云南专版人教版九年级数学全一册教案 第28章 锐角三角函数

第二十八章锐角三角函数

28.1锐角三角函数

第1课时正弦

教学目标

1.了解直角三角形中一个锐角固定，它的对边与斜边的比也随之固定的规律.

2.理解并掌握锐角的正弦的定义.

3.能初步运用锐角的正弦的定义在直角三角形中求一个锐角的正弦值.

预习反馈

阅读教材P61〜63,自学两个“思考”、“探究”及“例1”.

(D如图，在RtzXABC中，ZC=90°,ZA,ZB,NC的对边分别为a,b,c.NA的对边与斜边的比叫做NA

的正弦，即sinA=/\：、?边=&.如：在RtAABC中，ZC=90°,NA,ZB,NC的对边分别为a,b,c,若a=

科或c

3

-

-5

/?

(2)sin300=1,sin45°

名校讲坛

例1(教材例1变式)如图，求sinA和sinB的值.

【解答】在RtZXABC中，AB=/A-+BC2r5?+g=如,

・-A_BC_33^34

,51nA=AB=^4=34

AC55a

s”Bn=M=/F34-

【点拨】正弦值是锐角的对边与斜边的比，所以应该先用勾股定理求出斜边，再求正弦值.

【跟踪训练1】在△ABC中，ZA,ND,NC的对边分别是a,b,c,且a：b：c=3：4：5,求sinA,sinB

的值.

解：设a=3k,b=4k,c=5k,

Va2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2,c2=(5k)2=25k%

/.a2+b2=c2.AZC=90°.

a3k3b4k4

/.sinA=-=—=T,sinB=-="=~

c5k5c5k5

【点拨】此题并没有直角，所以不能直接用正弦来做，需要先用勾股定理的逆定理证得直角，再用正弦的知

识来做.

例2(教材例题补充例题)己知在AABC中，ZC=90°,sinA=1,BC=2,求AC,AB的长.

J

【解答】VZC=90°,sinA=1,

oAD6

VBC=2,•••AB=6.

由勾股定理，得AC=#铲=/=后至=曲=4，1即AC=h「，AB=6.

5

【果踪训练2】如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=24cm,sinA=%，则AB边的长度为2ggm.

1J

巩固训练

1.如图，在RtAABC中，ZC=90°,若AB=13,BC=5,则sinA的值为(A)

2.在Rl^ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sin.A的值(C)

B.缩小到原来的击

A.扩大100倍

C.不变D.不能确定

3.如图，在网格中小正方形的边长均为1,三角形的三个顶点都在格点上，则sina的值是(A)

第3题图第4题图

4.如图，已知锐角a的始边在x轴的正半轴上(顶点在原点)，终边上一点P的坐标为(3,2),则sina=(A)

2^132^5

A.

135c-l3

乖

5.在Rt^ABC中，ZC=90°,若AC=2BC,则sinA的值是好.

□

6.如图，在RtAABC中,ZB=90°,BDJ_AC于点D.

(DsinA可以为哪两条线段之比？

⑵若AC=6,BC=4,求sinA的值.

AD

BC弛=匹2

解:(1)sinA==.(2)sinA="

ACABBCJ

课堂小结

锐角的正弦的定义及求法.

第2课时锐角三角函数

教学目标

1.掌握余弦、正切的定义.

2.了解锐角NA的三角函数的定义.

3.能运用锐角三角函数的定义求三角函数值.

预习反馈

阅读教材P64〜65,自学“探究”与“例2”.

(1)如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZA,ZB,NC的对边分别为a,b,c.NA的邻边与斜边的比叫做NA

的余弦，即COSA=/A/?：W.NA的对边与邻边的比叫做NA的正切，即lanA==.如：在RlZ\ABC

斜磔c------------(NAm的邻、边b

43

中，NC=90。，NA,ZB,NC的对边分别为a,b,c,若a=3,b=4,则c=*cosA/tanA=-

⑵NA的正弦、余弦、正切都是NA的锐角二角函数.

名校讲坛

例1分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.

【解答】在RIZXABC中，根据勾股定理，得BC=，AB2-Ad=g132-122=5,

BC5AC12BC5AC12

==

:.sinA=cosB=—cosA=sinB=—tanA=-=—,tanB77T"T".

AB13AB13I5CI")

【点拨】利用勾股定理求出第三边，再直接运用三角函数定义即可.

【跟踪训练1】如图，在RtZXABC中，ZC=90°,c=2,sinB=1,Ma=-^3,b=j_,S"=

乙坐乙.

例2(教材例题补充例题)如图，已知在RtZ\ABC中，NC=90',tanA=—求sinA,cosA的值.

ACb

【解答】在RtaABC中,tanA=^=M，

・••设BC为12x,AC为5x,由勾股定理，得AB为13x.

BC12x12

••SinA=AB=~73,

AAC5x5

COSA=AB=T3X=T3-

【点拨】若已知直角三角形中某种三角函数的值，应先设出与这种三角函数相关的边的长度，再根据勾股定

理求出第三边长，从而求出其他锐角三角函数的值.

【艰踪训练2】在RtAABC中，ZC=90°,如果sinA=；,那么sinB的值是(A)

A.平B.2小C.平D.3

O

例3如图，在△ABC中，AB=15,AC=13,S«BC=84,求sinA的值.

【解答】过点C作CD±AB于点D.

S&WC=7?AB,CD,

2S/\,\BT2X8456

155,

56

.CDT56

在RtZXACD中，sinA=TT=TT=TT-

AC136o

【点拨】求sinA的值，由正弦定义可知，必须在直角三角形中，图中没有直角三角形，应想办法构造，题

中又提供了三角形的面枳及边AB的长，故可通过点C作高CD.

3

【跟踪训练3】如图，ZSABC在5X5的正方形网格中，则tanNABC=].

巩固训练

1.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AB=3,BC=2,则下列三角函数表示正确的是(A)

223

A.sinA=~B.cosA=wI),tanB=~

<5•5乙

2.在AABC中，若AC：BC：AB=5：12：13,则tanA=(D)

,1212

A•而B・石。•得

3.如图,在平面直角坐标系中，直线0A过点(3,D，则cosa的值是(B)

遮

A.D.3

10

将NA0B放在边长为1的小正方形组成的网格中，则cosNA0B=挛.

4.如图,

□

1

-

2

5.如图，边长为1的小止方形构成的网格中，半径为1的。。在格点上,-

A

Dt

课堂小结

1.本节学习锐角的余弦、正切及锐角三角函数的定义.

2.求一个锐角的锐角三角函数值一定要放到直角三角形中去，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三

角形.

第3课时特殊角的锐角三角函数值

教学目标

1.掌握30°,45°,6()。角的锐角三角函数值，能够用它们进行计算.

2.能够根据30。，45。,60°角的锐角三角函数值，说出相应锐角的大小.

预习反馈

阅读教材P65〜67,自习“探究”、“例3”与“例4”,完成下列内容.

锐角A锐角三角函数)30°45°60°

1

sinA亚亚

222

1

cosA亚亚

222

tanA亚1

3小

名校讲坛

例1求下列各式的值：

(1)COS2300+sin'300:(2).\----tan600.

sin45

【解答】(1)COS230°+sir?3()0=(乎)：+《)2=1.

/rt.cos45°A/2.y[2r-r-

⑵sin45。tan60=2+2-木=1一木.

【点拨】sin230°表示(sin30°/，即sin30。•sin30°,这类计算只需将三角函数值代入即可.

【跟踪训练1】

计算：⑴13—^/7^|+(2^^)°+COS、30°—4sin600；

⑵*(2cos45°-sin60°)

(3)(sin300)~l~2018°+|-1^/31-tan600.

解：(1)原式=—・(2)原式=2.13)原式=1+24.

【限踪训练2】直线y=kx—4与y轴相交所成的锐角的正切值为则k的值为单.

【点拨】构造直角三角形再运用锐角三角函数的知识解决，注意两种情况.

例2（教材补充例题）如图，在高为2m,斜坡面与地平面夹角为a的楼梯表面铺地毯，楼梯宽2nb共需地毯

的面积为（城+川沆则a为多少度?

【解答】由题意，得BC+AC=4*+4=2镉+2,・・.AC=2#.

|22

在R3ABC中,?tana=:.a=30°.

AC2小3

答：a为30度.

【点拨】此题应该先理解BC+AC的长就是地毯的长度，所以先根据已知地毯的面积和宽求出地毯长，再求

出AC的长，然后根据lanA的值得知a的度数.

【艰踪训练3】在RlAABC中，ZC-900,2a-/c,则NA-60°.

巩固训练

1.如果a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值为（A）

A.1B.坐C.坐D.1

2.计算2sin30°—2cos60。+tan450的结果是（D）

A.2B.小C.^/2C.1

3.如果在AABC中，sinA=cosB=半，则下列最确切的结论是（C）

A.ZXABC是直角三角形

B.△ABC是等腰三角形

C.△ABC是等腰直角三角形

D.ZXABC是锐角三角形

4.在RtZXABC中，ZC=90°,若NA=30°,则三边的比a：b：c等于(B)

A.1：2：3B.1：/：2

C.1：1：73D.1：/：2

n

5.已知a是锐角，且sin(a+15°)=+，则a=45°.

6.求下列各式的值：

(l)cos300+2sin60°-2tan45°；

tan30°sin60°

(2)COS'45°+sin300,

解,⑴平_2.⑵挛

课堂小结

本节主要学习了特殊角的锐角三角函数值，已知角的度数可求出其正、余弦和正切值，也可根据角的正、余弦

值和正切值求出角的度数.

第4课时用计算器求锐角三角函数值

教学目标

1.能利用计算器求锐角三角函数值.

2.已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角.

3.能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题.

预习反馈

阅读教材P67〜68的内容，完成练习题.

用计算器求sin24°37'18〃的值，以下按键顺序正确的是(A)

A.星回Q匚二|回回匚ZI00匚二IS

B.回0匚］回0匚］□0匚口画S

C」2ndf|回回回O回0OQ0OH

D.四］回回匚I回团口国国匚］国目

名校讲坛

类型1用计算器求下列锐角的三角函数值

例1用计算器求下列锐角的三角函数值：

(l)cos63°17'：(2)tan27.35°；(3)sin39°47f6”.

【解答】(DO.44957885.(2)0.517244127.

(3)0.639908541.

【点拨】按键顺序：(1)按功能键画或应］或画；(2)输入角度值；(3)按目键.

【跟踪训练1】四位学生用计算器求sin62°20'的值，正确的是(A)

A.0.8857B.0.8856

C.0.8852D.0.8851

类型2己知锐角的三角函数值，用计算器求相应的锐角的度数

例2已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐知A的度数：

(1)sinA=0.9816；(2)cosA=0.8067；(3)tanA=0.189.

【解答】(1)78.99184039°.(2)36.22524578°.

(3)10.702657490.

【点拨】先按两"键,然后再按画或垣或叵］键，再输入数值，得到的结果为度数的形式.若计算

结果要求为度、分、秒的形式，则再继续按闲下11°，〃I键.

“艮踪训练2】已知cos()=0.7415926,贝ijo为(C)

A.40°B.41°C.42°D.43°

巩固训练

1.比较大小：sin46°27'>cos53°28'.

2.根据所给条件求锐角a.(精确到1〃)

(1)己知sina=0.4771,求a；

⑵已知cosa=0.8451,求a:

⑶已知tana=1.4106,求a.

解：⑴sina=0.4771,a=28.49°=28°29'24〃.

(2)cosa=0.8451,a=32.31°=32°18'36”.

(3)tana=1.4106,a=54.66°=54°39'36”.

3.如图，要焊接一个高3.5米，底角为32°的人字形钢架，约需多长的钢材(结果保留小数点后两位)？

解：依题意可知，AC=BC,AD=BD.

*,»Cl)3.5Cl)3.5_

在RtZXCDA中，AC=2二。-604,AD=~、二。-=6,

sin320.530tan320.625

AAC+15C+AD+DB+CD=2AC+2AD+CD=2X6.604+2X5.6+3.5-27.91(米).

答：均需27.91米长的钢材.

课堂小结

1.本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数.

2.求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数犍，再按数字键;

或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清楚输入顺序.

28.2解直角三角形及其应用

28.2.1解直角三角形

教学目标

1.掌握解直角三角形的根据.

2.能由已知条件解直角三角形.

预习反馈

阅读教材P72〜73,自学“探究”、“例1”与“例2”，完成下列内容.

(U在直角三角形中，由直角三隹形中的已知元素，求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形.

(2)如图，在RtZXABC中，NC为直角，ZA,ZB,NC所对的边分别为a,b,c,那么除直角外的五个元素之

间有如下关系：

三边之间的关系a2+b-=c2：

两锐角之间的关系/A+/B—90；

aba

===

边与角之间的关系:b

-c-c_

⑶在Rt^ABC中，ZC=90°,已知/A与斜边c,用关系式NA+NB=90°求出/B,用关系式sinA=2求出

-------------------------------£

名校讲坛

类型1已知两边，解直角三角形

例1(教材例1变式)根据卜.列条件解直角三角形：

(1)在RtZXABC中，ZC=90°,BC=3,AB=3也：

⑵在RtAABC中，ZC=90°,BC=6,AC=2/.

【解答】(1)在RtAABC中,V/C=90°.BC=3,AR=3A/2.

BCJ2

**SlnA=AB=2-

AZA=45°..\ZB=90°~ZA=45°.

••・AC=BC=3.

⑵在RtZkABC中,VZC=90°,BC=6,AC=2小,

Av

r.ZA=60°.

.\ZB=900-ZA=30°.

【点拨】

已知类型已知条件解法步骤

两边

®b=y]c—a2；

斜边和i直角边（如c,a）②由sinA=~,求NA；

C

③NB=90>-ZA.

①c=M/十b；

a

两直角边（如a,b）②由tanA=r»求NA：

b

③NB=90>-ZA.

【跟踪训练1】如图，在AABC中，AB=AC,AH_LBC,垂足为点H,如果AH=BC,那么sin/BAC的值是

4

SS

5-

类型2己知一边和一锐角，解直角三角形

例2（教材例2变式）在△ABC中，ZC=90°,AB=10,NA=45°,解这个直角三角形.

【解答】在RtZXABC中，ZC=90°,ZA=45°,

.,.ZB=900-ZA=45°.

BC

又・・・sinA=丁，ZA=45°,AB=10,・・.BC=5啦.

ADv

AAC=86=572.

【点拨】

已知类型已知条件解法步骤

一边和

一锐角

①NB=90°-ZA：

a

②由sinA=-,得a=c・sinA；

斜边和一锐角（如c,ZA）c

③由cosA=",得b=c•cosA.

c

①NB=90°-ZA；

②由tanA-E，得b-「2仙；

一直角边和一锐角（如a,ZA）

③由sinA—,得c—.

csinA

3

【跟踪训练2】如图，在△ABC中，ZB=45°,cosC=-,AC=5a,则△ABC的面积用含a的式子表示是里记.

巩固训练

1.如图，已知RtZ\ABC中，ZC=900,AC=4,tanA=~,

乙

第1题图第2题图

2.如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C,

测得NACB=a,那么AB等于(B)

A.m,sina米B.m,tana米

C.m,cosa米D.--—米

tana

415

3.如图，已知在RtZXABC中，斜边BC上的高AD=3,cosB=T,则AC=十.

54

3

4.如图,在菱形ABCD中,DE4B于点E,cosA^,BE=4,则DE的值是

课堂小结

本节学习的数学知识：解直角三箱形.

28.2.2应用举例

第1课时与视角有关的解直角三角形应用题

教学目标

1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.

2.进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.

3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.

名校讲坛

例1(教材例3变式)如图，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环

钩保持与铁环相切，将这个游戏抽象为数学问题，如图2.

已知铁环的半径为15cm,设铁环中心为0,铁环钩与铁环的相切点为M,铁环与地面的接触点为A,ZM0A=

0・3

a,且sina=-

□

(1)求点M离地面AC的高度BM；

(2)设人站立点C与点A的水平距离AC等于49cm,求铁环钩MF的长度.

【解答】过点M作与AC平行的直线，与0A,FC分别相交点干H,N.

(1)在RtZiOHM中，Z0HM=90°,0M=15,11M=OM-sina=9,

/.0H=12,MB=HA=15-12=3.

答：铁环钩离地面的高度为3cni

⑵•・•铁环钩与铁环相切，

:.ZM0H4-Z0MH=Z0MII+NFMN=90°,即ZFMN=ZM0ll=a.

33.

=sina=三.，・.

FM5FN=E5FM.

在RtZXFMN中，ZFNM=90°,MN=BC=AC-AB=49~9=40.

3

VFM2=FN2+MN2,即FNf=(TFM)24-402.解得FM=50.

□

答：铁环钩的长度FM为50cm.

【点拨】步骤：(1)根据题意画出平面图形，再将所求问题转化为直角三角形问题：(2)利用直角三角形的边

先关系与三角函数的有关知识解答.

例2(教材例4变式)如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树.在平台顶C点测得树顶

A的仰角a=30°,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E,在点E处测得树顶点A的仰角B=60°,求树

高AB.(结果保留根号)

【解答】过点C作CF_LAB于点F,则四边形CDBE是矩形.

则CF=DB,FB=CD=4米.设AB=x米，

则AF=AB-FB=(x-4)米.

在RtZkACF中，CF=*f=/(x—4)米.

.•・DB=#(x-4)米.

在RtZ^AEB中'EB=^=坐x米.

VDDEB=DE,

.,.^/3(x—4)=3.解得X=6+*\/5.

o

答：树高AB是(6+>/G)米.

【跟踪训练】如图，从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45。，如果此时热气球C处的高

度CD为100米，点A,D,B在同一直线上，则A,B两点的距离是(D)

A.200米

B.20M米

C.220\^米

D.100(#+l)米

巩固训练

1.如图，某同学用一个有30。角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度.他将30。角的直角边水平放

在1.5米高的支架C1)上，三角板的斜边与旅杆的顶点在同一直线上，他乂量得DB的距离为10米，则旗杆AB的高

度为(D)

A.「米B.(10\仍+1.5)米C.米D.(1/^+1.5)米

JJ

2.如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°,然后前进12米到达C处,

又测得楼顶E的仰角为60°,求楼EF的高度.(结果精确到0.1米1

解：设楼EF的高为x米，

可得EG=EF-GF=(x-1.5)米.

依题意，得EF_LAF,DC_LAF,BA1AF,BD_LEF(设垂足为G).

["，/Q

在RtZXEGD中，DG=~~*7=乎(x—l.5)米.

tanZEDG3

在RtZ\EGB中,BG=/(x-1.5)米,

9A/3

,,.CA=DB=BG-DG=U-(x—L5)米.

J

VCA=12米，

—1.5)=12,

o

解得x=6镉+1.5^11.9,则楼EF的高度约为11.9米.

课堂小结

1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题.

2.本节学习的数学方法：数形结合、数学建模的思想.

第2课时与方位角、坡度有关的解直角三角形应用题

教学目标

1.能运用解直角三角形解决航行问题.

2.能运用解直角三角形解决斜坡问题.

&伸一的心.坡面的铅宜高度।砂缶

3.理解坡度1一坡面的水平宽度一「an坡角.

预习反馈

阅读教材P76,自学“例5”和“归纳”，掌握利用解直角三角形的知识解决方位角的实际问题，完成下列问题.

⑴利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

a.将实际问题抽象为数学问题，画山图形，转化为解直角三珀形的问题:

b.根据条件的特点，适当地选用锐角三角函数等去解直角三角形；

c.得到数学问题的答案；

d.最后得到实际问题的答案.

（2）已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40。，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，

则学校在小明家的北偏东400方向.

名校讲坛

类型1方位角问题

例1如图，海中一小岛A,该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B

处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会

有触礁的危险吗？

【解答】过点A作AD_LBC交BC的延长线于点D.

在RtZkABD中,

BD

VtcinZBAD=—,

AU

ABI)=AD-tan550.

在RtZXACD中，

CD

VtanZCAD=—,

AD

CD=AD•tan250.

VBD=BC+CD,

AAD-tan550=20+AD・tan25°.

20

AAI）=——----------79>10.

tan55-tan25

答：轮船继续向东行驶，不会有触礁危险.

【点拨】应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险.

【跟踪训练1】如图所示，A,B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB）.经

测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点

为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问订划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为引么？（参考数据：木

^1.732,镜心1.414）

解：过点P作PC_LAB,点C是垂足.

则/APC=30°,ZBPC=45°.

AC=PC・tan30°,BC=PC-tan45°.

VAC+BC=AB,

APC•tan300+PC-tan45°=200,

艮距PC+PC=200,

1)PC=200.

o

・・・PC=U^X200=(3；滑:*［小)X200=100(3—/K100X(3-1.732)«^126.8>100.

答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.

【点拨】解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直

角三角形.

类型2坡度、坡角问题

例2如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6nb坝高23m,斜坡AB的坡度i=1：3,斜坡CD的坡度i，

=1：2.5,求斜坡AB的坡角Q,坝底宽AD和斜坡AB的长.（精确到0.1m）

【解答】过点B作BE_LAD于点E,过点C作CF_LAD于点F,

在RtZXABE和RtZXCDF中，

BB_j_CF__1_

在=于丽=获，

・・・AE=3BE=3X23=69(m),

FD=2.5CF=2.5X23=57.5(m).

，AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).

•••斜坡的坡度i=；Q0.3333,