河南省百师联盟2026届高三下学期4月联考数学+答案

数学二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

时间120分钟，满分150分

9.已知函数则

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只A.函数f(x)的最小值为

有一项是符合题目要求的。B.点是函数f(x)图象的一个对称中心

1.复数z={3+4i{-6i的虚部为

A.-5B.-6C.5D.6C.函数f(x)在区间上单调递增

2.若全集U={x∈N{0<x≤7},集合A={1,3,4,5,6,7},B={1,2,4,5},则.B∩(CuA)=

D.函数f(x)的图象可由y=,ECOS2z的图象向左平移π/8个单位长度得到

A.{1,2,4,5}B.{1,2}C.{2,3}D.{2}

10.已知棱长为2的正方体ABCD-ABCD中,M,H,N分别为CC,AD,DD的中

3.一组从小到大排列的数据：2，8，x，18，22.若它们的第60百分位数比平均数大2，则x的

点，则111111

值为

A.正方体ABCD-ABCD的外接球半径为

A.10B.11C.12D.13

B.B,M,N,H四点共1面111

4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=1,A=135°,则

C.直线HN与HB所成角的余弦值为

的值为

1

D.过直线HB的平面截正方体ABCD-ABCD的外接球

B

所得的所有1截面圆中，半径最小的圆的面积1为1π11

5.已知点P(cosα,sinα)到点A(4m,3m-10)的距离为d,则d的最小值是

11.已知F,F是椭圆(的两个焦点，点在椭圆C上，B是

A.4B.5C.6D.7

12

椭圆C上的动点,BN⊥x轴,垂足为N,且点P为BN的中点,BM⊥y轴,垂足为M,

6.已知数列{an}是等比数列,a>0,则“对任意的正整数n都有a,<a+z"是“数列{an}是

且点Q为BM的中点,则

单调递增数列”的1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件B.{AP{的最小值为

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

D.△POQ面积的最大值为

7.已知f(x)是定义在R上的函数,f(x+2)=f(x+1)-f(x),当0≤x<6时,f(x)=C.△POA面积的最大值为

5-2x,则f(7)=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

A.-3B.-1C.1D.3

12.已知向量a=(1,2)与向量b=(m,3)满足a∥b,则a•b=.

8.已知函数f(x)=abz2-zlnax有两个极值点，则实数b的取值范围为

13.已知抛物线C:Y2=2pxr(P>0)的焦点为F，点A，B都在抛物线C上，抛物线C的准线

A.(0,c.(0,

与x轴交于点D，2成=.若{AF{=2,则p=.

第1页(共4页)②A第2页(共4页)

14.将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余，逆序排列法.步骤是：用2整除十进制整17.(15分)如图1,AC为半径为2的圆O的直径,点D,B为圆O上的两点,且

数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到如图2,将圆O沿AC翻折,E为线段BD上的一点,连接OB,OD,OE,BD.

商小于1为止；最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二(1)若BC⊥CD,E为BD的中点,证明:OE⊥BC;

进制数的高位有效位，依次排列起来.(2)若平面ADC⊥平面ABC,求二面角A-DB-O的余弦值.

例如,将十进制数5转化成二进制数:5÷2=2……1,2÷2=1……0,1÷2=0……1,即十

进制数5转化成二进制数为101；十进制数13转化成二进制数：13÷2=6……1，6÷2=

3……0,3÷2=1……1,1÷2=0……1,即十进制数13转化成二进制数为1101.

记f(n)为十进制中正整数n的二进制表示中数字1的个数，例如5=101(2),f(5)=2,

则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(63)=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

点Pn(xn,yn),双曲线

15.(13分)袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每18.(17分)若(3+2,区)"=x,+y,:E(nEN'),C':z2-2y2=1.

(1)写出P,P的坐标,并证明:对任意n∈N°,点Pn在双曲线C上;

个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球标号的最大数字.

(1)求随机变量的分布列及数学期望；(2)设直线Pn1Pn2+与双曲线C的两条渐近线分别交于点An和点Bn,记△OA∩B的面

(2)已知取出的3个小球的标号和为偶数，求ξ=6的概率.积为Sn(O为坐标原1点)，求证：Sn为定值；n

(参考公式：设三角形的三个顶点分别为A(x1,y),B(xz,yz),c(xrs,ya),则三角形的

面积

(3)证明:

16.(15分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且ay=sin2B,az=cos'9,s,=4,

其中

(1)求公差d及θ的值;

19.(17分)已知函数f(x)=ln(x+1)-x,函数g(x)=sinx十ax'—z,aER.

(2)设数列数列{b}的前n项和为Tn,求T.

(1)讨论函数f(x)的单调性并求最值；

n20

(2)若对∀x>0,g(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;

(3)已知n∈N°,证明:

第3页(共4页)A第4页(共4页)

②

数学参考答案及评分意见

1.B【解析】".'z=56i,"x的虚部为6.故选B.

2.D【解析】UA2}B(lUA)2}·故选D.

3·AL解析5·3·这5个数据的第百分位数是第个数据

4·BB.

5.D【解析】由题意得,点P的轨迹方程为2+y2=1,点A的轨迹方程为3z4y40=0·

圆上的点到直线的最小距离为圆到直线的距离减去半径·dD·

6.C【解析】":ta,}是等比数列,a>0,a,<a+2,

"anq"1<anq"+,"q"'(1q2)<0,q>0,1q2<0,q>1·

"ta,}是等比数列,a1>0,ta,}是单调递增数列,"q>1.

","对任意的正整数"都有a,<(n+t2是"(a,}是单调递增数列"的充分必要条件.故选C.

7.D【解析】f(x十2)=f(+1)f(u),f(+1)=f(x)f(uc1).

两式相加,得f(u十2)=f(uc1),f(x1)=f(x4),"f(u十2)=f(x4),"f(1)f(x6),

f(x)是周期函数,且T=6.f(7)=f(1)=52x1=3.故选D.

8.A【解析】由题意f"(x)=2ablnax1·

f(u)有两个极值点,f"(x)有两个异号零点,即2aburlnar1=0有两个根.

令at,则2btlnt1=0,"直线y=2bt1与g(t)=lnt的图象有两个交点.

若直线2bt与gtlnt的图象相切·则设切点为·

即t+lnt

要使直线y=2bt1与g(t)=lnt的图象有两个交点,"0<2b<1,0<b<.故选A

2

T3

9AB解析对于A当22kr,kz时9函数f(取得最小值9为2故A正确

42

B正确·

3

对于C令2tt故C错误·

4·2·

对于D·y2C2

D错误·故选AB·

·AC解析对于A正方体ABCDABCDA正确·

对于B,设BC的中点为P.因为H,N,M,P四点共面,点B不在平面HNMP内,所以B,M,N,H四点不共

面,故B错误.

数学第1页(共7页)②A

对于C,如图,连接NB1,HB,D1B1,则HN=HD2+DN2=2,HB,=HB2+BB2

AH2+AB2+BB244=3,NB1=DB2+DN2D,C2+BC2+DN2=44=3,:在

HNBC正确

对于D,如图,连接DB1,记O为DB1的中点,过点O作HB1的垂线,交HB于点E.

在HDB中·HD·DB以EB3

过直线HB的平面截正方体ABCDABCD的外接球所得的所以

故D错误·故选AC·

·ACD·解得22·

AF+IAF2l=2a=4,故A正确.

2

2y(2y)2

对于B,设点P(x,y),则B(x,2y).将点B的坐标代入椭圆的方程+=1,得2+=1,

44

2

即2+Y21,"点P的轨迹方程为y2=1,则API的最小值为点A到圆心的距离减去半径,

当。POA时POA的面积最大

对于D,由椭圆对称性,设点B(P,q)在第一象限,":SPOQS矩形BNOMSPBQSPONSMOQS

等号成立

故D正确·故选ACD·

解析

--

解析AFl-2点A到准线的距离为2·2DADB点A是线段BD的中点·

"点B到准线的距离为4,.".IBFI=4.

数学第2页(共7页)②A

:0为线段DF的中点

在等腰角形AOFA的坐

14.192【解析】数1表示成二进制为12),出现数字1的个数为1;

数1,2,3表示成二进制为1(2,10(2,11(2),出现数字1的个数和为4=22;

数1,2,3,4,5,6,7表示成二进制为1(2,102,112,10(2),1012,110(2,1112),出现数字1的个数和为12=

3X22;

;

数1,2,3,…,2"1表示成二进制,所有出现数字1的个数和为"·2n'.

所以f(1)+f(2)十f(3)+…+f(63)=6X28'=192.

15.解:(1)随机变量的所有可能取值为3,4,5,6,

4分

所以的分布列为

3456

335分

20202

分

(2)记事件A为"取出的3个球的标号和为偶数",事件B为6".

分

分

由条件3分

16.解:(1)da2aCos28sin29=Cos20,

S44a+6d=4sin29+6cos20=2+4cos20=4,…………2分

4分

6分

数学第3页(共7页)②A

112n12n1nT

"a,+(n1)=,"b,=·sin.………8分

42442

当4k+1时in;当4k2时in

22

当n=4k4时,sin"T=o,其中kEN.……………11分

2

"在一个周期内,

3分

数列(b,}的前20项为5个完整的周期,".T2o5X(1)=5.………15分

17.(1)证明:取BC的中点F,连接EF,OF.

E,O分别为DB,AC的中点,

EFDC,OFAB.…………………………2分

又AC是圆O的直径,".AB上BC,".OF上BC.

BCDC,EFDC,.EF上BC.………………4分

又EFOF=F,EF,OF平面OEF,BC上平面OEF.…………………5分

.OE平面OEF,.BCLOE.…………………6分

(2)解:AB=BC,".OBAC.

故以为坐标原点,分别以OB,OC所在直线,过点且垂直于平面ABC的直线为z,y,x轴,建立如图所示

的空间直角坐标系.………………7分

AD=2DC,".DOC=60'.

则A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,1,3),O(0,0,0),

"AB=(2,2,0),AD=(0,3,3),OB=(2,0,0),OD=(0,1,3).………9分

设平面ABD的法向量为"=(,y,x),

数学第4页(共7页)②A

则---3

n=(1,1,3).………………11分

设平面OBD的法向量为m=(u,y1,xi),

m=(0,3,1).……………13分

4分

由图知面角ADBO为锐面角面…I5分

18.(1)解:当"=1时,x+y2=3+22,

.P(3,2).…………………………1分

当"=2时,2+y22=(3+22)217+122,

.P2(17,12).………………………2分

++y+2=(x+yn2)(3+22)=3+4y+(2+3y,)2,

4分

222

n+2y2+1=(3+4y,)22(2+3y,)222y2n2yi=…22y21,

任意"EN",点P,在双曲线C:22Y2=1上.……………6分

设直线P,P的斜率为k,

则直线PP的方程为分

不妨设A(A,YA是直线P,P与直线x2SY=0的交点,

B(B,yB)是直线P,P+与直线x十2y=0的交点·

分

分

+y,2y2212(u,+y21

ynkxn=ynzn=,12k=l21l=

+2yn+2ynt+2yn+2y,J(ux,+2yn)2

2分

A,=2YA,B,=2YB,

数学第5页(共7页)②A

即△OA,B,的面积S,为定值.…………………14分

yn+2+y2x++3yn++y6xn+8y+3(2n+3y)+yn12n+18yn

(3)证明:"==6,……………15分

yn+1Vn+12+3yn2n+3yn

+2+n3n+1+4y+1+3(3+4y)+4(2+3y9)+18z,+24yn

=6,…16分

n+1工n+13z,十4yn3n+4yn

分

19.(1解:由题意1分

当UZE(1,0),f"(x)>0,f(1)单调递增,当zE(0,+),f"(x)<0,f(1)单调递减.

f(x)在区间(1,0)上单调递增,在区间(0,+)上单调递减.……………3分

f(x)有最大值f(0)=0,无最小值.…………4分

(2)解:由题意,g(z)=sinz+a3u>0对yx>0恒成立,且g(0)=0.

:.g'(x)=Cosr+3a21,且g'(0)=0·

令h(x)=Cosx+3axt21,则h'(x)s