【《黎曼函数的性质及应用研究》5500字（论文）】

1黎曼函数的性质及应用研究目录TOC\o"1-3"\h\u1引言 [2]设在上有定义.存在的充要条件是：对任何满足且以为极限的数列，都存在且相等.引理5（夹逼定理）设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且.定理3黎曼函数在上导函数不存在REF_Ref25787\w\h[4].证明由前面可知，存在无理数列，，且满足(1)又因为满足（2）所以由式（1），（2）及引理4可知，不存在.同理可证也不存在，所以，黎曼函数在处不可导.下面证明在的无理点处不可导.设是无理数，一方面由推论1可知，存在无理数数列满足，且(3)另一方面，取数列满足，其中分别是的位不足近似和位过剩近似，则由注1和夹逼定理可知，又因为(4)由(3),(4)及引理4可知，不存在.因此黎曼函数在的无理点处不可导.定理4黎曼函数在区间上黎曼可积REF_Ref25787\w\h[4].证明事实上上使得的点最多只有有限个.最多只有有限个,记为个.作分化之后，令其中表示含有上述那种点列的外点列的小区间对应项的和，是其余各项的和.中每项.因此,,在中，这种项最多只有个，所以要，只要取，则时因此在上可积.又对的任何分割T，在T所属的每一个小区间上均取介点为无理点，作积分和得，由积分的定义可得证毕.以上是对黎曼函数的理论方面的介绍，主要是对黎曼函数几个性质的介绍和证明.接下来要为读者介绍黎曼函数的应用.黎曼函数的应用范围十分广泛，这里只介绍两个比较基本的应用.5黎曼函数的应用5.1黎曼函数在初等数学新定义函数题型中的应用黎曼函数在初等数学中有广泛的应用，特别在高中的数学中，常在解题中用于新定义函数的计算专题，这可以使函数更加计算上简便。例如：若函数是定义在上的奇函数，并且对任意的都有，当时，，则等于多少？分析由于是定义在上的奇函数则因为,用所以周期为2.因为所以，即5.2黎曼函数的有理数值有限性在极限与连续中的应用对于黎曼函数的性质4，在研究黎曼函数的连续性和极限性中，可以为定理1和定理2的证明提供另一种方法.如定理1的证明还可以用如下方法REF_Ref25101\w\h[2]：对，由性质4可知，满足的至多有有限多个，设满足.对，分如下两种情况讨论：若满足对，，取，则对满足有若存在，使得，取，则对满足有以及可类似证明.定理2的证明也可用如下方法：由定理1可知，对是无理数满足且，因此在或中的无理点处都是连续的.当是有理数时，故在内的有理点处不连续.6结论在本文中，着重于对黎曼函数性质的研究，而对黎曼函数的应用的研究则相对较少，只研究两个应用；一个是在初等数学新定义函数题型中的应用，它的优点是可以使得中学数学中某些新定义函数的计算得以简化.另一个是性质4在黎曼函数的极限性与连续性中的应用.对于本文出现的黎曼函数的几个性质，主要讨论和研究黎曼函数的简单性质.从黎曼函数的定义来看，可知黎曼函数有四个比较重要的性质.分别为：有界性、周期性、对称性、有理数值有限性.黎曼函数的导数与积分在本文中不作重点的介绍.黎曼函数的有理数值有限性在黎曼函数的极限与连续性的证明中提供了另一种思路和方法.在数学分析中，黎曼函数可以帮助我们理解一些特证命题，它可以从正面或反面说明数学分析中某些重要概念，因此系统的掌握它的性质对我们理解某些概念是有益的.参考文献华东师范大学数学系.数学分析(第四版）(上册）[M].高等教育出版社，2010：07.闫现杰,宋延乐.黎曼函数的性质及应用[J].齐齐哈尔大学学报(自然科学社），2018：9（34）5.管宇恒,江正辉,于雯珺.Riemann函数性质及实数完备性的推导[J].华科技经济市场，2019：7.张淑辉.有关Riemann函数的几点讨论[J].太原教育学院学报，2004：6（22）.张丽,刘淳安.黎曼函数的性质及证明[J].宝鸡文理学院学报(自然科学版），2002：6（22）-2.何越.狄利克雷函数与黎曼函数的性质[J].河南教育学院学报(自然科学版)，2013：12（22）-4.王家军,卢青文.黎曼函数的推广及性质[J].河南师范大学学报(自然科学版），1998：5（26）.康晓红.推广的黎曼引理在数学分析证明中的应用[J].职大学报，2004：4.黄慧,陈辉.黎曼函数的极大性及其应用[J].大学数学，2010：12（26）-6.顾云龙.谈谈黎曼函数的几个性质[J].曲阜师院