专题06 代数式与整式(解析版)

专题06代数式与整式

i聚焦考点

考点一列代数式考点二代数式的概念

考点三已知字母的值，求代数式的值考点四已知式子的值，求代数式的值

考点五程序流程图与代数式的值考点六单项式的判断及系数、次数

考点七多项式的判断及系数、次数考点八整式的判断

考点一列代数式

例题：（2022•全国•七年级单元测试）请用代数式表示"比〃的3倍小1的数J

【答案】

【分析】a的3倍即%,小1即据此可得.

【详解】解：“比〃的3倍小1的数〃用代数式表示为：3〃-1,

故答案为3Gl.

【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式.

【变式训练】

1.（2022•吉林・人安市乐胜乡中学校七年级期末）某公园门票价格为成人票每张30元，儿童票每张15元,

若购买/??张成人票和〃张儿童票，则共需花费为.

【答案】（30/〃+15”）##（15〃+30加）

【分析】根据单价x数量=总价，用代数式表示结果即可.

【详解】解：根据单价*数量=总价得，共需花费（30〃汁15〃）元，

故答案为：（30m+15n）.

【点睛】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价x数量=总价，是列代数式的关键.

2.（2021•重庆•垫江第八中学校七年级阶段练习）一个三位数，百位上的数字是2,十位上的数字是x,个

位上的数字是y,那么这个三位数可表示为

【答案】200+10x+y

【分析】根据三位数的列法即可求解.

【详解】解：根据题意得：这个三位数可表示为200+1Ox+y.

故答案为；200il0xiy

【点睛】本题考查了列代数式，解决本题的关键是理解三位数的列法.

考点二代数式的概念

例题：（2022•全国•七年级课时练习）在式子〃-3,a2b,〃?+s«2,x,-£,s=必中代数式的个数有（）

h

A.6个B.5个C.4个D.3个

【答案】C

【分析】根据代数式的定义判断即可得解.

【详解】解：是不等式，不是代数式，$=必是等式，不是代数式；

代数式有：〃一3,a2b,x,-7共有4个，

h；

故选：C.

【点睛】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的定义：用基本的运算符号把数或表示数的字母连

接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.

【变式训练】

1.（2022・全国•七年级专题练习）下列式子T+"S=",0,d,8+）"〃+l=2,：＞：中，代数式有（）.

A.6个8.5个C.4个D.3个

【答案】C

【分析】利用代数式的定义分别分析进而得出答案.

【详解】解：代数式有：£+〃,（）,乙8+），共有4个.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了代数式的定义，正确把握代数式的定义是解题的关键.代数式是由运算符号（加、

减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子.单独的一个数或者一个字母也是代数式.带

有y（＜）（＞）""=〃"工〃等符号的不是代数式.

2.（2021•甘肃兰州•七年级期中）有下列式子：①2：②2a；③3x-l；④，⑥x+），＞4：

0x2.其中代数式有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

【答案】B

【分析】根据代数式的定义，即可求解.

35+9

2

【详解】解：代数式有2；2a；3x-l;x,共5个.

故选：B

【点睛】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子

叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式是解题的关键.

考点三已知字母的值，求代数式的值

例题：(2022•全国•七年级专题练习)已知”=25,/尸4则代数式-于曲的值是；

【答案】-30

【分析】直接把人。的值代入代数式求解即可.

【详解】解：团。=-2.5,"4,

团-a2b+-|a/?=-(-2.5)2x(-4)+(-2.5)x(-4)2-1x(-2.5)x(-4)=25-40-15=-30,

故答案为：・30.

【点睛】本题主要考查了代数式求值，含乘方的有理数混合计算，熟知含乘方的有理数混合计算法则是解

题的关键.

【变式训练】

1.(2021•四川广元•七年级期末)若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是绝对值最小的数，卬是相反

数等于它本身的数，则X-z+y-H-的值是.

【答案】0

【分析】先根据题意得，最大的负整数x为一1,最小的正整数y为I,绝对值最小的数z为0,相反数等于

它本身的数卬为0,再进行计算即可得解.

【详解】根据题意得：X=-1,y=l,z=0,H1=0,

贝！Jx—z-iy—w=­1-0+1—0=0.

故答案为：0.

【点睛】本题根据题意结合整数的分类和绝对值的知识，得到每个字母所代表的数，然后再进行有理数的

加减法计算即可.

2.(2021•江苏•南通市八一中学七年级阶段练习)(1)己知。是最小的正整数，〃是最大的负整数，c的相反

数是其本身，求a-6+c的值.

(2)已知〃二-|5|,8=(-1严，c=-(-2),d=-|-6|,求等的值.

【答案】(I)a—b+c=2；(2)华=-]

【分析】(1)根据题意得4=1，。=-1，C=0,进行计算即可得；

(2)由题意可知，。=-5,b=-\,c=2,d=4进行计算即可得.

【详解】(I)解：团。是最小的正整数，〃是最大的负整数，c的相反数是其本身，

团。=I,/?=-1,c=0,

l2]t7-Z?+c=l-(-l)+O=2；

(2)解：由题意可知，。=一5,6=-1,c=2,d=-6,

,.abc-5x(-1)x25

团----=-------------=—.

d-63

【点睛】本题考查了代数式求值，解的关键是理解题意，正确计算.

考点四已知式子的值，求代数式的值

例题：(2022•四川省九龙县中学校七年级期末)已知代数式“2)，的值是3,则代数式-3x+6.v+10的值是

【答案】1

【分析】由题意得42y=3,再将-3户6.V+10化成-3(»2y)+10,整体代入计算即可.

[详解]解：取％的值是3,即1-2尸3,

(2-3.v+6y+10

=-3(x-2v)+10

=-3x3+10

=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查代数式求值，将・3x+6.y+10化成・3(x-2y)+10是解决问题的关键.

【变式训练】

1.(2021•辽宁•朝阳市第一中学七年级期末)已知代数式〃2+〃=1,则代数式2/+2。—2023的值是

【答案】-2021

【分析】依据题意得到。2+〃=1,然后依据等式的性质得到2(片+〃)=2,最后代入计算即可.

【详解】解：团/+4=1，

图2/+2〃―2023

=2(/+4)-2023

=2-2023

=-2021,

故答案为：・2021.

【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，求得2(/+加=2是解题的关键.

2.(2021•江苏•盐城市大丰区实验初级中学七年级阶段练习)已知代数式x-3y的值是4,则代数式(x-3y)

2+2r-6>'-l的值是

【答案】7

【分析】把(X二)，)看作一个整体并代入代数式进行计算即可解出答案.

【详解】将(1-3力看作一个整体可得:

(x-3>')2-2x+6y-l=(x-3y)2-2(x-3y)-l

将(x-3y)代入得:

42-2X4-1=7

故答案为：7.

【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键.

考点五程序流程图与代数式的值

2

例题：(2022•安徽•定远县育才学校八年级期末)在如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为-彳，则

输出的结果为()

【答案】C

91

【分析】将工=-：代入-上+3即可求解.

3x

2

【详解】解:=为分数，

21

回将x=-7代入一-+3,

3x

3

故选：C.

【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是根据程序代入对应的代数式求值.

【变式训练】

1.（2022•河南信阳•七年级期末）按如图所示程序计算，若开始输入的x值是正整数，最后输出的结果是32,

则满足条件的工值为（）

4.IIB.4C.11或4D.无法确定

【答案】C

【分析】根据题意列出等式，进而可以求解.

【详解】解：由题意可得，

当输入x时，3x-1=32,解得：x=11,

即输入x=ll,输出结果为32；

当输入x满足3片1=11时，解得六4,

即输入x=4,结果为11,再输入11可得结果为32,

故选：C.

【点睛】本题考查了程序流程图与代数式求值，根据题意列出等式是解决本题的关键.

2.（2021•湖南永州•七年级期中）按下面的程序计算，若输入x的值为1,则输出的结果为

【答案】42

【分析】根据Mx+I）进行运算，生运算结果大于或等于10时，输出结果，即可得到答案.

【详解】解；当输入X的值为1时，x（xi1）-2,

当输入X的值为2时，Mx+1)=6,

当输入x的值为6时，#c+l)=42,

42>10,

••・输出的结果为42,

故答案为：42.

【点睛】本题考查了程序流程图和有理数的混合运算，理解程序流程图是解决本题的关键.

考点六单项式的判断及系数、次数

例题：(2021・重庆•垫江第八中学校七年级阶段练习)在代数式,乃,2孙,1-2»铝中，是单项式的有

()个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据单项式的定义，即可求解.

【详解】解：单项式有-gx,箱2孙，共3个.

故选：C

【点睛】本题主要考杳了单项式的定义，熟练掌握单项式的定义：数或字母的枳组成的式子叫做单项式，

单独的一个数或字母也是单项式是解题的关键.

【变式训练】

1.(2022•陕西•西安铁一中分校七年级期末)单项式-哈的系数为相，次数为〃，则的值为—.

【答案】-9

【分析】先判断单项式-型的系数与次数，然后计算即可.

8

【详解】解：团单项式-电■的系数为-】，次数为3,

88

3

团川=-1,n=3

O

3

8/WZ=8X(-1)X3=-9

故答案为：-9

【点睛】本题考查单项式的概念，掌握单项式的定义，会判断单项式的系数与次数的是解题的关键.

i2

2.（2022・全国•七年级专题练习）在代数式为J,机，6/一。+3，12,4x2y^zx--xy2■中，单项式有

5f3ab

___________个.

【答案】3

【分析】根据单项式的定义，进行逐一判断即可.

I0

【详解】解：在3町」，团，6/-〃+3,12,4x2yzx--xy'2,六中，单项式有在产，加，12,夬3个,

53ab

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了单项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫

做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的

指数之和叫做单项式的次数.

考点七多项式的判断及系数、次数

例题：（2022•全国•七年级课时练习）在代数式厚、1、3f—x、2、—ab、对f1、也、

3x+1827t

（a-b）\—,单项式有个，多项式有个.

a

【答案】44

【分析】根据单项式与多项式的定义分析即可.

【详解】单项式：1,-ab,宜匚，约共4个，

871

多项式：浮，3/一x，1x3+x2-l,（a—/?）?共4个，

义，空不是整式.

x+1a

故答案为：4,4.

【点睛】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不

含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或衣蛾字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式.

【变式训练】

1.12021•四川•广汉市教学研究教师培训中心七年级期中）下列整式：①-今.；②如尻;③3孙；@0；

@y+l;⑥-5/+〃，其中单项式是，多项式是（填序号）.

【答案】①③④②⑤⑥

【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；根

据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；进行判断即可.

【详解】解：属于单项式的：@-|x2；③3xy；④0；

属「多项式的有：②5a+加；⑤T+1；⑥一5a'a，

故答案为：①③④；②⑤⑥.

【点睛】本题考查了单项式、多项式的定义，能熟记单项式、多项式的定义是解此题的关键.

2.（2022•全国•七年级单元测试）多项式_2丁+511是次项式，其中三次项是,二次项

系数是,一次项系数是，常数项是.

【答案】三##3三##3-2/05-1

【分析】根据多项式的次数、项、系数的定义写出即可.

【详解】多项式-2/+5x-1是三次三项式，其中三次项是-2/，二次项系数是0,•次项系数是5,常数

项是-1.

故答案为：三；三：-2/；0；5；-1.

【点睛】本题考查了多项式的项数，系数，此时，掌握多项式的定义是解题的关键.多项式的每一项都有

次数，其中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，一个多项式的项数就是合并同类项后用“+〃或“一〃

号之间的多项式个数，次数就是次数和最高的那一项的次数；一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做

这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数.

考点八整式的判断

例题：（2022•全国•七年级单元测试）在代数式0,阳，x+r，土心，竺中，整式共有（）

4x7in

A.7个B.6个C.5个D.4个

【答案】C

【分析】根据整式的定义，单项式和多项式都是整式，整式是指没有除法运算，或有除法运算但除式中不

含字母的有理式.

【详解】解：团在代数式；0,加，x+y2,L忙红，生中，

4x7Tn

3,0,〃?，x+），2,,是整式，

4K

团整式共有5个

故选C

【点睛】本题考查了整式的定义，掌握整式的定义是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022•贵州铜仁•七年级期末）对于下列四个式子:①0.1；②中；③2；④?其中不是整式的是（）

2m兀

4.①8.②C.③D.@

【答案】C

【分析】根据整式的概念对各个式子进行判断即可.

【详解】解：@0.1；②?；④之都是整式：

2n

③上分母中含有字母，不是整式；

m

故选:C.

【点睛】本题考查的是整式的概念，整式分为单项式和多项式，注意分母不能出现字母.

2.（2022•黑龙江•哈尔滨市风华中学校阶段练习）在）尸-2,-+4,0,-x2y3,,2中，整式有（）

716a

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】C

【分析】根据整式的定义逐个分析判断即可求解，单项式和多项式统称为整式.

【详解】解：在丁一2,，+4,0,-凸，3,一也,2中，整式有9―2,1+4,0,一/），3,,共

兀6an6

5个，

故选C

【点睛】本题考查了整式的判断，掌握单项式和多项式统称为整式是解题的关键.

：课比训练

一、选择题

1.（2022•河南驻马店•七年级期末）下列各式符合代数式书写规范的是（）

2

A.B.-sC.-1元D.1—X

t5

【答案】B

【分析】本题根据书写规则，数字应在字母前面，分数不能为假分数，不能出现除号，对各项的代数式进

行判定，即可求出答案.

【详解】A、数字应写在前面正确书写形式为8m故本选项错误；

8、书写形式正确，故本选项正确；

C、正确书写形式为（〃?-1）元，故本选项错误；

D、正确书写形式为（x,故本选项错误，

故选:B.

【点睛】本题考查了代数式：用运算符号（指加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而

成的式子叫做代数式.数的一切运算规律也适用于代数式.单独的一个数或者一个字母也是代数式，注意

代数式的书写格式是解答此题的关键.

23

2.（2022•黑龙江•哈尔滨工业大学附属中学校期中）下列式子中：-〃，--abc,x-y,一，x3-7x2+2,

3x8

整式有（）

A.2个&3个C4个O.5个

【答案】C

【分析】根据整式的定义判断即可.

【详解】卬是单项式，是整式；

2

为单项式，是整式；

是一个多项式，是整式；

已3不是整式，因为它的分母中含有字母；

x

+2是一个多项式，也是整式；

所以一共有4个整式；

故选:C

【点睛】本题考查整式的基本概念，单项式和多项式统称为整式.

3.（2022•河南郑州•七年级期末）下列说法正确的是（）

A.单项式-中的系数是-3,次数是2B.单项式TH”、z的次数是3

C.4/"—3〃2〃+I是四次三项式D.笥口是二次单项式

【答案】C

【分析】根据单项式的系数与次数、多项式的项数与次数的定义逐项判断即可得.

【详解】解：人、单项式-半的系数是-2，次数是1+1=2,则此项错误，不符合题意；

B、单项式的次数是I+I+2=4，则此项错误，不符合题意：

。、4a2^-342〃+］总共有三项，项中次数最高的是4,所以它是四次三项式，则此项正确，符合题意；

D、丝”=弓-/是二次二项式，则此项错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考行了单项式的系数与次数、多项式的项数与次数，熟记相关概念是解题关键.

4.（2022•海南鑫源高级中学七年级期末）如果|a+2|+ST）2=0,那么代数式（。+2匕）.的值是（）

A.1B.0C.±1D.2021

【答案】B

【分析】由非负数的性质先求得。、〃的值，然后再代入计算即可.

【详解】解：回a+2|+S—1尸=0

团"2=0,b-\=0

回。=-2,b=\

（«+2Z?）202'=（-2+2）2021=0

故选：B

【点睛】本题主要考查的是非负数的性质以及乘方运算，掌握非负数的性质是解题的关键.

5.（2022•河南郑州•七年级期末）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机〃，按如图所示的程序运算,

若输入一个有理数工，则可相应的输出一个结果若输入”的值为-1,则输出的结果）'为（）

|输入x|丁|乘丁3）］—>FWT结&"士|输出结果F

\结果非正

A.6B.7C.10D.12

【答案】B

【分析】把x=T代入程序中计算，判断结果比。小，以此类推，得到结果大于0,输出即可.

【详解】解:把代入运算程序得:(-1)x(-3)-8=3-8=-5<0,

把x=-5代入运算程序得:(-5)x(-3)-8=15-8=7>0,

输出的结果y为7.

故选B.

【点睛】本题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键.

二、填空题

6.(2022•贵州铜仁•七年级期末)7/与〃的和的3倍可以表示为.

【答案】3(m+n)

【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出小与〃的和，再表示出和的3倍即可.

【详解】解：“神与〃和的3倍"用代数式可以表示为:3(〃?+〃).

故答案为:3(/〃+〃).

【点睛】此题主要考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、

"差"、"平方〃等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式.

7.(2021•甘肃•庄浪县阳川中学七年级期中)单项式一土号匚的次数是,系数是

64

【答案】3

【分析】根据单项式系数和次数的定义即可求解.

【详解】解：单项式-先尹的次数是3,系数是-丹乃.

64

故答案为3,

【点睛】本题考查单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中，所有字

母的指数和叫做这个单项式的次数.

8.(2021•云南省元谋县第一中学七年级期中)已知2丁+y-2的值为3,贝ij6y?+3)，+1的值为

【答案】16

【分析】根据题意确定出2)，2+)，的值，6y2+3)，+I前两项提取3变形后，把2)，2+y的值代入计算即可求

出值.

【详解】解：02/+>-2=3,

02y2Iy-5,

06y2+3y+1=3（2y2+y）+1=3x5+1=16.

故答案为：16.

【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则运用整体代入是解本题的关键.

9.（2020•四川乐山•七年级期末）已知3/）"加-T）尹5是关于x,y的一个三次三项式,则代数式2加

-3/〃+1的值等于.

【答案】6

【分析】根据三次三项式的定义求值，即每一项的最高指数为3,项数为3.

【详解】解：由题意可知m-1#0,即〃浮1,

由3/的川可知|〃?|=1,即m=±\,

0/77=-1.

当〃?=-1时，原式=2x（-1）2・3x（-1）+1=2+3+1=6.

故答案为:6.

【点睛】本题考查了多项式的项和次数概念，并用代入法求值，解题关键是掌握多项式的项与次数的概念.

10.（2022•甘肃•凉州区中佳育才学校七年级期末）下列单项式:7,2—_3父，"，…-19/，20/,

根据你发现的规律，第2011个单项式是.

【答案】-2011<°"

【分析】发现规律：第奇数个单项式的符号为负，偶数个单项式的符号为正，第〃个单项式的系数的绝对

值为〃,第〃个单项式的累的底数为K指数为〃，根据规律解答即可.

【详解】解：第奇数个单项式的符号为负，偶数个单项式的符号为正，

回第2011个单项式的符号为负，

第〃个单项式的系数的绝对值为小第〃个单项式的塞的底数为右指数为〃，

团第2011个单项式的系数为・2011,幕为一”，

团第2011个单项式是-2011-",

故答案为：-201lx20".

【点睛】本题考查了数字的变化规律，判断出单项式的符号，系数以及幕与序号之间的关系是解决本题的

关键.

三、解答题

11.（2022•江苏•七年级）观察下列各式：-。，_1a3,为,_±a5f...

2481632

⑴写出第2014个和2015个单项式;

⑵写出第〃个单项式.

20142015

【答案】⑴fw；-强

（2）1）〃条

【分析】（1）由单项式的排列规律即可求出第2014个和2015个单项式;

（2）由单项式的排列规律即可求出第〃个单项式.

（1）

解：由-4,落-I"，"4，-1^〃''表"'…

可得第〃项的表达式为（-1）

20142015

所以第2014个单项式为右而，第2015个单项式为而.

⑵

由单项式的特点可得第〃个单项式为（-1）〃=.

【点睛】本题考查数式规律题，发现单项式的排列规律是解题关键.

12.（2021•吉林•长春市赫行实验学校二模）如图，这是一个计算程序示意图.

/输入x/--►减去］f平方-►力吐x（3-x）-y输出结果/'

⑴写出计算程序示意图所表达的代数式（不用化简）.

（2）化简（1）中的代数式，并求当x=2021时代数式的值.

【答案】⑴。—1）2+X（3—X）

（2）A+1,2022

【分析】（1）根据框图列出代数式即可.

（2）化简代数式后代值计算.

（1）

由枉图得：（X-1）2+X（3-X）.

（2）

原式-2A+1+3X-X2=x+l.

当％=2021时,原式=2021+1=2022.

【点睛】本题考查列代数式，求代数式的值，理解框图是求解本题的关键.

13.（2020•吉林・德惠市第三中学七年级阶段练习）如图，在一个底为高为"的三角形铁皮上剪去

一个半径为rem的半圆.

⑴用含m爪厂的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积，并判断这个代数式是单项式还是多项式；

（2）求当。=20,%=15,厂=4时剩下的铁皮面积（先取3）.

【答案】（1*括・是多项式

⑵126

【分析】（1）先用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系得出结果：

（2）把。=20,力=5,r=4代入（1）中的代数式计算即可.

（1）

解：s阴影=S三钝%・S酒

=Ja/L；兀八，是多项式；

（2）

当”=20,〃=15,r=4,兀=3时，

S阴影=gah-37rr

=Jx20xl5-gx3x42

22

=150-24

=126.

【点睛】此题考查了列代数式，整式的判断，已知字母的值求代数式的值，正确理解图形面积的计算方法

列得代数式是解题的关键.

14.（2020•浙江温州•七年级期中）