九师联盟11月质量检测高三理科数学

一、选择题

1.已知复数z满足_±T=(1-i)z,则Z在复平面内对应的点位于()

1+i

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案：

D

解析：

--i=(l—i)z,所以z—i(1+i)=(l—i)(l+i)z,即z—i+l=2z,

1+i

所以z=IT•，故z在复平面内对应的点为位于第四象限.故选D.

2.已知集合A={x|(x+1)(2—刈＜0},8={xcZ||x|Nl},则(\A)-8=()

A.[L2]U{-1}

B.[1,2]

C.{-1,1,2)

0.{1,2)

答案：

C

解析：

由(x+l)(2-x)〈0,得xv—1或。＞2,所以4A=[-1,2]；

由得xW-l或xNl,所以6={xeZ|x〈-l,或xNl},

从而(a4)08={-1,1,2].故选C.

3.桦卯是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式,是在两个构件上采用凹凸部

位相结合的一种连接方式.凸出的部分叫做桦(或叫桦头)，凹进部分叫卯(或叫桦眼、桦槽).

现要在一个木头部件制作一个样眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么制作成的样眼

的俯视图可以是()

梯头图制作卯眼的部件结果图

B.1—1一»------------

crn

।

C._I---------------

E-1

D.---------------

答案：

B

解析：

法一：样眼的形状和桦头一致,故样眼的俯视图的轮廓线为虚线且从结果图可知样眼应为通

透的,排除AD：又C选项的结构左下方部分缺了一块,这与样眼的结构不符,符合条件的只有

B.故选B.

法二：因禅眼的制作部件为长方体，所以C,D不正确；又禅眼应为通透的，

所以A不正确.故选B.

4.若〃y=2COS(2T-马,文€=[0,刍｝,t—V。则/是4的()

32/—2

A,充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

I).既不充分也不必要条件

答案：

B

解析：

由xe[0,—],得2x—G[—,—]，所以y£[―1,2],

2333

BP-l<r<2；由巴，。，得TW2,因为

t-2

故〃是q的必要不充分条件.故选B.

5.已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（）

A.27%

B.20JLr

C.18信

D.16乃

答案：

A

解析：

设圆锥底面半径为r,母线长为I,则2仃=加，所以l=2r,

所以圆锥的高为JF^7二G乙所以•百厂=9后知解得r=3,

3

故其表面积S=4产+7rH=94+18万=277r.故选A.

6.已知。>。>0,c<d<0,则（）

A.ac>bd

B.ad>be

C.ac<bd

D.ad<he

答案：

C

解析：

因为。>〃>0,>一4>0,所以一ac>-bd,所以acvbd.故A错误,C正确；对于B,取

a=8,b=\tc=-2,4=一1,虽满足条件，但advR•，故B错误；

对于D,取。=2,/?=1,。=-3,d=-1,虽满足条件，但加>be,故D错误.

故选C.

7.若函数)，:sin(s+3(G>0)的图象与直线y=l的两相邻公共点的距离为万，要得到

3

)，=sin(s:+工)的图象，只需将函数y=cos〃，x的图象向左平移()

A.£个单位长度

12

57r

B.—个单位长度

12

C.上个单位长度

12

1\jr

D.U个单位长度

12

答案：

D

解析：

r\

由题意，得二三=%,解得刃=2,

(0

7T

所以y=cos2x=sin(2x+-),其图象向左平移t(t>())个单位长度，

7T7T

可得y=sin(2x+2/+—)的图象，即为y=sin(2x+—)的图象，

3

所以力+工=工+2左乃伏£Z),解得，二一2+攵乃(ZwZ),又，>(),

2312

则褊0二皆•故选口

8.如图，在正三棱柱ABC—44G中，AA=3,A8=2,则异面直线A8与4C所成角的

余弦值为()

12

Dr.—

13

答案:

B

解析:

取4G的中点。，连接8G交8c于点E,连接。E,则DE//A.B,

且。E=gA&则/DEB1为异面直线4出与BC所成的角或其补角.

巫

易求43=4。=而，BQ=K，则DE=B1E=

2

DE?+BF-BQ?金47

所以cosNOEB]=—.故选B.

2DEaE2x巫x巫13

22

14

9.已知必＞0,若3是9“与妙的等比中项，则。+人的最小值为（）

A.3+20

B.7

C.2+26

D.9

答案：

A

解析：

1114.2

由题意得32=9"3〃，即9=9。J所以一+—=1,又。6>0,

ab

1G心G

所以。＞0,〃〉0,所以。+〃=（。+力（一+—）=3+—+型23+2返，

abab

当且仅当2=即，即。=及+1,人=2+及时等号成立.

ab

故a+b的最小值为3+2五.故选A.

10.如图,在体积为16的斜三棱柱ABC-AgG中，P为棱AA上一点,三棱锥P-ABC的

体积为4,则三棱锥尸-AgG的体积为（）

B.2

C.3

D.4

答案：

A

解析：

设三棱柱ABC-A^C1的底面积为S,其高为力，三棱锥。一ABC的高为4,三棱锥

P-AB£的高为%,则h=%+为，S〃=16,

所以S(/q+%)=16,即M+S4=16,XVP_ABC=gs%=4,即5/2.=12,

|4

所以=16-S4=16-12=4,所以匕fMG=§54=3.故选A.

11.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，f(x+\)为奇函数，当X£[0,l]时，

/*)=h2'+〃，若/(0)+/(3)=6,则/(1*96)=()

A.2

B.0

C.-3

D.-6

答案：

C

解析：

因为/(X+1)为奇函数，所以/(T+1)=~f(X+1),又f(.X)为偶函数，

所以/(一1+1)=/(戈一1),所以/。-1)=一/(犬+1),即/(x)=—/(x+2),

所以J\x+4)=-f(x+2)=/(幻，故f(x)是以4为周期的周期函数.

由f(-x+1)=-f(x+1),易得/(I)=0,/(3)=/(-I)=/(I)=0,

所以/(0)=6,所以4+々=6,22+。=0,解得攵=-6,。=12,

所以f(log296)=/(5+log23)=/(1+log23)=-/(log23-1)

=-/(log2彳)=-(-6x2%+12)=-3,故选C.

12.已知函数f(x),/'(处是其导函数，Vx£(O,9,/'(x)cosx+/(x)sinx=lnx恒成立,

则()

A"《)+舟(g)]coslv同⑴

63

B.(V3-l)/(^)>V2/(^)

J14

C.⑸(/)<何(今

64

D.2席)>(6+1)吟

答案：

D

解析：

设ga)=g。〈为，则g，(X)=3咤&国三用,

COSX2cos-Xcos-X

当Ovx<l时，g'(x)<0：当时，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上单调澧减,在(1,1)上单调递增，

所以g(()>g⑴，g(令〉g⑴，所以g(令+g(令〉2g(1),

即—r^-+2/(g)>坐,所以"(£)+V3/(^)]cos1>6/⑴，

V33cosl63

TT5777T

故A错误；因为1〈工〈把<二，

3122

所以<8喑)，又cosyy=cos。+5)=":及’

所以(6-1)/(马<72/(—)，故B错误；

31

因为0<专<看<7<1,所以g(令>g。)，g(^)>g(7)»

即人令COS卜应)C咤，畸8sq>/(%。哈

因为cos白二6心,所以&/(£)>//(£),2/哈)》(百十1)/(/)故C错误,

12464124

D正确.故选D.

二、填空题

2x-y+2>(\

13.己知x,y满足约束条件<x+y?2,,贝i]z=6/+3y的最小值为.

x>1,

答案：

9

解析:

画出可行域(如图阴影部分)，由图知当直线6x+3y—z=0过点A时,

z取得最小值，易求41,1)，代入得z=9.故zmin=9.

14.已知向量。=(一3,1),6=(〃?,2),且。_1_(。+2/?),则|。+〃|=.

答案：

785

解析：

a+2b=(-3,1)4-2(/?/,2)=(2+-3,5),由+J_(a+2b),

得〃•(。+2b)=(-3,1)-(2/n-3,5)=-6in+9+5=0,

7--72

解得加=—.则。+Z?=(-3,1)+(一,2)=(—,3),

333

故1〃+切=J(—|)2+32=半.

15.已知函数/(X)=ln(x+1)(x20),将/(x)的图象绕原点逆时针旋转a(C£(0,0)角后

得到曲线C,若曲线。仍是某个函数的图象,则夕的最大值为.

答案：

71

7

解析：

f\x)=—,所以/'(0)=1,故函数/(x)的图象在((),/(()))处的切线为y=%,

x+1

TT

其向上部分与y轴正向的夹角为：，

函数/(x)的图象绕原点旋转不超过工时，仍为某函数图象，

4

若超过工，y轴与图象有两个公共点，与函数定义不符，故。的最大值为二.

4-4

16.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF//平面ABCD,

EF=、AB=2,AE=DE=BF=CF=26,则该几何体的外接球的表面积为

2

答案:

324

解析：

取AO,BC中点N,M,正方形A3C。中心。，所中点。2，

连接EN,MN,FM,。。2,如图，依题意，。。2J■平面ABCD,EF//ABI/MN,点、0是

MN的中点，MN=AB=4,

等腰AAED中，AD工EN,ENVAEZ-AM=2逝，同理KM二2五,

所以等腰梯形EFMN的高00?=｛EN?-(---)2=J7,

由几何体的结构特征知，几何体的外接球的球心。|在直线O。2上，

连接QE,。①，正方形A8CD的外接圆半径0A=2及，

则有["二"，而QA=0IE,0,E=LEF=I,

22

[O[E=O2E-^O2O^2

当点。1在线段。2。的延长线(含点0)时，视0Q为非负数，若点。1在线段QO(不含点

。)上，视。。1为负数，即有02a=。2。+。«=a+oq,

即(272)2+OO；=1+("+OQ)2,解得oq=0,

所以该几何体的外接球的球心为。，半径为0A=2五，

所以该几何体的外接球的表面积S=47x(2夜尸=32不.

三、解答题

17.在各项均为正数的等比数列｛4｝中，S”为其前〃项和，4=1,%，2s厂。4成等差数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)若d=log式S“+l),数列｛当匚一｝的前〃项和为7；,证明：-<Tl1<~.

幼+陷”+282

答案：

见解析

解析：

(1)设数列｛凡｝的公比为q,由题意知4s2=%+a4,

即4(4+%)=4(l+q)=q2+/=q2(l+q),

因为V〃EN",%>0,所以q>0,所以9=2,所以.

I

(2)由(1)得S“=—==2"-1,所以a=log22”二〃，

1—2

bn+2

所以=—"2用=-------7r，所以

她+4/〃5+1>2向小2〃5+1)-2的

T111111

T=-------------------F-------------------F…+---------------------------

“1x2'2x222x223x23nxT(/i+l)x2n+l

113

=T--——^77.显然亿,｝单调递增,所以,21二寸

Z\H+1)X2<5

1]31

因为---------访■>(),所以7；<一，所以一(7；<-.

(〃+1)X2"M"28"2

18.产品宣传在企业的生产销售中占据着比较重要的地位,好的宣传对■产品打开市场,提高销

售额有着重要的作用.某生产企业通过市场调研发现，年销售量y(万件)与宣传费用x(万元)

2

的关系为y=4--=-(0<x<2).已知生产该产品)，万件除宣传费用外还要投入

x+1

20

(ll+2y)万元,产品的销售单价定为(4+—)元,假设生产的产品能全部售出.

y

(1)求产品的年利润£(克)的解析式；

(2)当宣传费用为多少万元时;生产该产品获得的年利润最大？

答案：

见解析

解析:

(1)L(x)=(4+——)y-x-(l1+2y)

y

=2y+9-x=2(4--—)+9-x=17-x---(0<^<2).

x+1x+1

4

(2)由(1)如L(x)=17—x----,

x+1

4I

所以L(x)=18—[(x+l)+——]<18-2J(x+l)----=14,

x+1Vx+1

4

当且仅当x+1=—，即x=l时等号成立.

x+1

所以当宣传费用为1万元时，生产该产品获得的年利润最大.

19.在AWC中，角A,B,。的对边分别为a,btc,c『+〃(]—4cos?9)=—"，且

c=2bcosB.

(1)求8；

(2)若AABC的周长为4+26,求BC边上中线的长.

答案：

见解析

解析：

(1)因为/+Z?2-4/?2cos2B=-ab,又c=2〃cosB,所以/+b~-c2=-ab,

由余弦定理,得cosC="「〃「-ab1

==

2ab2^b~2

又Ce(0.»),所以C=」，由c=2/7cos4及正弦定理

3

得sinC—2sin8cos8,所以sinIB=6

~2,

71777JT7T

由8w(0,-),得286(0,—),所以28二—，解得3=一.

3336

(2)由(1)可知8=工，C=空，所以A二"一工一女二工

63636

所以。=〃，由c=28cosB,得c=\[3a.

因为A48C的周长为4+26,所以。+。+6。=4+26，解得。=2.

设8C的中点为。，则CZ)=，3C=1.

2

由余弦定理,得AD=JAC2+CD2-2ACCDCOS^~

，所以BC边上中线的长为近.

20.如图，E,尸分别为正方形ABC。的边A8,A。的中点，PC_L平面ABC。，。4_1_平

^ABCD,AC与石厂交于点M,AB=4,QA=0户C=3夜.

(1)证明：上五J_平面PMC；

(2)求点B到平面PEF的距离；

(3)求二面角Q—E/一。的大小.

答案：

见解析

解析：

(1)连接B。，因为巴F分别为AB,A力的中点，所以M//BO.

因为PC_L平面ABC。，BOu平面ABCD,所以PC1BD,所以EF上PC.

因为四边形ABCD为正方形,所以AC_L6,又EF//6D,所以_LAC,

又4C,0Cu平面PMC,所以EF_L平面加C.

(2)由(1)知EF//BD,又EFu平面PEF,BDU平面PEF,

所以30//平面PEF.设AC与BO的交点为O,

则点B到平面PEF的距离等于点0到平面PEF的距离，

由(1)知上尸，平面PMC,又EFu平面庄尸，所以平面PE尸，平面PA/C,

作ON工PM,N为垂足:因为平面PEF1平面PMC=PM,

ONu平面PMC,所以。N_L平面PEF.

因为AB=4,PC=3五,E,F为AB,A。的中点，

所以CM=30,PM=6,OM=血,

.AS,八，MOONOM-PCi

由△M/V*AA/C0得——=——，得ON=-----------=1,

MPPCPM

即点B到平面PEF的距离为1.

(3)由EF_L平面PMC可得在同理可证4_LQM,

所以NPMQ为二面角Q—砂一。的一个平面角，

因为PC±平面ABCD,AMu平面ABCD,所以PC_LAAZ,

同理QA_LAM,又PC=CM,QA=AM,所以NQMA=ZP/WC=45°,

所以NPWQ=90。，即二面角Q-EF-尸的大小为90。.

21.如图所示的几何体是日等高的,个圆柱和半个圆柱组合而成，点G为的中点，。为

4

,圆柱上底面的圆心，OE为半个圆柱上底面的直径，0,“分别为。石，45的中点，点4,

4

D,E,G四点共面，AB.EF为母线.

(1)证明：OH//平面BDF；

(2)若平面BDF与平面CFG所成的较小的二面角的余弦值为空，求直线OH与平面

CFG所成角的正弦值.

答案：

见解析

解析：

(1)取E/的中点M,连接OM,又。为OE的中点，

所以OM//OF,又u平面BOEOMU平面BDF,

所以OM〃平面8。e因为AB//E凡AB=EF,

H,M分别为A8,EF的中点，所以BH//FM,且BH=FM,

所以四边形BFMH为平行四边形,所以HM//BF,

又BFu平面BDF,HM忑平面/，所以//平面尸，

又OM,HMu平面OMH,OM，HM=M,

所以平面OM"//平面/加，因为O〃u平面OM”,

所以OH//平面加木.

(2)由题意知CB,CF,CO两两垂直,故以点。为原点，

直线CB,CF,C。分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设-圆柱的底面半径为八高为/?,则C(0,0,0),B(r,0,0),

4

rrrh

F(0,r,0),0(0,0,/?),G(--,-,/?),0(0,-,/z),”(r,0,=),

2222

所以3月=(f0),DF=(0,/-,-/?),CF=(0,r,0),CG=

22

rh

0斤=(八一5,-.设平面BDF的一个法向量〃=(x,y,z),

n•BF=0,[-rx+rv=0,,,

则《，即《，令x=〃，解得)，=/?.z=r,

nDF=0,[ry-hz=O,

所以〃=(〃,九r)；设平面CFG的一个法向量m=(a,b,c),

rr

m-CG=0,-74+7"+=0,

令a=2h,解得〃=0,c=r,所以〃7=(2九0,r),

22

,.ri(1,\mn\2lT+ryl2lr+rV15

所以|cos<m,n>|=-----L=//=/=——,

1〃7H川\l2h2+r­V4/72+r2"h2+产5

化简，得2,一2"=(),所以/?=,・,

所以"?=(2匕0,〃)，丽=(二一二,一.).设0H与平面CFG所成的角为仇

22

所以sin，=|cos<〉|=""句=3rI二叵

回•B1°