的恰有一个，求边长的取值范围；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合题设由正弦定理可得，再根据恰有一个可得或，进而求解即可；（2）由题设结合三角恒等变换公式化简可得，再分、两种情况讨论求解即可.【小问1详解】由正弦定理得，则，即，要使满足已知条件的恰有一个，则或，即或，所以或，则边长的取值范围为.【小问2详解】由，则，则化简得，当时，，因，则，此时；当时，，由正弦定理得①，由余弦定理得，，即②，由①②联立，解得，则，此时.综上所述，的面积为.16.如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点.（1）求证:平面；（2）若，且平面与平面的夹角余弦值为，求侧棱的长度.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形得，再根据线面平行的判定定理即可证明；（2）设，过点作平面，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，进而根据题意并结合平面与平面的法向量求得.【小问1详解】取的中点，连接，在中，且，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，则.又平面，平面，所以平面.【小问2详解】设，过点作直线垂直于平面，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，为的中点，所以，易得，设，由，则，即，所以，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设平面与平面的夹角为，所以，解得，则.17.某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：.（1）现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为.求的概率分布列和期望;（2）将样本的频率视为概率.现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数.【答案】（1）012（2）或40或41【解析】【分析】（1）由题意易得的所有可能取值为，算出对应的概率可得分布列，进一步得数学期望；（2）先得到从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为，再由二项分布概率最大可列不等式求解.【小问1详解】由，所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人，故的取值为，则，的分布列为：012故的期望为.小问2详解】（i）由已知，女生有100人，所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为60人，又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为90人，由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为，则随机变量，令，解得，因为，所以或40或41.18.设抛物线的焦点为是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点作与垂直的直线，若直线与抛物线相交于，两点，①求的最小值；②设，分别是，的中点，过焦点作直线的垂线，垂足为，求证：存在一个定点，使得为定值.【答案】（1）（2）①16；②证明见解析【解析】【分析】（1）由题设可得，再根据抛物线的焦半径公式求解即可；（2）①设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，设，同理可得，进而表示出，再根据基本不等式求解即可；②结合①可得，再分、两种情况讨论求证即可.【小问1详解】由，得，则，即，因为为抛物线上一点，所以，则，即，所以抛物线的方程为.【小问2详解】①由（1）抛物线的方程为，则，由题意，显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，联立，得，则，由于，所以直线的斜率为，设，同理可得，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16.②由①得，，，则，同理，因为，分别是，的中点，所以，若，则直线的斜率为，所以直线的方程为，即，显然直线恒过定点，由题意可知，为直角三角形，则为的中点，满足为定值，此时；若，则直线的方程为，此时直线过点，也满足为定值1.综上所述，存在一个定点，使得为定值1.19.已知函数.（1）若在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（2）若关于的方程的根为，①求证:；②判断数列中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列，并证明你的判断.【答案】（1）（2）①证明见解析；②不存在，证明见解析【解析】【分析】（1）转化问题为对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可；（2）①结合（1）可得，，当且仅当时等号成立，进而得到，可得当时，，进而利用裂项相消法求证即可；②先假设存在，先得到，再结合成等比数列，得到，再由，得到推出矛盾即可求证.【小问1详解】由，，则对于恒