二次函数题型分类

二次函数

一、图像性质

1.已知点P（〃?，〃）在抛物线（x-5）2+9上，当3V〃?V4时，总有公>1,

当7V〃?V8时，总有八VI,则〃的值为（）

A.iB.-1C.2D.-2

2.抛物线y=o?+云+c经过点（1,0）,且对称轴为直线x=-l,其部分图象如图所示.对

于此抛物线有如下四个结论：Q）abc<0；（2）2a+b=0；③9a・3〃+c=0；④若

则X=〃L1时的函数值小于x=〃・1时的函数值.其中正确结论的序号是（）

A.①③B.②④C.②③D.③④

3.已知二次函数），=/+云+c的图象如图所示，则下列6个代数式：ab,ac,a+h+c,a-

b+c,2a+b,2a-〃中，其值为正的式子的个数是（）

4.已知抛物线y=a*+以+c过点（・1,0）和点（0,-3）,且顶点在第四象限，设M=4a+2Hc,

则M的取值范围是（）

A.-9VMV0B.-18VMV0C.0<W<9D.-9<M<9

5.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线工=-|,有以下结论：

①"cVO；②2a-〃=0；@4ac-/?2<8«；④3a+c<0；⑤a-（ani+b）

其中正确的结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

6.如果二次函数），=，-胡+1,当xW-2时，y随x的增大而减小，且关于z的分式方程

二^=2有正数解，则符合条件的整数。的值有多少个（）

2-zz-2

A.3个B.4个C.5个D.6个

7.在同一坐标系中,二次函数加与一次函数,=及-〃的图象可能是（）

8.y=af+Z?x+c的图象如图所示，贝U下歹U4个代数式a+2/>+c,2a+b+c,3a+2b+c,-

2a

其中值一定大于1的个数是（）

9.已知抛物线），=«?+以+c与％轴只有一个交点，以下四个结论：①该抛物线

的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程a"+队+c+2=0有实数根；③a+Hc>0：④自3

的最大值为1.其中结论正确的为()

A.①②③B.③④C.①③D.①③④

10.如图，已知二次函数y=(x+I9-4,当-20W2时，则函数y的最小值和最大值()

A.-3和5B.・4和5C.・4和・3D.・1和5

N,若M与N没有公共点，则a的取值范围是.

13.若二次函数)，=«?+员+c(a#0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0,1)和(-I,

0).则5=〃+。+。的值的变化范围是.

14.关于x的一元二次方程〃(入-。)2+左一］+〃两根为同一-1,。一3,则方程a(x-h3)

2+k+3=x+n的两根为.

15.直角坐标系中，点A(・3,0)、8(0,-3).若函数y=a*+(2a・1)x・3与AAO8

的边恰有三个交点，贝!a的取值范围是.

16.已知二次函数y=-A2-2x+m,当切+2时最大值为-2,则m的值为.

17.如图是二次函数y=a?+云+c(aXO)图象的一部分,x=-I是对称轴.若(-3,»),

18.当・l〈xW2时，二次函数y=，+2日+1的最小值是-1,则女的值可能是.

19.若A(1,yi),B(3,>'2),C(-3,力)三点都在二次函数)，=/-4"〃?的图象上,

则)1>,2»》的大小关系是：-

二、实际应用

I.有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4〃?，跨度为10〃?.现将它的图形

放在如图所示的直角坐标系中.求这条抛物线的解析式.

2.1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥闻名中外.假设石拱桥的桥拱是抛物线，已知

石拱跨径37.02/n,拱高7.23〃?.试建立恰当地平面直角坐标系，把拱桥看作一个二次函

数图象，写出这个函数的表达式.

3.如图，在靠墙（墙长为20〃?）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如

果竹篱笆总长为50〃?，设鸡场垂直于墙的一边长求鸡场的面积y（加2）与

的函数关系式，并求自变量的取值范围.

4.如图是把一个抛物线形桥拱，吊得两个数据，画在纸上的情形.小明说只耍建立话当的

坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不止确，请说明理

由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.

5.春节期间，物价局规定花生油的最低价格为4.1元/依，最高价格为4.5元/依，小王按4.1

元/依购入，若原价出售，则每天平均可卖出200口，若价格每上涨0.1元，则每天少卖

出20依，若油价定为X元，每天获利卬元，求卬与X满足怎样的关系式？

6.“绿水青山就是金山银III”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑

自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元.已知按标价九折销售该

型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.

（1）求该型号自行车的进价是多少元？

（2）若该型号自行车的进价不变，按标价出售，该店平均每月可但出60辆：着每辆自

行车每降价50元，每月可多售出10辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？

最大利润是多少？

7.同学人在离学校正北30k〃处，骑车以15如?〃?的速度向学校方向出发，同时，B同学在

学校的正东15k〃处，以15k〃小的速度骑车向学校方向前进，假设2人的行驶方向和速

度都不变，问：

（1）当其中一人经过学校时，另一人与学校之间的距离为多少？

（2）两人的最近距离是多少？

（3）什么时候两人距离为30k〃？

8.如图，有长为24加的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度。为10刑）围成中间隔有一

道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为工〃?，面积为

（1）求S与x的函数表达式.

（2）如果要围成面积为45〃』的花圃，A8的长是多少米？

（3）能围成面积为50，/的花圃吗？若能，请说明围法：若不能请说明理由.

AD

B

9.有•家苗圃计划种植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润9（万元）与

投资成本X（万元）满足如图1所示的二次函数川=心2：种植柏树的利润）2（万元）与

投资成本X（万元）满足如图2所示的正比例函数），2=h.

（1）请分别直接写出利润力（万元）与利润兆（万元）关于投资成本X（万元）的函数

关系式：

（2）若这家苗圃投资4万元种植桃树，投资6万元种植柏树，则可获得的总利润是多少

万元？

（3）若这家苗圃种植桃树和柏树投入总成本20万元，且桃树的投资成本不低了2万元，

且不高于12万元，则苗圃最少能获得多少总利润？最多可获得多少总利润？

图1图2

10.某公司开发出一款新的节能产品，成本价为5元/件.该产品在正式投放市场前通过代

销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为9元/件，工作人员对销售情况进行了

跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线OQE表示日倘售量），（件）与销售时间

天）之间的函数关系（x为整数），已知线段。E表示的函数关系中，时间每增加1天，

口销售量减少5件.

（1）第24天的日销售量是件，日销售利润是元；

（2）求），与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）日销售利润不低于1280元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多

少元？

11.为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15

天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设笫x天（1WXW15,且工为整数）

每件产品的成本是〃元，〃与x之间符合一次函数关系，部分数据如下表：

天数（x）13610

每件成本〃（元）7.58.51012

任务完成后，统计发现工人李师傅第工天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关

系；

2+20（l<x<10,且x为整数:

X设李师傅第x天创造的产品利润为W元.

40（10<x<15,且x为整数）

（1）直接写出〃与x,W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围;

（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？

12.某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场

前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情

况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象.图中的折线ODE表示日销售量y（件）与

销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段OF表示的函数关系中，时间每增加I天,

日销售量减少5件.

（1）第26天的日销售量是件，日销售利润是元.

（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围：

（3）日销售利润不低于600元的天数共有多少天？试销售期间，日俏售最大利润是多少

13.今年在全球大疫情的影响下，人们更加关注身边的空气质量.某电商代理销售A、6两

种型号的智能空气净化器，已知每台A型智能空气净化器比每台B型智能空气净化器的

售价高300元；4台A型的智能空气净化器的售价与5台B型的智能空气净化器的售价

相等.

（1）求每台A、3两种智能空气净化器的售价分别多少元？

（2）若卖出每台小两种智能空气净化器的利润分别为200元与150元，七月份前平

均每周可以分别卖出八、8型号智能空气净化器18台与20台；进入七月份后，开始降价

促销，4、8两种型号的智能空气净化器都是每降价20元平均每周可多卖4台；问该电

商要得到最大利润，问每台智能空气净化器应降价多少元，最大利润多少元？

14.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件.每件盈利120元.经调查发现，每

件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，减少库存，商场决定

采取适当的降价措施.

（1）若商场每天要盈利2070元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？

（2）这次降价活动中，2070元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高

盈利值.

15.某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500

件.已知这种衬衫每涨价1元，其销售量要减少10件.

（I）为在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元?

（2）要想获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？

16.某服装厂生产人品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服

装x件时，批发单价为y元，），与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数大为10

的正整数倍.

（1）当100WxW300时，y与x的函数关系式为.

（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装20。件，需要支付多少元？

（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100WxW400）件，服装厂的利润为卬

元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？

17.某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500

件，销售价每涨1元，月销量就减少10件.设销售价为每件x元（x250）,月销量为），

件，月销售利润为卬元.

（1）写出），与x的函数解析式和w与x的函数解析式；

（2）商店要在月销售成本不超过1000（）的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价

应定为每件多少元？

（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润.

18.合肥市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组

建农副产品俏售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）

与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的•部分（如图①所示）；该

产品的销售单价z（元/件）与年销售最x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条

线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为卬万元.（毛利

润=销售额-生产费用）

（1）请直接写出y与《以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）

（2）求W与x之间的函数关系式：（写出自变量％的取值范围）;并求年产量多少万件时，

所获毛利润最大？

（3）由于受资金的影晌，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少

万元的毛利润？

19.2020年是脱贫攻坚决胜年.某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元

kg,投放市场后，经过市场调研发现,这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元％g）

与时间/（天）之间的函数图象如图，且其日销售量y（奴）与时间/（天）的关系是：y

=-2/+120,天数为整数.

（1）试求销售单价〃：元/依）与时间/（天）之间的函数关系式；

（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

（3）在实际销售的前2（）天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠〃元利润5V9）给“精

准扶贫”对象.现发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间/的增大而

增大，求〃的取值范围.

20.某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量），（支）

与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系.

（1）求），与x之间的函数关系式.

（2）由于湖北省武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎（简称“新冠肺炎”）疫情，该网店店

主决定从每天获得的利润中抽出200元捐献给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低

于55（）元，如何确定这款电动牙刷的销伐单价？

三、面积问题

1.如图，抛物线）与X轴交于A（1,0）,B（—3,0）两点

（1）求抛物线的解析式

（2）设（1）中的抛物线交）‘轴与c点，在该抛物线的对称轴上是否存在点。，使得AOAC

的周长最小？若存在，求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使^PBC的面积最大？若存在，

求出点P的坐标及^PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数)，=犬+匕工+6.的图像与X轴交于A8两点，A点

在原点左侧，B点的坐标为(4,0),与>釉交于C(0,-4)点，点P是直线BC下方的

抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的表达式

(2)连接尸。，尸C,并把△POC沿。。翻折，得到四辿形POP'。，那么是否存在点P,

使四边形POP'。为菱形？若存在，请求出此时点尸的坐标；若不存在，请说明理由

(3)当点P运动到什么位置时，四边形A3PC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形

ABPC的最大面积.

3.如图，抛物线)，=。幺+。1+。经过/4(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点，对称轴

与抛物线相交于点尸，与直线BC相交于M,连接P8.

(1)求抛物线的解析式

(2)直线交x轴于点N,求过点P和点N且与5c平行的直线解析式：

(3)抛物线上是否存在一点Q,使40^8与△PM8的面积相等？若存在，求出。点的

坐标；若不存在，说明理由

(4)在第一象限内，对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△〃所和的面

枳相等？若存在写出R