等差数列高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考 含答案

/等差数列高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考一、单选题1．已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．2．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（

）A． B．C． D．3．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（）A．15 B．16 C．17 D．184．已知数列满足，则数列中的最小项为（

）A． B． C． D．5．记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（

）A．40 B．41 C．42 D．436．记为等差数列的前n项和．已知，则A． B． C． D．7．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.98．已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．设等差数列的前项和为，公差为，已知，.则（

）A． B．C．时，的最小值为 D．最小时，10．已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B．C． D．的最小值是4三、填空题11．数列都是等差数列，且，则数列的前100项的和是.12．已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于13．已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为．14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则.15．记为等差数列的前n项和．若，则公差．四、解答题16．等差数列的前项和为，已知，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.17．已知数列是公差为2的等差数列，满足．(1)求的通项公式；(2)设的前项和为，若，求的最大值．18．记为数列的前项和，已知，．(1)求，并证明是等差数列；(2)求．19．已知是等差数列的前项和.(1)证明：是等差数列；(2)设为数列的前项和，若，求.

答案题号12345678910答案DBBBBADCBCACD1．D【分析】根据题意可得，即数列为等差数列，确定首项及公差，即可得到通项，再计算即可.【详解】因为，所以，即数列为等差数列，又，所以数列首项为1，公差为3，，则，故选：D.2．B【分析】根据等差数列的定义求解即可.【详解】设的公差为，则，，故.故选：B.3．B【分析】令所给等差数列为，由给定的两个和建立方程，结合等差数列性质求解.【详解】令所给等差数列为，其前项和为，则，即，因此，解得，则数列的公差，所以谷雨日影长.故选：B4．B【分析】根据等差数列的通项可得，计算，结合即可求解.【详解】由可知为等差数列，且公差为2，首项为，因此，由于且，故中的最小项为，故选：B5．B【分析】由等差数列求和公式得，根据题意列出不等式即可求解.【详解】由已知可得，的公差为，故，故，令，又，所以，故n的最大值为41，验证，，所以n的最大值为41.故选：B.6．A【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．【详解】由题知，，解得，∴，故选A．本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．7．D【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D8．C【分析】计算得出，即可得出实数的取值范围.【详解】等差数列、的前项和分别为、，且，则，且当时，，因为，，，则，即的最小值为.故选：C.9．BC【分析】由等差数列求和公式与等差数列项的性质，易判断，即可判断A，B两项，计算化简，结合，知使时，的最小值为11；分析可得，当时，，当时，，故得最小时，有，排除D.【详解】对于A，由，则，又，则，故A错误；对于B，由A已得，则，故B正确；对于C，由上分析，当时，，当时，，又，又，所以时，的最小值为，故C正确；对于D，当最小时，，故D错误.故选：BC.10．ACD【分析】利用基本量法求出公差后可求通项，再利用等差数列的性质判断A，利用通项公式求出判断B，利用前项和公式判断C，利用单调性求出的最小值后判断D.【详解】设等差数列的公差为，则，，又，，，，.A选项，，正确；B选项，，错误；C选项，，，正确；D选项，，易知在上为单调递增，所以当时有最小值为4，正确.故选：ACD.11．5150【分析】根据给定条件，确定数列的特征，再利用等差数列前和公式求解.【详解】由数列和都是等差数列，得与均为常数，则为常数，数列是等差数列，由，得，又，得的公差，所以数列的前100项和为.故5150.12．【分析】由题意可知数列是首项为10，公差为的等差数列，求出前n项和，转化为求函数的最大值问题即可.【详解】当时，，且，所以，数列是首项为10，公差为的等差数列，则数列的前n项和为，因，故当时，取得最大值18．故．13．【分析】直接根据等差数列求和公式求解.【详解】根据等差数列的求和公式，.故14．4.【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.【详解】因，所以，即，所以．本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．15．2【分析】转化条件为，即可得解.【详解】由可得，化简得，即，解得.故2.16．(1)(2)【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；（2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解.【详解】（1）设数列的公差为，∵，∴，∵，∴

，∴公差为，∴，∴；（2）由已知，时，；时，；综上.17．(1)(2)最大值为5．【分析】（1）根据等差数列通项公式写出表达式，再结合这个条件，代入与表达式，通过等式计算求出首项，进而得到通项公式.也可令，利用和公差求出.（2）先由第一问得到的通项公式，根据等差数列前项和公式求出.再结合列出不等式，将其转化为一元二次不等式，求解不等式得到的取值范围，最后根据取值范围确定的最大值.【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，所以，由可得，解得，所以的通项公式为．（2）由（1）得，由得，即，解得，由于，所以，所以的最大值为5．18．(1)，证明见解析(2)【分析】（1）先求出和的值得到，再通过与的关系推导出的表达式并证明其为等差数列.（2）利用第一问的结论将进行拆分求解.【详解】（1）当时，，解这个方程：，即，解得.当时，，把代入得，移项可得，即，解得.所以.由，可得.当时，.展开得.整理得，移项得，即.那么.令，则，.所以（常数）.所以是等差数列.（2）由可得.因为，所以（）.则.所以.