第二十三单元综合测试四-2026届高考数学一轮单元素养练 含答案

/第二十三单元综合测试四(120分钟150分)考情分析高考对接点集合与简易逻辑是常考点，复数、概率统计、函数导数、平面向量、数列、立体几何、解析几何、不等式、三角函数是必考点单元疑难点导数及其应用、圆锥曲线综合、立体几何综合典型情境题4、8、19一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a与b能作为平面向量的一组基底，若a-kb与2a+3b共线(k∈R)，则k=A.32 B.-32 C.23 2.已知集合M={a2+1，1，5}，N={a+3，1}，若N⊆M，则实数a=A.-1或2 B.-2 C.-1 D.23.已知F1，F2为椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，△PF1F2面积的最大值为3，椭圆CA.(3，0) B.(2，0) C.32，0 D.(1，0)4.在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐，新能源汽车作为新能源中的重要支柱产业之一取得了长足的发展.为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型y=M1+(My0-1)e-rt进行估计，其中y为第t年底新能源汽车的保有量，r为年增长率，M为饱和量，y0为初始值(单位：万辆).若该省2024年底的新能源汽车保有量为30万辆，以此作为初始值，若以后每年的增长率为0.12，饱和量为1230万辆，那么2034年底该省新能源汽车的保有量约为(精确到0.1万辆)(参考数据：ln0.887≈-0.12A.33.7万辆 B.62.3万辆 C.94.6万辆 D.102.5万辆5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0，-π2<φ<π2的部分图象如图所示，则f2025π4=A.-32 B.32 C.-32 6.已知9名同学参加乐理知识测试的成绩分别为45，46，52，55，63，72，75，76，80，从这9名同学中选出3名同学，则这3名同学中乐理知识测试的成绩最低的一位恰好是这9名同学乐理知识测试成绩的30%分位数的概率为A.514 B.528 C.1528 7.已知实数a>0，b>0，且ab=4a+8b，则a+A.32 B.3 C.23 D.38.大家熟知的杨辉三角，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，其中数字最显著的特点是每个数等于它上方两数之和.现在将杨辉三角的计算方式加以变化，如图，第一行的数为1，1，下一行在相邻两个数之间插入这两个数的和，变为1，2，1，第三行得到1，3，2，3，1，以此类推，第n行的数为1，x1，x2，x3，…，xk，1，记an=1+x1+x2+…+xk+1，则a7=A.242 B.244 C.728 D.730二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题是假命题的有A.若a⊥c，b⊥c，则a∥bB.若a∥b，a∥α，且b⊄α，则b∥αC.若a∥α，b∥α，c⊥a，且c⊥b，则c⊥αD.若β⊥α，γ⊥α，且β∩γ=a，则a⊥α10.已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率为k，其中k>0，C，A两点在x轴上方，且OC·OD=-274，A.p=3B.若|AF|·|BF|=36，则直线CD的斜率为-1C.1|AB|+D.四边形ACBD面积的最小值为7211.已知函数f'(x)为定义在R上的函数f(x)的导函数，函数f(x-1)为奇函数，f'(2x+1)+f'(-2x+1)=0，且f'(0)=3，则下列说法正确的有A.函数f(x)的图象关于x=-1对称B.函数f'(x)的图象关于点(1，0)对称C.f'(24)=3D.∑i=115if'(2i三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z0=4+3i，复数z满足|z-z0|=3，则|z|的取值范围为.

13.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且bcos2A+acosAcosB=33csinA，则A=；内角A的平分线交BC于点M，若a=6，AM=2，则△ABC的面积为14.如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，△ABC是边长为6的正三角形.将该四边形沿对角线AC折成一个大小为120°的二面角D-AC-B，则四面体ABCD的外接球的体积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2AA1=4，AB=AC，点A1到平面BCC1B1的距离为1，M，N分别为B1C1，A1B的中点.(1)证明：CM⊥A1B.(2)求直线A1B1与平面CMN所成角的正弦值.16.(15分)已知函数f(x)=exsinx-2x.(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0）处的切线方程；(2)若不等式f(x)+x>aex对x∈R恒成立，求整数a的最大值.17.(15分)已知双曲线C：x2m-y2n=1(mn>0)，圆(x+4)2+y2=(1)求双曲线C的离心率；(2)若m>0，A为左顶点，F为右焦点，且B是双曲线C上第一象限内的一点，证明：∠BFA=2∠BAF.18.(17分)现有如下定义：①在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点(a1，a2，a3，a4，…，an)与(b1，b2，b3，b4，…，bn)对应坐标差的绝对值之和，即为|a1-b1|+|a2-b2|+|a3-b3|+…+|an-bn|；②在n维空间中(n≥3，n∈N)，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标(a1，a2，a3，a4，…，an)，并称其为“n维立方体”，其中ai∈{0，1}(i=1，2，3，…，n).请根据以上定义回答下面问题：(1)若“n维立方体”的顶点个数为λ，“(n-1)维立方体”的顶点个数为μ，求λ-μ的值；(2)在“4维立方体”的所有顶点中，随机选择两个不同顶点A，B，求A，B两点间的曼哈顿距离为3的概率；(3)记随机变量ξ为“n维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离，求ξ的分布列和数学期望.19.(17分)给定奇数n≥3，设A0是n×n的数阵.aij表示数阵第i行第j列的数，aij=1或−1,i≠j,0,i=j,且aij=aji(i=1，2，…，n；j=1，2，…，n).定义变换φt为“将数阵中第t行和第t列的数都乘以-1”，其中t∈{1，2，…，n}.设T=(t1，t2，…，ts)，tr∈{1，2，…，n}，r=1，2，…，s(s∈N*)，将A0经过φt1变换得到A1，A1经过φt2变换得到A2，…，As-1经过φ(1)当n=3时，设A0=01110-11-10，T=(2，1)，写出A1，A2(2)当n=5，s≥2时，对给定的数阵A0，证明：TA0(2)-T(3)证明：对给定的数阵A0，总存在T，使得TA0(s)≤

答案1.B【解题分析】由a-kb与2a+3b共线，知12=-k3，即2.C【解题分析】由于N⊆M，若a+3=5，解得a=2，此时a2+1=5，不合题意；若a2+1=a+3，即a2-a-2=0，解得a=2或a=-1，若a=-1，此时a2+1=a+3=2，符合题意.3.A【解题分析】依题意，△PF1F2面积的最大值为12×2c×b=bc=3，又椭圆C的离心率为12，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b=3，故椭圆C的右顶点的坐标为(3，4.C【解题分析】根据题中所给阻滞型模型，代入有关数据，注意以2024年的新能源汽车的保有量为初始值，则2034年底该省新能源汽车的保有量为y=12301+(123030因为ln0.30≈-1.2，所以e-1.2≈0.30，所以y=12301+40e-1.2≈12301+40×0.305.A【解题分析】由题图可知函数f(x)的最小正周期为T=27π12-π12=π，又T=2πω，所以ω=2由fπ12=0，得sinπ6+φ=0，又-π2<φ<π2，所以φ=-π6由f(0)=32，得A=-3，所以f(x)=-3sin2x-π6，则f2025π4=-3sin2025π2-π6=-3cosπ6=-326.B【解题分析】由题意知，这9名同学乐理知识测试成绩的30%分位数为52，随机选出3人，共有C93=84种结果.3名同学中乐理知识测试的成绩最低的一位为52，有C62=15种结果，故这3名同学中乐理知识测试的成绩最低的一位恰好是这9名同学乐理知识测试成绩的30%分位数的概率为7.C【解题分析】(a+4b)2=a2+8ab+16b2=a(a+8b)+16b2=4b+16b2=2b+2b+16b2≥3364=12，当且仅当b=12时取等号，所以a+8.D【解题分析】对数列{an}，可得an+1=an+2an-2=3an-2，则an+1-1=3(an-1)，即{an-1}为等比数列，得an-1=1×3n-1，所以an=3n-1+1，则a7=36+1=730.9.AC【解题分析】对于A，直线a，b可以异面，故A项不正确；对于B，B项正确；对于C，若a∥b，则不能推出c⊥α，故C项不正确；对于D，D项正确.10.ACD【解题分析】设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由抛物线的焦点弦的性质可知，x1x2=p24，y1y2=-p2，OC·OD=x1x2+y1y2=-34p2，即p=3设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的焦半径公式知|AF|=31−cosθ，|BF|=若|AF|·|BF|=36，则sinθ=12，tanθ=33，则直线CD的斜率为-3，由抛物线的焦点弦公式，得|AB|=6sin2θ，|CD|=6sin2(θ+π2设四边形ACBD的面积为S，由AB⊥CD，知S=|AB|·|CD|2=18si11.BCD【解题分析】函数f(x)的定义域为R，因为函数f(x-1)为奇函数，所以f(-1+x)+f(-1-x)=0，即函数f(x)的图象关于点(-1，0)对称，所以A选项不正确；因为f'(2x+1)+f'(-2x+1)=0，所以f'(x+1)=-f'(-x+1)，所以函数f'(x)的图象关于点(1，0)对称，所以B选项正确；由B选项知，f'(x+2)=-f'(-x)，因为f(-1+x)+f(-1-x)=0，则f(-1+x)=-f(-1-x)，所以f'(-1+x)=f'(-1-x)，所以函数f'(x)的图象关于直线x=-1对称，又f'(-2+x)=f'(-x)，所以f'(x+2)=-f'(-2+x)，即f'(x+4)=-f'(x)，所以f'(x+8)=f'(x)，所以8是函数f'(x)的一个周期，所以f'(24)=f'(0)=3，所以C选项正确；f'(2)=-f'(0)=-3，f'(4)=-f'(0)=-3，f'(6)=-f'(2)=3，所以∑i=115if'(2i)=f'(2)+2f'(4)+3f'(6)+4f'(8)+…+14f'(28)+15f'(30)=(-1-2+3+4-5-6+7+8-9-10+11+12-13-14+15)×3=0故选BCD.12.[5-3，5+3]【解题分析】设z=a+bi(a，b∈R)，由|z-z0|=3，知(a-4)2+(b-3)2=3，即复数z在复平面上对应的点在圆(x-4)2+(y-3)2=3上，则|z|∈[5-3，5+3].13.π3【解题分析】依题意，由正弦定理可得sinBcos2A+sinAcosAcosB=33sinCsinA，即sin(A+B)cosA=33sinCsinA，故3cosAsinC=sinAsinC.又sinC≠0，所以3cosA=sinA，则tanA=3，因为A∈(0，π)，所以A=π3.因为S△ABC=S△ABM+S△ACM，所以12bcsin∠BAC=12AM·c·sin∠BAM+12AM·b·sin∠CAM.又AM平分∠BAC，所以∠BAM=∠CAM=12∠BAC=π6，所以34bc=24c+24b，则62bc=c+b.在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即36=c2+b2-bc，所以36=(c+b)2-3bc=32(bc)2-3bc，14.52【解题分析】如图，取AC的中点E，连接BE.设M为正△ABC的外心，则点M在BE上，且BM=2ME.设O为四面体ABCD的外接球球心，则OM⊥平面ABC.因为AD⊥CD，则E为Rt△ACD的外心，所以OE⊥平面ACD.因为二面角D-AC-B的大小为120°，则直线OE与平面ABC成30°角，所以∠OEM=30°.因为△ABC是边长为6的正三角形，则BE=33，所以ME=BE3=3在Rt△OME中，OE=MEcos30°=2在Rt△AEO中，因为AE=3，所以OA=AE2+O所以四面体ABCD的外接球半径R=13，则体积V=4π3·(13)3=5215.【解题分析】(1)设BC的中点为O，连接MO，AO.由AB=AC，知AO⊥BC，又点A1到平面BCC1B1的距离为1，ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以AO=1.又M为B1C1的中点，所以OM∥CC1.因为CC1⊥平面ABC，所以OM⊥平面ABC，而OA，OC均在平面ABC内，故OA，OC，OM两两垂直.故以O为原点，OA，OC，OM所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，B(0，-2，0)，C(0，2，0)，M(0，0，2)，故A1B=(-1，-2，-2)，CM=(0，-2，2)，所以A1B·CM=4-4=0，所以CM⊥A(2)因为A(1，0，0)，所以A1B1=AB=(-1，-2又N12，-1，1，故CN=12，-3，1.设平面CMN的法向量为n=(x，y，z)，则n·CM取y=1，则n=(4，1，1).设直线A1B1与平面CMN所成的角为θ，则sinθ=|cos<A1B1，n>|=A1B1·n|故直线A1B1与平面CMN所成角的正弦值是105.13分16.【解题分析】(1)f'(x)=ex(sinx+cosx)-2，f'(0)=-1，f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0）处的切线方程为y=-x.5分(2)不等式f(x)+x>aex恒成立等价于a<sinx-xex令φ(x)=sinx-xex，当x≤0时，-xex≥0，所以φ(x当x>0时，令h(x)=-xex，h(x)<0，h'(x)=h'(x)与h(x)的情况如下：x(0，1)1(1，+∞)h'(x)-0+h(x)↘-1↗所以h(x)min=h(1)=-1e当x趋近正无穷大时，h(x)<0，且h(x)无限趋近于0，所以h(x)的值域为-1e，0.因为sinx∈[-1，1]，所以φ(x)的最小值小于-1且大于-2，所以整数a的最大值为-2.15分17.【解题分析】(1)当m>0时，此时双曲线C的焦点在x轴上，可得a2=m，b2=n，则c2=a2+b2=m+n，故双曲线C的渐近线方程为nx±my=0，由圆(x+4)2+y2=12与双曲线C的渐近线相切，知4nm+n=23，则n=3m，e=ca当m<0时，此时双曲线C的焦点在y轴上，可得a2=-n，b2=-m，则c2=a2+b2=-m-n，故双曲线C的渐近线方程为-nx±-my=0，同理可知n=3m，e=ca=-m-n-n=2(2)因为m>0，双曲线C的焦点在x轴上，由(1)可得，b2=3a2，所以x2a2-y23a2=1，c=2a，A(-a，0)，设B(x，ykAB=yx+a，kBF=yx-c，设∠tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2·yx+a1−(yx+a)

2=2(x+a18.【解题分析】(1)依题意，“n维立方体”的顶点个数λ=2n，“(n-1)维立方体”的顶点个数μ=2n-1，所以λ-μ=2n-1.3分(2)设点A(x1，x2，x3，x4)，B(y1，y2，y3，y4)，由(1)可知“4维立方体”中共有16个顶点，从中任取两个不同点A，B，有A162由于A，B两点间的曼哈顿距离为3，可知使xi≠yi的i的个数为3，xi=yi的i的个数为1，共有C4324种不同的情况，故A，B两点间的曼哈顿距离为3的概率为P=415(3)由题意得，ξ可取1，2，3，…，k，…，n，当ξ=k时，对于点(a1，a2，a3，…，an)与点(b1，b2，b3，…，bn)，其中使ai≠bi的i的个数为k，则满足ai=bi的i的个数为(n-k)，此时所对应情况数为Cnk2则P(ξ=k)=Cnk2nA2n2=Cnk故ξ的分布列为ξ12…k…nPCC…C…C数学期望E(ξ)=1×Cn12n-1+2×C又E(ξ)=n×Cnn2n-1+(两式相加可得2E(ξ)=n2n-1(Cn1+Cn2+…+C所以E(ξ)=n×2n19.【