初中数学七年级下册整式除法-单项式与多项式除以单项式教案

初中数学七年级下册整式除法——单项式与多项式除以单项式教案

一、教学背景分析

（一）教材分析

本节内容选自北师大版七年级下册第一章整式的乘除第四节整式的除法第一课时。整式的除法是整式运算的收官之战，上承同底数幂除法、幂的运算性质，下启分式运算与一元二次方程，在数与代数领域处于枢纽位置。教材编排遵循从特殊到一般、从具体到抽象的认知规律，将单项式除以单项式作为除法法则的生成原型，将多项式除以单项式转化为单项式除法的组合应用。本节内容不仅是代数运算技能的综合运用，更是转化思想、类比思想、算法思想的集中载体，对发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养具有不可替代的结构性价值。【教材地位·非常重要】

（二）学情分析

七年级学生已完成有理数运算、幂的运算性质、整式乘法的学习，具备同底数幂除法、单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算经验，这为通过逆向思维与类比迁移学习整式除法奠定了坚实基础。然而，学生容易在符号处理、指数运算、系数与字母分治策略上出现认知断层，特别是当除式中含有单独数字或因式、被除式与除式字母不一致、多项式除以单项式时符号分配律的运用，均构成真实的学习障碍。此外，学生习惯于程序性模仿，对算理的理解常停留于表层，亟需通过问题链驱动深度思考，实现从“怎样算”到“为什么这样算”的认知跃迁。【学情关键·难点预警】

（三）课标要求

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在数与代数领域第三学段明确指出：理解整式除法的算理，能进行简单的整式除法运算；在运算过程中发展抽象能力与推理能力；感悟运算法则与运算律的一致性，体会转化思想。课标同时强调，应通过适切的情境与问题引导学生经历法则的发现过程，避免机械记忆与纯粹操练。基于此，本节设计着力体现过程性与生成性，使算理可视化、法则活动化、应用结构化。

（四）核心素养聚焦

本节核心素养指向如下四个维度：数学抽象——从具体除法算式中提炼单项式除以单项式的一般法则；逻辑推理——运用除法是乘法逆运算及幂的运算性质推导运算法则；数学运算——准确运用法则进行整式除法运算，并能够对多项式除以单项式实施转化；数学建模——将实际情境中的等分问题抽象为整式除法模型。其中运算能力的提升与算理理解的深化构成素养落地的双主线。【核心素养·非常重要】

二、教学目标设计

（一）知识与技能

1.理解单项式除以单项式的运算法则，能准确进行系数、同底数幂、只在被除式中含有的字母三个步骤的分治处理；【基础·必会】

2.掌握多项式除以单项式的转化策略，能够将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式的代数和，并准确合并结果；【核心·高频考点】

3.能运用整式除法解决简单的几何面积分配、工程效率等实际问题，体会代数运算的应用价值。

（二）过程与方法

1.经历从同底数幂除法到单项式除法、从单项式除法到多项式除法的类比迁移过程，感悟从未知到已知、从复杂到简单的转化思想；

2.通过小组合作、算式拼接、错误辨析等数学活动，发展算法设计与优化意识；

3.在法则归纳环节经历“实例操作—共性抽象—文字表述—符号刻画”的完整抽象循环，提升数学表达能力。

（三）情感态度与价值观

1.在攻克运算难点的过程中培养坚韧细致的科学态度，获得成功体验，增强数学自信；

2.通过数学史微介入（引入中国古代《九章算术》中“少广”章开方术蕴含的除法思想）渗透中华优秀传统文化，增强文化认同；

3.感受算法统一之美，体悟数学内部的和谐结构与逻辑自洽。

三、教学重难点

（一）教学重点

1.单项式除以单项式的运算法则及其规范书写；

2.多项式除以单项式的算理与运算程序。

【重点·核心】

（二）教学难点

1.理解“单项式除以单项式，系数相除、同底数幂相除、只在被除式中出现的字母连同指数照写”这一分治策略的内在逻辑，避免将系数相减、指数相除等错误迁移；

2.多项式除以单项式时符号处理，特别是当前面系数为负时多项式每一项除以除式后符号的确定；

3.当除式系数为分数或字母时，系数运算的准确性与指数的精细化处理。

【难点·易错·高频失分】

四、教学方法与策略

本节采用“问题链驱动—活动链支撑—评价链贯穿”的三链融合教学模式。宏观层面运用引导发现法与类比迁移法，使学生经历法则再发现的过程；中观层面采用组内共学法与个体精练相结合，保障思维参与度与技能达成度；微观层面植入可视化脚手架，如“分治拆解图”“符号警示框”“错例医院”等认知支持工具。跨学科视野方面，引入物理学匀速运动中的位移、速度、时间关系，将路程＝速度×时间逆向转化为时间＝路程÷速度，赋予整式除法以物理意义；同时链接计算机科学中位运算除法与多项式除法在编码理论中的应用，为学生埋下算法思维的种子。【教学策略·跨学科融合】

五、教学准备

1.教师准备：导学单（包含三阶闯关任务）、PPT演示文稿（嵌入GeoGebra动态演示字母指数变化）、彩色粉笔、板贴磁力卡片、红蓝双色纠错笔；

2.学生准备：已完成幂的运算性质复习、整式乘法知识树构建，每人准备白板笔及小白板供当堂演算展示；

3.环境准备：前后黑板分区使用，左侧为法则生成区，中间为范例演算区，右侧为变式迁移区；座位采用四人异质小组模式。

六、教学实施过程

（一）创设情境，引入新课（预设5分钟）

教师投影呈现真实问题情境：“航天兴趣小组制作火箭模型，已知某阶段火箭燃烧室内高温气体流速为6×10⁴米/秒，若气体在燃烧室内经过的路程为1.2×10⁹米，求气体流经燃烧室所需时间。”学生快速列出算式t=(1.2×10⁹)÷(6×10⁴)，在小学已有经验基础上迅速算出t=2×10⁴秒。教师追问：“如果路程与速度均用含字母的整式表示，比如12a⁵÷3a²，你还会算吗？它与数字除法有什么联系？”从学生熟悉的科学记数法除法自然过渡到整式除法，揭示课题，明确学习目标。此环节以真实情境唤起认知预备，同时渗透“除法是乘法的逆运算”这一元认知提示。【情境导入·重要】

（二）合作探究，建构新知（预设20分钟）

1.单项式除以单项式法则的生成（12分钟）

（1）问题驱动，激活逆向思维

教师板书：计算12a⁵÷3a²。学生无法直接进行，教师引导：“我们不知道整式除法的法则，但知道整式乘法。想一想，除法和乘法有什么关系？”学生迅速联系除法定义：被除数＝除数×商。于是将问题转化为：求一个整式M，使得3a²·M=12a⁵。学生独立尝试，借助乘法经验发现M＝4a³。教师顺势板书：12a⁵÷3a²＝4a³。【逆向推导·非常重要】

（2）样例集群，抽象共性

教师呈现题组：

①10x⁴y³÷2x²y=5x²y²；

②8a²b⁵÷4ab²=2ab³；

③－6m³n÷2mn=－3m²；

④28x⁵y⁷÷7x³y⁴=4x²y³。

小组任务：观察以上四个等式，讨论商是如何得到的。各组派代表汇报，教师在黑板右侧动态记录学生发现的关键词：系数相除、同字母指数相减、单独字母保留、符号法则。此时教师用红粉笔将学生零散发现整合为三条口诀并板书：

【系数】系数相除作商的系数；

【字母】同底数幂，底数不变指数相减；

【独有】只在被除式里含有的字母，连同指数作为商的一个因式。

此环节是整节课的认知制高点，必须让每一位学生经历从特殊到一般的完整抽象。【核心法则·高频考点·非常重要】

（3）法则精致化与易错点干预

教师抛出思辨问题：“－8x³y²÷2x²y³，能算吗？为什么？”学生警觉除式y的指数3大于被除式y的指数2，除法目前无法进行，从而深刻理解法则适用的前提是被除式字母指数不小于除式对应字母指数。进一步追问：“0.5a²b÷0.1ab²还能算吗？系数是小数怎么办？”学生自然迁移出小数化分数处理策略。教师总结：单项式除以单项式的本质是分治，各处理各的，最后乘起来；任何运算障碍都可以回到乘法逆运算解决。【精致化·难点突破】

1.多项式除以单项式法则的迁移（8分钟）

（1）类比联想，构建联系

教师出示问题：计算(8a³b²－6a²b＋4ab)÷2ab。学生陷入认知冲突——多项式除以单项式，从未见过。教师引导：“大家做过多项式乘单项式，比如2ab·(4a²b－3a＋2)＝8a³b²－6a²b＋4ab。现在反过来了，已知积与一个因式，求另一个因式。这其实就是——”学生齐答：“除法！”于是将问题转化为：求一个多项式N，使得2ab·N＝8a³b²－6a²b＋4ab。学生在乘法经验支持下很快写出N＝4a²b－3a＋2。【转化思想·非常重要】

（2）算法提炼与符号聚焦

教师将算式纵向对齐展示：

(8a³b²－6a²b＋4ab)÷2ab

＝8a³b²÷2ab－6a²b÷2ab＋4ab÷2ab

＝4a²b－3a＋2。

追问：“为什么可以用分配律？”引导学生回顾除法分配律本质：除以一个整式，等于乘这个整式的倒数，而乘法对加法有分配律。更深层剖析：多项式除以单项式，就是用单项式去除多项式的每一项，再把所得的商相加。【算理·重要】

教师即刻出示符号敏感题组：

①(－12x⁴＋6x³－3x²)÷(－3x²)；

②(－2a²b＋4ab²)÷(－½ab)。

学生板演，教师巡查，重点纠察符号错误。针对第一题，学生易出现结果为4x²－2x＋1的符号遗漏；针对第二题，学生处理分数除法时系数易出错。教师现场组织“错例会诊”，将典型错误投影，全班辨析，形成共识：多项式除以单项式，逐项相除时，每项的符号都要参与运算。【高频易错·难点】

（三）例题精析，深化理解（预设12分钟）

1.单项式除以单项式示范与变式

例1（基础保分）：计算

（1）24x⁵y³÷(－8x³y)；

（2）－5a⁵b³c÷15a⁴b³。

教师严格规范书写格式：先定符号，再定系数，再定字母与指数。尤其强调（2）中c只在被除式中出现，照写；b³÷b³＝b⁰＝1，省略不写。学生随堂演练，同位互批。

【书写规范·基础必会】

例2（指数含参数）：已知28xⁿy²÷7x²y²＝4x³，求n的值。

学生需逆向思考：被除式指数与除式指数之差等于商中对应字母指数，建立方程n－2＝3，得n＝5。此题将整式除法与简易方程结合，提升思维含金量。【高频考点·能力进阶】

1.多项式除以单项式分层解析

例3（直接应用）：计算(15x²y－10xy²)÷5xy。

学生独立完成，教师抽取两种不同书写格式（横向分拆式与纵向落笔式）对比，强调步骤完整、约分彻底。

例4（混合指数与系数）：计算(¼a³b²－½ab³＋¾ab)÷⅛ab。

学生遇分数系数普遍恐慌，教师引导化繁为简：将除式乘以8，转化为整数除法；或直接用分数除法法则，每一项乘以除式的倒数。两种思路并行展示，学生惊叹殊途同归，感悟运算策略多样性。【思维拓展·重要】

例5（含幂的乘方前置）：计算[(－2a²b)³－4a⁵b²]÷(－2ab)²。

此题将积的乘方与整式除法嵌套，先算括号内乘方，再作差，最后统一除以单项式。学生需步步为营，先化简被除式，再逐项除。教师通过此题向学生渗透整式混合运算的运算顺序与化简策略，体现知识综合运用。【综合·高频·压轴预备】

（四）变式训练，巩固提升（预设12分钟）

本环节采用“闯关积分”形式，题组设计体现螺旋上升。

第一关：基础扫描（全体必过）

①12m⁴n²÷3m²n；

②－20x⁵y⁴÷5x²y²；

③(16x⁴－8x³＋4x²)÷(－4x²)；

④(3a³b－6a²b²＋9ab³)÷3ab。

学生限时4分钟独立完成，组内交换批阅，全对得1星。

第二关：变式辨析（组内共研）

①下列计算正确的是（）

A.8a³÷2a²＝4a³

B.6x⁵y²÷3x²y＝2x³y

C.(－4m⁴n³)²÷2m³n²＝8m⁵n⁴

D.(9x⁴－12x³)÷3x²＝3x²－4x

学生需逐项辨析错误成因，强化易错点。此题B选项正确；A错在指数运算；C错在乘方未先算；D漏掉常数项。通过纠错倒逼法则内化。【高频错题·非常重要】

②已知一个长方形的面积是6x³－9x²＋3x，宽是3x，求长。

将几何背景代数化，学生列出(6x³－9x²＋3x)÷3x＝2x²－3x＋1，进一步可计算周长，实现几何代数双向融合。

第三关：拓展迁移（小组攻关）

一个计算机算法程序处理多项式除法时采用如下策略：P(x)÷Q(x)，若Q(x)是单项式，则逐项除。已知P(x)＝ax⁴＋bx³＋cx²＋dx＋e，Q(x)＝2x²，且商为3x²－x＋2，无余式。求a、b、c、d、e的值。

此题为逆向待定系数法，学生需理解(ax⁴＋bx³＋cx²＋dx＋e)÷2x²＝3x²－x＋2，从而被除式＝除式×商，展开对比系数，求出a=6，b=－2，c=4，d=0，e=0。此题为跨学科融合点，与计算机科学中的多项式除法实现原理相通，学有余力小组可探讨计算机为什么更愿意用“除以单项式”来模拟一般除法。【拔高·跨学科】

（五）课堂小结，构建网络（预设4分钟）

教师不代替学生总结，而是用三个核心问题驱动回顾：

1.今天我们学习了哪些新的运算？运算的依据是什么？

2.单项式除以单项式时，最容易在哪些环节出错？如何预防？

3.多项式除以单项式是如何“转化”为旧知识的？这种转化思想我们还在哪里用过？

学生先独立思考，在小白板写关键词，然后组内交流，最后全班公共建构知识图谱。教师在黑板上用彩色磁贴逐步生成结构化板书：中心为整式除法，左分支为单项式÷单项式（系数除、同底幂减、单独字母移），右分支为多项式÷单项式（分配律、逐项除、和相加），下方标注转化思想箭头，并链接已学过的同底数幂除法、整式乘法，实现新旧知识网状联结。【知识结构化·重要】

（六）分层作业，拓展延伸（预设2分钟）

A层（基础巩固）：教材第32页习题1.14第1、2、3题；完成计算专练卡A面。要求书写规范，步骤完整。

B层（应用提升）：自己设计三道包含易错点的整式除法题，并附上正确解答与“避坑指南”，下节课用作小组互测素材。

C层（研究拓展）：查阅资料，了解多项式除法在循环冗余校验码（CRC）中的应用，用数学日记形式写一篇200字左右的短文《整式除法如何守护网络通信》，鼓励跨学科视野，融合信息技术。【分层·跨学科】

七、板书设计

由于板书无法使用表格，现以文字描述其结构化布局。整块黑板分为