2026年四川攀枝花市高三二模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页攀枝花市2026届高三第二次统一考试2026.4数学本试题卷满分150分考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码贴在条形码区.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所规定的答题区域内作答，答在本试题卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，集合，则集合（

）A． B． C． D．2．已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则（

）A． B．0 C．1 D．23．抛物线上的点到焦点的距离为（

）A．1 B． C．2 D．4．已知随机变量服从正态分布，且，则（

）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.25．已知函数在处取得极小值，则（

）A． B．1 C． D．36．已知，，则（

）A． B． C． D．7．若正实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．8．已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（

）A． B．2 C． D．1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．某公司近5年的利润情况如下表所示：第年12345利润/亿元23457利用最小二乘法计算数据，得到的经验回归方程为，则（

）A．变量与正相关 B．回归直线一定过点C． D．预测该公司第7年的利润约为9亿元10．已知函数，则（

）A．的周期为 B．的图象关于对称C．在区间上有3个零点 D．的最大值为11．在正四棱柱中，，，点在棱上，且，点在上底面运动，则（

）A．存在点，使得B．三棱锥体积的最大值为2C．若平面，则的最小值为D．以为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任语文、数学、英语课代表，且恰好有1名女生被选中，则不同的安排方法共有________种．13．已知向量，，若在上的投影向量为，则________．14．直线交双曲线于，两点（在第一象限），是双曲线的右焦点，的延长线交双曲线于点，，，则的离心率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某学校对学生是否喜欢跑步锻炼进行调查，随机抽取男女学生共n人进行问卷调查，统计得到如下列联表：喜欢不喜欢合计男生10020女生20合计n若采用比例分配的分层随机抽样从这n人中抽取5人，则有男生3人，女生2人．(1)求以及这人中喜欢跑步锻炼的概率；(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜欢跑步锻炼与其性别有关？(3)用样本估计总体，将频率视为概率，从该校全体学生中随机抽取2人，记其中喜欢跑步锻炼的人数为X，求X的数学期望.附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．已知数列的前项和为，，．(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式：(2)求数列的前项和；(3)若，求的取值范围．17．如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得．(1)证明：平面平面；(2)已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离．18．已知，分别为椭圆的左，右顶点，为的上顶点，，直线的斜率为．(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线，分别交轴于，两点：（ⅰ）是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（ii）当面积取最大值时，求的值．19．已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若在上的最大值为0，求实数的值；(3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】由已知可得或，因此，，故选：D.2．A【详解】因为为纯虚数，所以.3．C【详解】将点代入抛物线方程，得，即，解得.抛物线的准线方程为，代入得准线方程为.根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，则点到焦点的距离为.4．D【详解】因为，所以，所以，所以.5．B【分析】先由求出的可能取值，再逐一进行验证，即可得到的确定取值.【详解】因为，所以.由或.当时，.由或；由.所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，故满足题意；当时，.由或；由.所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极大值，故不满足题意.综上，.6．B【详解】，又，，故，又，，解得，所以.7．C【分析】先得到或，再结合函数单调性，作差法，举出反例进行判断，得到答案.【详解】当，即，又，故，当，即时，又，故，A选项，若，则，A错误；B选项，，当时，，，，B错误；C选项，，不论，，均有，即，又在R上单调递增，故，C正确；D选项，当时，不妨设，此时，显然，D错误.8．D【分析】根据题意利用赋值法可得，，根据奇函数定义可得，赋值可得，分析可知函数的一个周期为4，结合周期性运算求解.【详解】因为，令，则，即，且，可得，令，则，且不恒为0，则，即，又因为为奇函数，则，即，令，则，可得，且，令，则；令，则；可得，可知函数的一个周期为4，则，所以.9．ACD【分析】根据回归方程判断与成正相关，即可判断A；求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，即可判断BC；令求出，即可预测第7年的利润，即可判断D.【详解】因为回归直线方程为，且，所以与成正相关，故A正确；由题意可得：，，因为回归直线方程为必过样本中心点，故B错误；则，解得，故C正确；当时，，即该公司第7年的利润约为9亿元，故D正确.10．BD【分析】探究与的关系，可判断A的真假；探究与的关系，可判断B的真假；求出函数在的零点，判断C的真假；利用导数求函数的极大值，判断D的真假.【详解】对于A：因为，所以不是函数的周期，故A错误；对于B：因为，，所以，所以的图象关于对称.故B正确；对于C：因为，由或.又，所以或，即在区间上有2个零点，故C错误；对于D：由.由或.当时，或，若，，则，所以；若，，则，所以；当时，，则，所以.综上可得，当，时，取得最大值.故D正确.11．BCD【分析】根据正四棱柱的性质，结合线线垂直的判定、三棱锥体积公式、空间中线段长度的最值问题以及球面与几何体表面交线的计算方法，对各选项逐一进行分析.【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，由得，设，在A选项中，，，所以恒成立，不可能垂直，A错误，在B选项中，，设平面的法向量为，则，故，取，而，故到平面的距离为，而，体积，B正确在C选项中，，设平面的法向量为，则则，故，取，因为，而平面，故，故即，故，对称轴​，代入得最小值​​，C正确，在D选项中，球半径为2，故球在上底面中的截线为一段弧，其半径为，而弧所对的圆心角为，故此截线的长为.设球面与棱的交点为，连接，则，而，故，故，故球在侧面中的截线弧所对的圆心角为，故此段弧长为，同理球在侧面中的截线弧长为，故截线总长为，D正确.12．【详解】满足条件的安排方法有.13．【详解】因为在上的投影向量为，所以.14．【分析】设，根据双曲线的定义，表示出，，的长度，利用余弦定理可得的关系，再在中，利用余弦定理可得的关系，从而得到双曲线的离心率.【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，，.因为关于原点对称，所以四边形是平行四边形.所以.设，则.根据双曲线的定义，，，，在中，由余弦定理，，即，所以（）.在中，，，，，由余弦定理可得，所以.15．(1)，(2)不能认为学生喜欢跑步锻炼与其性别有关(3)【分析】（1）由条件求男生人数，再结合分层抽样性质求出，由此求出女生人数及女生中喜欢跑步锻炼的人数，结合古典概型概率公式求结论；（2）完善列联表，提出零假设，计算，比较与临界值的大小即可判断结论；（3）结合二项分布的定义判断，再根据二项分布期望公式求结论.【详解】（1）由已知男生人数为，又采用比例分配的分层随机抽样从这人中抽取人，则有男生人，女生人，所以，解得，所以女生人数为，女生中喜欢跑步锻炼的人数为，所以这人中喜欢跑步锻炼的总人数为，所以这人中喜欢跑步锻炼的概率，（2）由（1）可得列联表为：喜欢不喜欢合计男生女生合计零假设为：假设是否喜欢跑步锻炼与性别无关，则，依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即不能认为是否喜欢跑步锻炼与性别有关.（3）的可能取值为0，1，2，，，.的分布列为01.16．(1)证明见详解；(2)(3)【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式；（2）由（1）结合错位相减法可得答案；（3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可.【详解】（1）已知，故，当时，.因为，代入，整理得.因此是首项为、公比为的等比数列，所以，故.（2）两边同乘​得得，，整理得.（3）由​得，设​，对任意正整数恒成立，只需的最大值.，当时，，即；当时，，即，故最大值为.因此的取值范围为.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，，再利用线面垂直的判定定理证明平面，最后利用面面垂直的判定定理证明平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线的距离.【详解】（1）在中，，，，由余弦定理，，即.由，所以为直角三角形，且.在中，，，，因为，所以为直角三角形，且，由平面，，所以平面.由平面，所以平面平面.（2）以的中点为原点，所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，，.所以，.设平面的法向量为，则，令，则，，此时.因为，设（），则.因为，，，由，又，所以.所以.因为，，，所以点到直线的距离为：..18．(1)(2)（ⅰ）存在,使得；（ii）【分析】（1）由椭圆顶点坐标,结合直线斜率得比例关系,再由线段长联立方程,求出,即得椭圆方程.（2）（ⅰ）设直线联立椭圆,由韦达定理得纵横坐标关系,求出纵坐标,代入向量比例化简消参,可得为定值3.（ⅱ）由设出纵坐标,写出直线方程并联立椭圆,得到点横坐标表达式；用底乘高表示面积,构造函数求导分析单调性,找到面积最大值对应的参数,代入算出此时的值.【详解】（1）已知，直线的斜率.由斜率公式得，即.由两点间距离公式得.因为，联立解得，.所以椭圆的方程为.（2）（ⅰ）由题可知过点的直线斜率不为，（否则点与点重合）设,由，消去得,即，,直线,令可得直线,令,可得，因为共线，所以,所以存在,使得.（ii）设,则,所以,直线,由消去得由可得,,令,,令,解得,当时，,当时，,故在上单调递增,在上单调递减,所以当时,取最大值,所以此时.19．(1)(2)(3)【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而可求出切线方程.（2）对函数求导，分，，三种情况讨论函数的最大值，从而确定的值.（3）先化简不等式，然后构造函数，两次求导，判断单调性求出最小值，进而求出的范围.【详解】（1）当时，，求导得，可得，，所以曲线在处的切线方程为，即.（2），，令，得，①当，即时，在恒成立，所以在上单调递减，所以，，不合条件，舍去；②当，即时，当，，当，，