【高考数学】2026届一轮专题复习：2年高考1年模拟 正弦定理与余弦定理 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练（三十二）正弦定理与余弦定理1.在△ABC中，A=60°，BC=43，AC=42，则角C的大小为()A.75° B.45°C.135° D.45°或135°2.(2025·郑州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且b=2a，2a2+b2=c2，则sinB=()A.14 B.6C.104 D.3.(2025·福州质检)已知△ABC的外接圆半径为1，A=π3，则ACcosC+ABcosB=()A.12 B.1C.32 D.4.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设△ABC的面积为S，且(a2-c2)sinA=2S，则b−ccA.1 B.2 C.12 D.5.(2024·南京二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bsinA+B2=csinB，则角CA.π6 B.πC.2π3 D.6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB+sinC)2=sin2A+(2-2)sinBsinC，2sinA-2sinB=0，则sinC等于()A.12 B.C.6−24 7.[多选]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是()A.若acosA=bcosB=B.若acosA=bcosB，则△ABC一定是等腰三角形C.A>B是sinA>sinB成立的充要条件D.若a2+b2-c2>0，则△ABC一定是锐角三角形8.(2025·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为3，D为AB的中点，且CD=2，a2+b2=7，则b=()A.52 B.5C.142 D.9.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，以AC为直径的圆的面积为2π，若S△ABC=23，则△ABC的形状为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.非等腰三角形 D.等边三角形10.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=.

11.(2025·平顶山、许昌质检)在△ABC中，2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则角A的大小为.

12.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若c2=(a-b)2+6，C=π3，则△ABC的面积是13.(2025·哈尔滨期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b-c)cosA=acosC.(1)求角A；(2)若c-b=2，a=7，求△ABC的面积.14.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知3bsinπ2+A=(1)求角A的大小；(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状.15.(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA；(2)设AB=5，求AB边上的高.

（解析）精练（三十二）正弦定理与余弦定理1.在△ABC中，A=60°，BC=43，AC=42，则角C的大小为()A.75° B.45°C.135° D.45°或135°解析:选A由正弦定理可知BCsinA=ACsinB⇒sinB=32×4243=22，因为BC>AC，所以A>B2.(2025·郑州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且b=2a，2a2+b2=c2，则sinB=()A.14 B.6C.104 D.解析:选C由b=2a，2a2+b2=c2，得2a2+b2=6a2=c2，所以cosB=a2+c2−b22ac=3a2c=3.(2025·福州质检)已知△ABC的外接圆半径为1，A=π3，则ACcosC+ABcosB=()A.12 B.1C.32 D.解析:选D由正弦定理可得ABsinC=ACsinB=BCsinA=2，所以AB=2sinC，AC=2sinB，则AC·cosC+AB·cosB=2sinBcosC+2sinCcosB=2sin(B+4.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设△ABC的面积为S，且(a2-c2)sinA=2S，则b−ccA.1 B.2 C.12 D.解析:选B∵(a2-c2)sinA=2S，又S=12bcsinA，可得bc=a2-c2.又ccosA=c×b2+c2−a22bc=b25.(2024·南京二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bsinA+B2=csinB，则角CA.π6 B.πC.2π3 D.解析:选B由题意知bsinA+B2=c即bsinπ2−C2=csinB，即sinBcosC2=sinCsinB=2sinC2cosC2sinB，B∈(0，π)，则sinB≠0，C2∈0，π2，则cosC2≠0，故sinC2=6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB+sinC)2=sin2A+(2-2)sinBsinC，2sinA-2sinB=0，则sinC等于()A.12 B.C.6−24 解析:选C在△ABC中，由(sinB+sinC)2=sin2A+(2-2)sinBsinC及正弦定理得(b+c)2=a2+(2-2)bc，即b2+c2-a2=-2bc.由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=-22，而0°<A<180°，解得A=135°.由2sinA-2sinB=0得sinB=22sinA=17.[多选]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是()A.若acosA=bcosB=B.若acosA=bcosB，则△ABC一定是等腰三角形C.A>B是sinA>sinB成立的充要条件D.若a2+b2-c2>0，则△ABC一定是锐角三角形解析:选AC由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，故tanA=tanB=tanC，而A，B，C为三角形内角，故A=B=C，故三角形为等边三角形，故A正确.由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，故sin2A=sin2B，故2A=2B+2kπ，k∈Z或2A=π-2B+2kπ，k∈Z，而A，B，A+B∈(0，π)，故2A=2B或2A=π-2B，即A=B或A+B=π2，故三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错误.在△ABC中，A>B等价于a>b，而后者等价于2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，其中R为三角形外接圆半径，故A>B是sinA>sinB成立的充要条件，故C正确.由a2+b2-c28.(2025·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为3，D为AB的中点，且CD=2，a2+b2=7，则b=()A.52 B.5C.142 D.解析:选C在△BDC和△ADC中，由余弦定理可得a2=14c2+2-2×12c×2×cos∠BDC，b2=14c2+2-2×12c×2×cos(π-∠BDC).联立可得，a2+b2=12c2+4=7，则c=6.由S△BDC=12×2×62×sin∠BDC=32，得sin∠BDC=1.∵0<∠BDC<π，∴∠BDC=π9.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，以AC为直径的圆的面积为2π，若S△ABC=23，则△ABC的形状为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.非等腰三角形 D.等边三角形解析:选D因为以AC为直径的圆的面积为2π，可知b=AC=22，又因为a，b，c成等差数列，则2b=a+c=42，由余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac=(a+c)2−2ac−b22ac，即cosB=32−2ac−82ac，整理得ac=121+cosB，且S△ABC=12acsinB=12·121+cosB·sinB=23，整理得3sin10.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=.

解析:由题意得S△ABC=12acsinB=34ac=3，则ac=4，所以a2+c2=3ac=3×4=12，所以由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×12=8，得b答案:2211.(2025·平顶山、许昌质检)在△ABC中，2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则角A的大小为.

解析:由题意，因为2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，由正弦定理化简得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，整理得a2=b2+c2+bc.又由余弦定理，可得cosA=b2+c又因为A∈(0，π)，所以A=2π3答案:2π12.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若c2=(a-b)2+6，C=π3，则△ABC的面积是解析:∵c2=(a-b)2+6=a2-2ab+b2+6，即a2+b2-c2=2ab-6，由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=2ab−62ab=12，解得ab=6，则S答案:313.(2025·哈尔滨期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b-c)cosA=acosC.(1)求角A；(2)若c-b=2，a=7，求△ABC的面积.解:(1)因为(2b-c)cosA=acosC，由正弦定理，可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB.因为B∈(0，π)，可得sinB>0，所以cosA=12又因为A∈(0，π)，所以A=π3(2)因为c-b=2，a=7，且A=π3由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA，即7=b2+c2-bc=(b-c)2+bc=4+bc，解得bc=3，所以△ABC的面积为S=12bcsinA=12×3×sinπ314.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知3bsinπ2+A=(1)求角A的大小；(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状.解:(1)∵3bsinπ2+A=asinB，由诱导公式得3bcosA=a由正弦定理得3sinBcosA=sinAsinB.∵sinB≠0，∴3cosA=sinA，即tanA=3.∵A∈(0，π)，∴A=π3(2)∵b，a，c成等比数列，∴a2=bc.由余弦定理得cosA=b2+c2−即b2+c2-bc=bc，∴(b-c)2=0，∴b=c.又由(1)知A=π3，∴△ABC为等边三角形15.(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA；(2)设AB=5，求AB边上的高.解:(1)因为A+B=3C，所以3C=π-C，所以C=π4因为2sin(A-C)=sinB，所以2sin(A-C)=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)，