二次根式的知识点梳理与练习

二次根式的知识点梳理与练习

知识点一：二次根式的概念

形如底（^>0）的式子叫做二次根式。

注：

在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式;，但必须注意：因为负

数没有平方根，所以。之0是后为二次根式的前提条件，如石，V?+l,"万a之1）等是二次根式,

而JI,J-x2-7等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a三。时，石有意义，是二次根式，所以要

使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a<（）时，而没有意义。

练习：

1.使式子有意义的条件是。

2.当时，X+2+—lx有意义。

3.若4~fn+—有意义，则m的取值范围是:

4.当x时，J（j）2是二次根式。

知识点三：二次根式五（4之0）的非负性

品（以30）表示a的算术平方根，也就是说，&（以之0）是一个非负数，即五之0（以20）。

注：因为二次根式4（。之0）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，（）的算术平方根是0,

所以非负数（以20）的算术平方根是非负数，即近之0（以20）,这个性质也就是非负数的算术平方根

的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若6+而=°,则a=0,b=0；若

/+N=0,则a=0,b=0；若历+昭=。,则a=o,b=o。

知识点四：二次根式（石）2的性质

(疝2=0(«“)

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

知识点五：二次根式的性质

=［叱0）

臼［一。3<0）

知识点六：（能）2与石7的异同点

I、天同点：（G）,与E表示的意义是不同的，（7石》表示一个正数a的算术平方根的平方，而归'表

示一个实数a的平方的算术平方根；在（能尸中以之0,而在中a可以是正实数，0,负实数。但（、@‘

与屈都是非负数，即G5）‘二°,"之°。因而它的运算的结吴是有差别的，（而2=。（《之°）,

而1-a（Y0）

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，（遍尸=正；。<°时，（遍尸无意义，而"=一以.

练习：

6.若J*=2x,则x的取值范围是。

7.已知J（x—2'=2—x,则x的取值范围是o

8.化简：一2X+1（XY1）的结果是o

2

9.当14XY5时，yj（x-\）+|x-5=a

io.把的根号外的因式移到根号内等于。

11.使等式J（x+l）（x—l）=JTZ•而I成立的条件是。

12.若1一〃+1|与Ja+2"+4互为相反数,则（〃一〃>"二o

13.在式子J?（XA0）,J5,历［（y=—2）,JW（XY0）,班,中，二次根式有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

14.下列各式一定是二次根式的是（）

A.5-2aB.1—2。C.2。—5D.2a—1

16.若A=+4)，贝()

A.a2+4B.a2+2C.(/+2)，D.(a2+4)"

17.若aWl,则J(1一〃)'化简后为()

A.B.

c.(a-l)S-aD.

能使等式怎=7月

18.成立的X的取值范围是（)

A.x*2B.x>0C.x>2D.X>2

19.计算：J(2a_iy+J(l_2j)2的值是()

A.0B.4a—2C.2-4tzD.2-44或4。一2

知识点七：二次根式的运算

（1）因式的外移和内移：如果被升方数中有的因式能够开得尽万，那么，就可以用它的算术根代替血

移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，但变形为积的形式，再移因式到根号外面,

反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）

的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.

\[cib=4a-\/b(a>0,b>0)：(b>0,a>0).

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，国乘法对加法的分配律以及多项式的乘法

公式，都适用于二次根式的运算.

【例题精选】

二次根式有意义的条件：

例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。

（1）73-2X；（2）V7+T；（3）^P^：

.Jc

小练习：（1）当x是多少时，67=1在实数范围内有意义？

(2)当x是多少时，j2x+3+——在实数范围内有意义？②

x+\

(3)当X是多少时，虫:3+x2在实数范围内有意义？

X

(4)当时，、'x+2+Jl-2x有意义。

2.若-J—niH------有意义，则〃？的取值范围是

ni+\

最简二次根式

例2：把下列各根式化为最简二次根式：

(I)夜厅即2(),/?>0)

(2)

(3)筌…武。)

分析：依据最简二次根式的概念进行化简，

(1)被升方数的因数是整数，区式是整式：

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

同类根式：

例3：判断下列各组根式是否是同类根式：

(1)-7175；-

分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二

次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。

分母有理化：

例4：把下列各式的分母有理化：

(1)1E(2)——---

242'22V3-V2,

分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含

有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如血与血,6+J5与6-6均为有理化因式。

求值：

例5：计算:

分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺

序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。

化简：

例6：化简：

+(〃+4\[ab+4Z?|

y[a-2>lb

分析：应注意(1)式。>0,/?>(),(2)4>0,所以。二(而)2,b=(V^)2,。一4〃可看作

(右丫-4(6『可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。

化简求值:

mic=2V3+V2V3—^2„h3j,„

例8：己知：a=-------------,b-----------求：R?+。力的值。

22

【专项训练】：

一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。

1、(-1)=々一1成立的条件是:

A.〃工1B.a>\C.a<1D.1

2、把化成最简二次根式,结果为:

条

A.DV2

B.-----C.DT

999

3、下列根式中，最简二次根式为:

A.V4xB.ylx2-4D.J(X+4)2

4、已知XI,化简l——-21+1得:

A.2-2/B.2/C.2D.0

5、下列各式中，正确的是：

A.(-V7)2=-7B.J(-0.7『=0.7

C.(-V7)2=72D.(V^Oj)2=().7

6、下列命题中假命题是：

Y

A.设X<0,则yj(-x)2=-XB.设X<0,贝IJ告=一1

V7

C.设x<0,则JF=xD.设X<0,则(而了=

7、与2是同类根式的是：

A.V50B.3&C.“TiD.V75

8、下列各式中正确的是:

A.V2+V3=V5B.2+6=26

D-旧一落°

C.3ay/~x-4>/x=3a-4y/x

三1、化简

2、己知：x=一二，)，=一二

求：x2-5xy+y2

2+V32-V3

(一)做一做：

填空题：

1.要使根式有意义，则字母x的取值范围是

2.当x____时，式子/有意义.

y/2x-l

3.要使根式有意义,则字母x的取值范围是.

7：人十工乙;

4.若J4〃+1有意义,则。能取得的最小整数值是,

5.若石+匚二有意义，则Jl+I=

6.使等式=o成立的*的值为.

选择题：

8.使式子有总义的实数x的取值范围是()

(Cg-1?

(A)x2O(B)X>---(D)X>--

3

9.使式子;W有意义的实数x的取值范围是()

(A)x21(B)x>l且xW-2(C)xW-2(D)x21且xW-2

10.x为实数，下列式子一定有意义的是()

(A)-V(B)\lx2+X(C)J

(D)7X2+1

人-X-

解答题

11.要使下列式子有意义，字母X的取值必须满足什么条件?

(5)ylx2+2x+2

12(1)已知|x+3|+Jy—5=(),求d■的值；(2)已知+4)，+4+卜+y+1=(),求y*的值.

13问题探究：

JY2—4+J4—12

已知实数x、y满足>=上------士一一+3,求9x+8y的值.

(二)学习要求：

掌握二次根式的三个性质：620(。20)：(6)2=。9>0)；

做一做：

填空题：

1.当aNO时，C=：当a<0时，好=.

2.当aWO时，A/3?=____：J(6-2尸=

3.已知2VxV5,化简J（X-2）2+q（X-5）2=.

4.实数。在数轴上的位置如图所示，化简：|a-l|+J（a_2）2=.

a

!I______Iii_______

-1012.

5.已知AA8c的三边分别为a、b、c则"（〃一匕一。）?一|"—a+c|=

6.若yj(x-y)2=(y/x-y)2,则x、y应满足的条件是

7.若|x+y+4|+J(x-2)2=0,则3x+2y=.

8.亘线y=mx+〃如图4所示，化简：|m—〃|一〃了=

选择题：

9.A的平方根是（）

(A)6(B)±6(C)V6(D)±V6

10.化简而了的结果是（）

(A)-2(B)±2(C)2(D)4

11.下列式子中，不成立的是（）

(A)(V6)2=6⑻-J(-6)2=瓜

(C)(-V6)2=6(D)―)(-6)?=-V6

12.代数式耳-（〃声0）的值是（）

(A)l(B)-l

(0±1(D)l(a>0时)或一l(aV0时)

13.已知x<2,化简Jf—4x+4的结果是（

)

(A)x-2(B)x+2(C)~x+2(D)2-x

14.如果J（X—2）2=X-2,那么x的取值范围是（）

(A)xW2(B)x<2(C)x22(D)x>2

15.若"二-。，则数a在数轴上对应的点的位置应是()

(A)原点(B)原点及原点右侧

(C)原点及原点左侧(D)任意点

则化简|3%+户|的结果是()

16.若数轴上表示数x的点在原点的左边，

(A)4x(B)—4x(C)2x(D)-2x

解答题：

17.计算：

⑴(-2)2+|-3|-(&7)0;(2)(V3)2-2°+1I'

18.化简:

⑴J(1-幻2+J(X+2『(X>1)；(2)(y]x-y)2-2\y-x\.

19.已知实数x,y满足|x-5|+J/=0,求代数式仅+疗期的值.

20.已知M+3jx_y+3J)'_x=x,求11一x|+J(y-3)2的值.

(三)学习要求：

理解二次根式的乘法法则，即〃・、历=疝320/2())的合理性，会运用法则进行计算，并会逆用

乘法法则对二次根式进行化简.

做一做：

填空题：

1.计算：4a-y[ab=_____.

2.已知xyvo,则yjx2y=.

3.实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简C层的结果是.

0b

4.若J(6—x)(x—4-=(4一幻而二，,则x的取值范围是.

5.在如图的数轴上，用点4大致表示a：

|；fLili11i1

-3-2-101234567

选择题：

6.化简历的结果是()

(A)5五(BJ2V5(C)2Vio(D)4后

8.化简J-丁的结果是()

(A)—X~y[x(B)-X~y/-X(C)X24^X(O)x2y/x

9.若aWO,则1(I—。),化简后为()

(B)(l-a)Jl-。

(C)(a-1)J1-。(D)(l

解答题:

10.计算：

(1)V3xV6;(2)V2TX(-V7):；(3)3V5x(-2V10);

⑸旧x(一2五西；

⑷(-5后)x(—4版)；

⑹4"2四X落⑺恒x(后-2而)；

(8)(754-V6)xV24;⑼(3拒+2扬(3&-2扬;

(10)(24+3.丫)(3)，一2五)；(11)(3-75+25/10^)2;(12)3V5^•2jl0a〃;

(13)—J2/〃­(+4mn);(14)-VI^-(-73?)-(-12-7A72).

232

11.化简：

(1)-a2b2(a>0);(2)Ja%-2/〃2(b>a>0)-

12.计算:

(1)32+V^—(兀-1)°+1—1H—I;(2)(-)-2-Vl2sin600-O.252008x42no8.

2

（四）学习要求:

石

理解二次根式除法运算法则，即忑=/（a2。，b>0）的合理性.会运用法则进行计算,了解最简二

次根式的概念，会逆用除法法则对二次根式进行化简，掌握类比学习的方法.

做一做：

填空题：

1.在瓜亚中,是最简二次根式的是.

2.2一6的倒数是,㈠+6的倒数是.

3.使式子J三J3—x

隼」成立的条件是

Vx+3Jx+3

选择题：

5.下列各式的计算中，最简二次根式是（）

(A)V27⑻旧（D）75^

g,屈I，中最简二次根式的个数是（）

6.下列根式2而,JiE,

（川1个(B)2个(C)3个(D)4个

3

7.化简"一的结果是（）

V7-2

(A)V7-2(B)y[l+2(C)3(V7-2)(D)3(V7+2)

计算'聆+（'聆）的正确结果是（）

8.

联(B)-呜(D)l

ba

一（=〃3。/一」-成立的条件是（）

9.若abWO,则等式

bVab

（A）a>0,b>0(B)a<0,b>0(C)a>0,b<0(D)a<0,b<0

解答题：

10,计算：

嗯；(4)(72-1)4-75;

（味⑶而

(5)27144-(-477);⑹(—3标)+(—2历);

(11)372x(1^)-2715;

2

(13)J6y3；

(16)(2^3+3五)+(26-36

(五)学习要求：

了解同类二次根式的概念，会辨别两个二次根式是否为同类二次根式.会进行简单的二次根式的加、

减法运算，体会化归的思想方法.

做一做：

填空题：

1.计算；&+叵=.

2.写出两个与、型是同类二次根式H勺根式：.

3.若最简二次根式3j2x+1与J3x-I是同类二次根式,则乂=.

4.若最简二次根式同工与历是同类二次根式，则。=.b=

5.计算：|-1+(]+-^,)0+>/8=

选择题：

6.计算厄一出的结果是()

(A)3(B)73(C)2V3(D)3百

7.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

(A)V46/a（c）V7

(B),28

4⑼,

8.下列二次根式中，与血是同类二次根式的是（

（）、河

(A)扃⑻Vil(C)A/U)D

9.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（)

（B）百和g

（A）Q和炳(C)&Fb和&ib,(D)\la+\和Ja—1

10.下列各式的计算中，成立的是（

（A）2+V5=275(B)4V5-3V5=1

(D)V45-V20=V5

(C)+y2=x+y

g）的值为（

11.若。=—2—,b=-yJ-则

V2-1V2+i

(D)2V2

（A）2(B)-2(C)V2

解答题:

13.计算:

⑴3及+5"(2)Vs-VTs；(3)2712-3748+750；

⑷疵+技一专;(5)J1--2V45+2V20;

(6)^(/45+V108--V125；⑺(3-6)2+(3+百)2;

⑻博V75-V^5;(9)(727+^)-(712-^114-A/45)；

(10)73(73+1)+-^—；

(ll)-V27t/3-a2---J10&/；

V3-234

（六）学习要求

会进行简单的二次根式的加、减、乘、除四则运算的混合运算.

做一做：

填空题：

1.若最简根式J2a-1与J3〃-4是同类二次根式,则。=.

2.计算：-2?+后+(TT_1)0_3X|_]+6|=

（3-5-（35

3.计算:如石产石+后产=

4.计算：V18+

5.若yVO,则正，一白尸=______

6.化简：-732?+

-X

2

7.已知a+b=-8,ab=8,化简Z?

选择题：

9.在二次根式J5,4,版,J14中同类二次根式的个数为（）

（A）4（B）3(C)2(D)l

10.下列计算中正确的是（）

（A）V18=A/32x2=3V2(B)J16-9=V16--v/9=4-3=1

=V4=2(0)4^=2a

11.下列各组式子中，不是同类二次根式的是（）

（A）《与M

(B)V63与(c)a与"i⑼Jo.125与Vi药

12.化简况-亚（亚+2）得（）

(A)-2(B)V2-2(C)2(D)4V2-2

13.下列计算中，正确的是()

(A)2A/3+4V2=6A/5(B)V27+6=3

(C)3^X3V2=3A/6(0)7^37=-3

14.下列计算中，正确的是()

(A)叵三晅=加-瓢=\

(R)(2—右)(2+石)=1

©空=3a

(D)Vs-V2=V2

V2

15.化简一a74a+16aj4c厂J—的值必定是(

2V9V6

(A)正数(B)负数(6非正数(D)非负数

心一1十g,则+:：十2—《3十£—2的值为(

16.若3b为实数且〃=y/1—4a+x/4

(A)2立⑻、.(C)-2V2(0)2^3

解答题:

17.计算:

(1)(273+V2X2V3-V2)；(2)(2+代产；

(4)3VS+2<18-3后-V72；(5)(-715-712)4--；

42

⑹4-24

-(V45+712)+(76+-75)2006-(>/5-76)2007

复习

学习要求：

了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算和化简.

做一做：

填空题：

2v

1.在函数中，自变量X的取值范围是.

2.当x>2时，化简J(X-2)2=

3.若数P在数轴上如图所示，则化简J(P_1)2+J(P_2)2=.

01P2

4.已知/1万+J匚1有意义，则X的平方根为.

5.当二次根式J2-3工有意义时,y=|3x-l|的最小值是

6.

7.若最简二次根式J3a-8与J17—2a是同类二次根式,则。一.

8.当。工工时，化简Jl-6a+9a2+|3a-l|的结果是.

9.若|x-2|+j6-y+z?-6z+9=。,则五-

选择题：

10.使根式四二有意义的字母x的取值范围是()

人

(A)x>-1(B)x<-1(C)x2-1且xNO(D)x>-1

11.己知aVOVb,化简J(a-<)2的结果是()

(A)a~b(B)b~a(C)a+b(D)—a-b

12.在国E卜2_y2,”2+9,警中,最简二次根式的个数是()

(A)l(B)2(C)3(D)4

13.下列二次根式中，与-5是同类二次根式的是（）

(B)V03

14.计算我一挺的结果是()

(A)V6(B)2(C)V2(D)1.4

16.下列运算正确的是()

(A)A/52+122=7F+7iF=5+：

12=17

(B)J9-4=V9-V4=3—2=1

(C)7(-25)x(-16)=V-25xV-16=(-5)x(-4)=2()

(D)7(-5)2X(-3)2=5X3=15

17.下列运算中，第年的是()

(A)V2xV3=V6

⑻；V2邛2

(C)2亚+3&=5应(D)7(V2-V3)2=V2-V3

的根号外的a适当变形后移入根号内，结果是（

（A）-（B）Ca(C)-y[a(D)&

19.小明的作业本上有以下四题：

①=4c/：②\l5ci-JlOa=5、历a：

③电二同=后

④\[3a—42a=yfa.

做错的题是（）

（A）①⑻②(C)③(D)④

解答题：

22.计算；

⑴2疵+3腐；（2）/+A/28-J700;(3)任一+%；

(4}(V6-V5)X(^4-V5)；(5)(26-3应＞：(6)(7204-75)-75-2：

(7):J27〃尸—/yl108tn+6"?不£-:(8)-j=-----K+1.

23.⑴当aVO时，化简也

(2)已知x满足的条件为+，化简G-6x」9十口+2x+1;

x-3<0

(3)实数a,b在数轴上表示如图，化简：《(a+2尸一Js-2尸+&a+勿?.

ba

一,A_、.一上一

-2-1012

24.(1)当a—用41,B一y一1时：求(^卜+岫？的值；

(2)当x=；,y=0.81时，求xj后_不；的值.

25.若J2X+1与万J互为相反数,求产的值.

26.已知x,y为实数，且)，=Jx-9-J9-x+4,求6+J］的值.

二次根式测试题

填空题：（每题2分，共24分）

r

1.函数），=二的自变量X的取值范围是.

2.当x时，+=7有意义.

3.若。<0,则，花化简为.

4.若3VxV4,WIJA/X2-6X+9+|X-4|=.

5.屈万=二I成立的条件是.

6.若实数x、y、z满足2|x-y|+j2y+z+z2-z+；=O,则x+y+z=

7.长方形的面积为病，若宽为逐，则长为.

8.当乂=时，J9x+1+3的值最小,最小值是.

9.若代数式）（1—4）2+&3-4）2的值是常数2,则a的取值范围是.

10.观察下列各式:，请将猜想到的规律用含自然数n（n

、1）的代数式表示出来是

11.观察下列分母有理化的计算：

1J「=贝-1,厂1厂=6-叵,Jl=C-退厂1厂=加-……,从计算结果

A/2+VIV3+V2\i4+y/3、疗+4

中找出规律，并利用这一规律计免:

(-/=-~~7=+厂1厂+-/=-~~7=+…+/1-,)(V2007+1)=

V2+V1V3+V2V4+V3>2007+,2006

12.已知正数a和b,有下列结论：

（1）若a=l,b=l,则（2）若a=—,/?=一,则—：

222

（3）若a=2,b=3,则，^工一；（4）若G=1,b=5,则

2

根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a=6,b=7,则。bW.

选择题：（每题2分，共24分）

13.已知xy>0,化简二次根式q-弓■的正确结果为（

（A）。（c）-V7-J-y

14.若aVO,则一C|的值是(

(A)0{B}-2o(C)2a(D)2a或一2a

15.下列二次根式中，最简二次根式为()

(A)V9x(B)y/x2-3(