习题02 圆周运动（解析版）

清单02圆周运动

1=1录

一、描述圆周运动的物理量和常见的传动装置特点....................................................।

二、水平面内圆铢摆模型或转弯模型................................................................2

三、水平面内的圆盘模型..........................................................................3

四、竖直面内的圆周运动..........................................................................5

知识梳理

一、描述圆周运动的物理量和常见的传动装置特点

1.匀速圆周运动的特点

⑴“变”与“不变”

描述匀速圆周运动的四个物理量中，角速度、周期和转速恒定不变，线速度是变化的。

(2)性质

匀速圆周运动中的“匀速”不同于匀速直线运动中的“匀速”，这里的“匀速”是“匀速率”的意思，匀

速圆周运动是变速运动。

2.匀速圆周运动各物理量间的关系

向心加速度

各

物

理

量a爷

间

的

关

系

(a=2nn

转速n(频列)

3.传动装置及其特点

同轴传动皮带传动齿轮传动

、B两点在同轴的一两个轮子用皮带连接，、B

AA两个齿轮轮齿啮合，小B两点

个圆盘上两点分别是两个轮子边缘的

分别是两个齿轮边缘上的点

装置点

蚀

特点角速度、周期相同线速度大小相同线速度大小相同

转动方向相同相同相反

线速度与半径成正比：角速度与半径成反比:猥=胃。角速度与半径成反比:黑十

规律

1'八/•

周期与半径成正比：^=7周期与半径成正比：自三

二、水平面内圆锥摆模型或转弯模型

1.向心力:

(1)来源：向心力是按力的作用数里命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合

力或某个力的分力，在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。

p24兀2

(2)公式：Fn—man=nr^=morr=mr~^=mrAiuf=ma)v0

2.运动模型

运动模型向心力的来源示意图运动模型向心力的来源示意图

飞机水平转弯飞车走壁

?=mgtan0

Fn=mglan0n

圆锥摆火车转弯摹

mg1

f^=mgtan0

r=Zsin0Fn=mglan0

A

汽车在水平路面转寸

;汽车水平转台(光滑)

/

弯/

£=m暗

3.圆周运动动力学分析过程

，审清题意，确：J做圆周运动的物

：定研究对象：1体为研究对象

♦扁电面面运前面觥平而

分析几何关系，目的是确定圆周运动的圆心、

半径

分析物体的运动情况,即物体的线速度、角速

度等相关量

分析物体的受力情况,画出受力

示意图，确定向心力的来源

(S):根据牛顿运动定律及圆周运动知识列方程

①口诀：“谁远谁先飞”；

②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：例二秒

5

③同侧背离圆心，心皿和加皿指向圆心，一起相对圆盘滑动时，

临界条件：

隔离A：〃加Ag-T=〃7As%：隔离B：T+/unRg=mnM-＞2rn

整体：〃"】雁+〃〃?88="?人"22人+〃阳屹2小

AB相对圆盘滑动的临界务他=」〃("'+加8卜=闷

\(%+〃%)

①口诀：“谁远谁先飞"(m＞以);

②轻绳出现拉力临界条件：用二件

此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。

2

此时隔离A：fA+T=m^a)r\；隔离B：7、+〃〃3&=〃出口2rB

消掉T：加〃加Bg-(〃?85〃"A)s2

③当阳"8="以小时，fA=W〃Bg，AB永不滑动,除非绳断；

④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件：

1)当〃皿力＞，〃,4小时，/4=/〃加g-(用8。-〃?八以初3—人=0—＞反向一方达到

最大一*从B制£出；

2)当"〃"力＜/7卬，时，以衿〃〃118+。〃"4-"S3/21'-必达到最大

一ST—TTT'I-^OT反向一加达到最大—从A侧飞出；

AB相对圆盘滑动的临界关?=5+团彘=J阳

~VSA+SB心.+/一

\(%+〃％)

临界条件：

①%＞4，②为〈4,

四、竖直面内的圆周运动

1.运动特点

(1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。

(2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。

(3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动

到圆周的最高点的速度。

(4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形。

2.常见绳杆模型特点及临界规律

轻绳模型轻杆模型

hft@

情景图示

1%

、、

、**_△n

弹力特征弹力可能向人，也可能等于零弹力可能向卜,，可能向上，也可能等于零

h、、、//T、、、

Fr，事、"一"T、、

受力示意图mgmg

mgmgmg

oloololo

2

_l广

力学方程〃吆+Fr=wy

v=0＞即尸向=0,

临界特征Fr=O,即mg=my,得v=y[gr

此时Fz=mg

(1)“绳”只能对小球施加向下的力(1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支

模型关键(2)小球通过最高点的速度至少为持力

(2)小球通过最高点的速度最小可以为0

2.拱形桥和凹形桥类模型特点及临界规律

拱形桥模型凹形桥模型

情景图示

弹力特征弹力可能向上，也可能等于零弹力向上

受力示意图/Tmg\/|mg^

r

22

vF-mg=fn^-

力学方程mg-FN=m—N

KK

V2

临界特征产N=0,即mg=“下得v=-\[gi-

v2v2

①最高点：&=〃8-〃Z失重；①最低点：F=mg+m—,超重；

模型关键RNA

②汽车脱离，做平抛运动。②uwO,1，越大，尸N越大。

见固综合提高练

1.如图所示，A、B两轮半径分别为2r和r,0、。?分别为两轮的圆心，。、〃分别为A、B轮边缘上的点，

c点在A轮上，。到。|的距离为广，两轮靠摩擦传动，在两轮转动时接触点不存在打滑现象，则在两轮匀速

转动时()

A.a、力两点的线速度相等B.〃、〃两点的角速度相等

C.。、c两点的角速度相等D.氏。两点的向心加速度相等

【答案】C

【详解】A.靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触面互不打滑，所以a、b两点的线速度大小相等，方

向不同，故A错误；

B.〃、。两点的线速度大小相等，其中

根据丫=/。可知"、〃两点的角速度不相等，故B错误；

C.由于。、C两点是同轴转动，所以。、C两点的角速度相等，故C正确；

D.因为

匕,=%，。，

v=r＜ra=2rh=2r

所以

5=24

因为

＞

◎“=◎,，/=24=2，a=rc^

联立可得

%.欧=3

，4ai

故D错误。

故选C。

2.智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。如图甲，将带有滑轮的短杆一端穿入腰带外侧轨道，另一端悬挂

一根带有配重的轻绳，将腰带水平系在腰间，通过人体扭动，配重会随短杆做水平匀速圆周运动。其简化

模型如图乙所示，悬挂点P到腰皆中心点。的距离d=0.2m,绳子与竖直方向夹角为仇绳长/=0.5m,可视

为质点的配重质量〃/0.5kg,重力加速度大小g=10m/s2,下列说法正确的是（）

A.匀速转动时，配重受到的合力恒定不变

B.增大转速，则身体对腰带的摩擦力变大

C.转动过程中受到的拉力T=，〃gcos6

D.当使用者掌握好锻炼节奏后能够使。稳定在37。，此时配重的角速度(。=尼山(1人

【答案】D

【详解】A.匀速转动时，配重受到的合力提供向心力，其大小不变，方向变化，故A错误；

BC.若增大转速，配重做匀速圆周运动的半径变大，绳与竖直方向的夹角。将增大，竖直方向有

mg=TcosO

f=Mg+Tcos0=Mg+「ng

水平方向，有

Tsin=w(2^n):r

则拉力r变大，向心力变大，/不变，即身体对腰带的摩擦力不变，故BC错误；

D.对配重，根据牛顿第二定律可得

mgtan0=mco2(/sin6+d)

解得

co=VT^rad/s

故D正确。

故选Do

3.铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，如图为转弯处火车轨道横截面示意图。已知内外轨道与水平面

倾角为0,弯道处的圆弧半径为凡若质量为机的火车以速度，通过某弯道时，内轨和外轨均不受侧压力作

用，下面分析正确的是()

A.火车受重力、支持力、向心力

B.v=ylgRtanO

C.若火车速度小于I，时，外轨与轮缘之间有挤压

D.若火车速度大于丫时，内轨与轮缘之间有挤压

【答案】B

【详解】A.火车受重力、文持力作用，两个力的合力充当向心力，选项A错误;

B.由牛顿第二定律可知

cv2

mgtan0=m—

可得

v=y]gRtan0

选项B正确；

C.若火车速度小于v时，重力与支持力的合力大于火车转弯所需的向心力，则火车有做向心运动的趋势，

则内轨与轮缘之间有挤压，选项C错误；

D.若火车速度大于I，时，重力与支持力的合力小于火车转弯所需的向心力，则火车有做离心运动的趋势，

则外轨与轮缘之间有挤压，选项D错误。

故选Bo

4.十四届全运会铁人三项赛在汉中市天汉文化公园和天汉湿地公园拉开帷幕.某同学观看自行车比赛时发现

运动员骑自行车在水平地面转弯时，自行车与竖直方向有•定的夹角才不会倾倒。杳阅有关资料得知，只

有当水平地面对自行车的支持力和摩擦力的合力方向与自行车的倾斜方向相同时自行车才不会倾倒。若该

运动员骑自行车时的速率为10m/s,转弯的半径为12m,重力加速度g取lOm/s?。则自行车与竖直方向的夹

角的正切值为（）

D.1

【答案】A

【详解】摩擦力提供向心力，摩擦力大小等于

/=—

支持力与重力大小相等，支持力大小为

N=mg

自行车与竖直方向的夹角的正切值

tanO--

N

联立解得

故选Ac

5.如图所示，。为半球形容器的球心，半球形容器绕通过。的竖直轴以角速度。匀速转动，放在容器内的

两个质量相等的小物块a和力相对容器静止，〃与容器壁间恰好没有摩擦力的作川。已如a和。、〃和。的

连线与竖直方向的夹角分别为60。和30。，则下列说法正确的是（）

A.小物块。和人做圆周运动所需的向心力大小之比为6:1

B.小物块。和。对容器壁的压力大小之比为3：1

C.小物块。与容器壁之间无摩擦力

D.容器壁对小物块。的摩擦力方向沿器壁切线向下

【答案】A

【详解】A.。、）角速度相等，向心力为

F=nw'Rsina

所以。、b向心力之比为

E-sin60。二石

及―sin30。一丁

故A正确；

CD.由于力与容器壁间恰好没有摩擦力的作用，所以〃受重力和容器壁的支持力，则

mgtan30°="喏Rsin30°

解得

Reos300

对〃向心力

Fa=①：Rsin600<mgtan60°

所以小物块。与容器壁之间有摩擦力，即支持力在指向转轴方向的分力大于所需要的向心力，因此摩擦力

有背离转轴方向的分力，即容器壁对小物块。的摩擦力方向沿器壁切线向上，故CD错误;

B.对〃有

入〃cos300=5g

解得

少2百

FNb=k，ng

44cos60°+fsin600=mg,rsin60°-/cos60°=mco^Rsin60°

解得

r-6+1

F

NU=2，噂

则

FN-G+3

Fzh4

故B错误。

故选A。

6.一水平圆盘绕竖直方向的48轴匀速转动，A8轴通过圆心，圆盘上有P、Q两个相同的小物块随圆盘一

起转动而不打滑，P比Q离。点远一些，下列说法正确的是（）

I5

A.P比Q的周期大B.P受到的摩擦力为恒力

C.Q受摩擦力方向一定指向。点D.P、Q受到的摩擦力大小可能相等

【答案】C

【详解】A.圆盘上有P、Q两个相同的小物块随圆盘一起转动而不打滑，则P、Q是同轴转动，则角速度

相同，周期相同，故A错误；

B.P受到的摩擦力大小为

fP=〃吸

其大小会随着角速度的增大而增大，方向始终指向圆心，故P受到的摩擦力为变力，故B错误；

C.Q所受的摩擦力提供向心力，所以Q受摩擦力方向一定指向。点，故C正确；

D.P、Q受到的摩擦力提供向心力，根据

f=mrctf

因为P比Q离。点远一些，所以做圆周运动的半径不同，则P、Q受到的摩擦力大小不可能相等，故D错

误。

故选Co

7.如图中所示，某同学为了比较不同物体与转盘间动摩擦因数的大小设计了该装置。已知固定于转轴上的

角速度传感器和力传感器可直接测出角速度①和绳的拉力F,通过一不可伸长的细绳连接物块，细绳刚好

拉直，测得物块以不同的角速度随圆盘做匀速圆周运动时拉力「与角速度8的大小。在电脑上绘出图乙所

示图像。换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验，得到物块〃、氏c分别对应的三条直线，发现4

与c的纵截距相同，与C•的横截距相同，且符合一定的数量关系。（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）以下

说法正确的是（）

F

b

A.物块〃、b、c的质量之比为1回2团1

B.物块a、b、。的质量之比为2团1团1

C.物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为逅2国1

D.物块〃、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为1团2团2

【答案】D

【详解】AB.根据牛顿第二定律有

F+/.ting=mctfr

整理得

F-inco'r-pnig

图象斜率为

k=mr

可知物块a、b、c的质软之比为

LIL121

ma:mh:nii.=ka:kb.kc=-:-:-=2:2:\

故AB错误；

CD.图象纵截距大小为

f=

由图象可得

£/：£=l：2：l

可得物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为

=&：&£」W■⑵2

tna叫,flc221

故C错误，D正确。

故选Do

8.如图所示，水平转台上一个质量为〃，的物块用长为L的细绳连接到转轴上，此时细绳刚好伸直但无拉力，

与转轴的夹角为仇已知物块与转台间的动摩擦因数为〃，且〃<tan/重力加速度为g,设最大静摩擦力等

于滑动摩擦力。现让物块随转台一起转动，在转台的角速度从零逐渐增大到口。13F的过程中，下列

\2LcosO

说法正确的是（）

A.物块离开转台前所受的摩擦力逐渐增大

B.当转台角速度为①尸榨时物块将脱离转台

C.物块要离开转台时的速度大小为V2=照

D.当角速度增至加时，细绳与竖直方向的夹角a满足cosa=qcos。

【答案】D

【详解】

AB.设细绳刚要产生拉力，即物块与转台之间的摩擦力达到最大值时•，转台的角速度为例，则0在。~电范

围内逐渐增大时，根据

f=nuo2Lsin6

可.知物块所受摩擦力,逐渐增大至最大静摩擦力。

设物块将要脱离转台时转台的角速度为牡，细绳拉力大小为工，此时物块所受摩擦力为零，则在竖直方向

上，根据平衡条件有

cos0=mg

在水平方向，根据牛顿第二定律有

7；sin。=wft>JZ,sin0

联正解得

可知

则。在的~伤范围内逐渐增大时，物块所受摩擦力/逐渐减小至0,而◎在s~◎。范围内，物块已经脱离

转台，不再受摩擦力。综上所述可知摩擦力先增大后减小，当转台角速度为//=时物块未脱离转台,

故AB错误;

C.物块将要脱离转台时的速率为

v2=<y,Lsin^=J•sin0

故C错误;

D.当转台的转速增至/时，设细绳的拉力大小为乃，则在竖直方向上根据平衡条件有

cosa=〃ig

在水平方向上根据牛顿第二定律有

T2sina=nuo^Lsina

联立解得

2

cosa=—cosO

3

故D正确。

故选Do

9.如图甲所示，在光滑水平转台上放一木块A,用细绳的一端系住木块A,另一端穿过转台中心的光滑小

孔。悬挂另一木块B,当转台以角速度①匀速转动时，A恰能随转台一起做匀速圆周运动，图乙为其俯视

图，则（）

甲

A.当转台的角速度变为2.5/IbJ,木块A将沿图乙中的a方向运动

B.当转台的角速度变为1.50时,木块A将沿图乙中的c方向运动

C.当转台的角速度变为0.5①时,木块A将沿图乙中的》方向运动

D.当转台的角速度变为0.8①时,木块A将沿图乙中的c方向运动

【答案】D

【详解】AB.由题意知，当转台以角速度G匀速转动时，A恰能随光滑转台一起做匀速圆周运动，绳的拉

力等于A所需要的向心力，等于B的重力大小；当转台的角速度变为2.5⑦时，A所需向心力大于B的重力，

A将做离心运动，由于绳子拉力不为零，故不可能做匀速直线运动，故轨迹可能为力，同理可得，当转台的

角速度变为L5G时，木块A将沿图乙中的人方向运动，故AB错误：

CD.当转台的角速度变为0.5①时，A所需向心力小于B的重力，A将做近心运动，木可能将沿图乙中的c

方向运动，同理可得，当转台的角速度变为0.&”时，木块A将沿图乙中的。方向运动，故C错误，D正确。

故选Do

10.如图所示，水平圆盘上有两个相同的小木块。和4质量均为加，用轻绳相连，轻绳恰好伸直且无拉力。

00'为转轴，。与转轴的距离为/,人与转轴的距离为2/,木块与圆盘间的动摩擦因数均为“，最大静摩擦力

等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。在圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动的过程中，下列说法正确

的是（）

。彳

A.4木块所受静摩擦力先变天后变小，再变大

B.因〃两木块所受摩擦力始终指向圆心，所以不做功

C.若轻绳承受极限值为2〃〃?g,则在服〃两木块开始相对圆盘滑动前轻绳不会断掉

D.角速度达到时，〃、方两木块开始相对圆盘滑动

【答案】A

【详解】A.当角速度非常小时，两木块均由静摩擦力提供圆周运动的向心力，根据

f=mafr

可知

当角速度逐渐增大时，摩擦力逐渐增大，随后，〃木块先达到最大静摩擦力，角速度进一步逐渐增大时，绳

绷紧，有弹力作用，此时，由于绳的弹力等于木块〃增加的向心九而〃增加的向心力大于。增加的向心力，

即细的弹力大于。增加的向心力，则木块。的静摩擦力减小，随用速度增大，。静摩擦力将减小为o,之后，

。的静摩擦力随角速度的增大而反向增大，可知，。木块所受摩擦力先减小至o,后反向增大，故A正确：

B.在圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动的过程中，。两木块的动能逐渐增大，根据动能定理可知,

摩擦力对mb两木块均做正功，故B错误；

CD.由A选项分析可知，当。木块的摩擦力背心圆心达到最大时，心力两木块开始相对圆盘滑动，对〃木

块有

T+/./mg=nuo1-2/

对〃木块有

T-/.ung=mco2•/

联立解得

a,=^E,T=3j"ng>

可知角速度达到旧『时,a、心两木块开始相对圆盘滑动；若轻绳承受极限值为2〃〃吆，则在4、b两木块

开始相对圆盘滑动前轻绳会断掉，故CD错误。

故选A。

11.如图所示，可视为质点的、质量为，〃的小球，在半径为扭的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，

管道内径略大于小球直径。下列有关说法中正确的是（）

A.小球能够通过最高点时的最小速率为病

B.如果小球在最高点时的速率为娴，则此时小球对管道的外壁有作用力

C.如果小球在最低点时的速率为甄，则此时小球对管道的内壁有作用力

D.小球在最低点时的速率至少为2朝，小球才能通过最高点

【答案】D

【详解】A.小球在最高点时有支撑物，则小球能够通过最高点时的最小速率为0,选项A错误；

BC.如果小球在最高点时的速率为朝，则此时重力做圆周运动的向心力，则小球对管道无作用力，选项

BC错误；

D.小球能够通过最高点时的最小速率为0,则从最低点到最高点由机械能守恒定律

—/nv2=mg2R

解得小球在最低点时的速率至少为

2阚

选项D正确。

故选D。

12.如图所示，一位游客沿水上乐园的滑梯下滑，当滑至。点时恰好脱离滑道。已知滑道的MN段为一段

处于竖直面内的半径为"的圆弧，。点为圆弧的圆心，连线竖直，O产与加。的夹角为重力加速度

为g,由此可知该游客运动至尸点时的速度大小为（）

【答案】C

【详解】依题意，游客在P点时，有

V

mgcosa=ifI—

解得

17gAeosa

故选C。

13.杂技演员表演的“水流星〃的简化图如图所示。装有水的容器（可视为质点）在竖直面内做半径为0.9m的

匀速圆周运动。取重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（）

A.容器做完整圆周运动时，经过圆周最高点时的速度可以为0

B.容器经过圆周最高点时，水处于超重状态

C.当容器以3m/s的速度经过圆周最高点时，细线上的拉力恰好为0

D.容器经过圆周最低点时可能对细线没有拉力

【答案】C

【详解】A.若容器通过圆周最高点时的速度为0,容器受到的重力会使容器做向心运动，故A错误；

B.容器经过圆周最高点时•，水有竖直向下的加速度，处于失重状态，故B错误；

C.当容器通过圆周最高点时有

v2

ing+r=m—

r

解得

F=0

细线上拉力恰好为0,故C正确；

D.容器通过圆周最低点时应有

v'~

r-mg=m——

r

因此容器一定对细线有拉力，故D错误。

故选C。

14.如图中所示，不可伸长的轻绳连接小球绕定点。在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小

为力此时绳子拉力大小为R,拉力臼与速度的平方声的关系如图乙所示，图像中的数据a和〃以及重力

加速度g都为已知量，不计空气阻力，以下说法正确的是（）

A.若小球在竖直面内做完整圆周运动，则经过最高点的速度卜之夜