【高考数学】2026届一轮专题复习：2年高考1年模拟 数列求和 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练（四十二）数列求和1.(2025·苏州模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足2a5=a2+14，S9=72(1)求数列an(2)若数列bn满足bn=an，n为奇数，2n，n2.设公比为正的等比数列{an}前n项和为Sn，S3=7a1，且a1，a3，20+a2成等差数列.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn=bn+1+bnbn+1log2an，b1=1，求数列{bn}的前n项和Tn.3.已知数列an的前n项和为Sn，数列Snn为等差数列，a1=1，S7=28(1)求an(2)记bn=lgan，其中x表示不小于x的最小整数，如1.9=2，lg999=3，求数列b4.已知数列bn是正项等比数列，数列an满足an=2log2bn(1)求证：数列an(2)若a4=7，b3=8，设数列an和bn中的所有项按从小到大的顺序排列构成数列cn，记数列cn的前n项和为Sn5.(2024·杭州二模)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如：φ(1)=1，φ(4)=2，φ(8)=4，数列{an}满足an=φ(2n)(n∈N*).(1)求a1，a2，a3，并求数列{an}的通项公式；(2)记bn=(-1)nlog2a2na2n，求数列{

（解析）精练（四十二）数列求和1.(2025·苏州模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足2a5=a2+14，S9=72(1)求数列an(2)若数列bn满足bn=an，n为奇数，2n，n解：(1)依题意，设数列an的公差为d因为S9=72，所以9a1+a92=9a因为2a5=a2+14，即16=a2+14，所以a2=2，所以d=a5−a25−2=8−23=2，a1=a2-d=0，所以an=(n-1)×2，即(2)因为bn=a所以bn=2所以T2n=0+22+4+24+…+4n−4+22n=(0+4+…+4n-4)+22+22.设公比为正的等比数列{an}前n项和为Sn，S3=7a1，且a1，a3，20+a2成等差数列.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn=bn+1+bnbn+1log2an，b1=1，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)因为等比数列公比q>0，S3=7a1=a1+a1q+a1q2，a1≠0，所以q2+q+1=7⇒(q-2)(q+3)=0，即q=2，a1，a3，20+a2是等差数列，所以2a3=20+a2+a1⇒8a1=20+2a1+a1⇒a1=4，所以an=4×2n-1=2n+1.(2)因为bn=bn+1+bnbn+1log2an，所以bn=bn+1+bnbn+1log22n+1=bn+1+(n+1)bnbn+1，所以1bn+1-1bn=n+1，故1bn-1bn−1=n，利用累加法得出1bn-1b1=n+(1bn-1=(n−1)(n+2)2⇒1bn=n2Tn=21−12+123.已知数列an的前n项和为Sn，数列Snn为等差数列，a1=1，S(1)求an(2)记bn=lgan，其中x表示不小于x的最小整数，如1.9=2，lg999=3，求数列b解：(1)因为Snn为等差数列，所以公差d=S77−S117−1即Sn=nn所以an=Sn-Sn-1=nn+12-n−1n2=nn≥(2)由题意可知bn=lgan记bn的前n项和为Tn，则T2023=0+9×1+90×2+900×3+1023×4=69814.已知数列bn是正项等比数列，数列an满足an=2log2bn(1)求证：数列an(2)若a4=7，b3=8，设数列an和bn中的所有项按从小到大的顺序排列构成数列cn，记数列cn的前n项和为Sn解：(1)证明：设数列bn的公比为q，因为数列bn是正项等比数列，所以bn>0，q当n≥2时，an-an-1=(2log2bn-1)-(2log2bn-1-1)=2log2bnbn−1所以数列an是等差数列(2)因为a4=7，b3=8，所以b4=16，a3=5，所以q=b4b3=2，b1=b3q2=2，bn=b1数列an的公差d=a4-a3=2，a1=a3-2d=1，an=a1+n−1d=2n因为a50=99∈64，128=b6，b7，a44=87∈64，128=b6，b7，所以S50=(a1+a2+…+a44)+(b1+b2+…+5.(2024·杭州二模)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如：φ(1)=1，φ(4)=2，φ(8)=4，数列{an}满足an=φ(2n)(n∈N*).(1)求a1，a2，a3，并求数列{an}的通项公式；(2)记bn=(-1)nlog2a2na2n，求数列{解：(1)由题意可知a1=φ(2)=1，a2=φ(4)=2，a3=φ(8)=4，由题意可知，正偶数与2n不互素，所有正奇数与2n互素，比2n小的正奇数有2n-1个，所以an=φ(2n)=2n-1.(2)由(1)知an=φ(2n)=2n-1，所以a2n=φ(22n)=22n-1，所以bn=(-1)nlog2a2na2n=(-1)nlog22所以Sn=b1+b2+…+bn