广东地区一轮复习模拟题汇编：函数与导数2025年高考数学核心考点突破 含答案

/广东地区一轮复习模拟题汇编：函数与导数2025年高考数学核心考点突破注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．（2024·广东佛山·二模）直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（

）A．9 B．8 C．6 D．52．（2024·广东佛山·模拟预测）函数（

）A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数的零点从小到大分别为．若，则（

）A． B． C．1 D．25．（2024·广东广州·二模）已知函数的定义域为R，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．7．（2024·广东汕头·三模）已知A，B，C是直线与函数的图象的三个交点，如图所示．其中，点，B，C两点的横坐标分别为，若，则（

）A． B．C．的图象关于中心对称 D．在上单调递减8．（2024·广东茂名·模拟预测）自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（

）A． B．3 C．1 D．或3二、多选题9．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则（

）A． B．无最小值C． D．的图象关于点中心对称10．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数的定义域为R，对，且为的导函数，则（

）A．为偶函数 B．C． D．11．（2024·广东广州·阶段练习）已知，下列判断正确的是（

）A．时直线为图象的一条对称轴B．若，且，则C．时将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称D．若在上恰有9个零点，则的取值范围为三、填空题12．（2024·广东东莞·三模）若，则的大小关系为．13．（2024·广东东莞·模拟预测）已知，分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数a的最大值为．14．（2024·广东广州·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为百米.四、解答题15．（2024·广东汕头·三模）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若恒成立，求的最小值．16．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，且满足（为自然对数的底数，）．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：．17．（2024·广东汕头·一模）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.18．（2024·广东广州·二模）已知函数.(1)证明：恰有一个零点，且；(2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值.（i）设，求的解析式；（ii）证明：当，总有.19．（2024·广东茂名·一模）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.(1)若，判断是否为上的“3类函数”；(2)若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，.

答案：1．A【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心，从而得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解．【详解】因为为奇函数，所以函数图象关于中心对称，函数图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得函数的图象，所以的对称中心为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．故选：A2．A【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性.【详解】的定义域为，，为偶函数；当时，在区间上单调递增.故选：A.3．D【分析】根据函数有两个极值点的个数，转化为导数在上有两个变号零点，再进行参数的讨论即可.【详解】由题意得．因为函数在上恰有两个极值点，则在上有两个变号零点．当时，在上恒成立，不符合题意．当时，令，则，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，又，，所以，则，即实数的取值范围是.故选：D．方法点睛：本题考查已知函数极值点个数求参数范围.对于函数零点个数的相关问题，常常利用导数和数形结合思想来求解．求解这类问题的步骤：（1）构造函数，并求其定义域，这是解决此类题的关键点和难点；（2）求导，得函数的单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况，进而求解．4．C【分析】令可得，根据题意结合正弦函数性质分析求解.【详解】令，可得，且，则，则，可得，即，则.故选：C.5．A【分析】根据题意分析可知为偶函数，结合偶函数可得，进而可知6为的周期，赋值可知，结合周期性运算求解.【详解】由题意可知：函数的定义域为R，因为，则，可得，所以为偶函数，由可得，即，整理得，可得，则，可得，所以6为的周期，由，令，可得，可得；令，可得，可得；所以．故选：A．方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．6．D【分析】构造函数，然后由已知可得的单调性，最后将不等式转化为，即可得到答案.【详解】，令，则，则在上单调递增.由，为奇函数，得，则，从而原不等式可化为，即，此即为.由于在上单调递增，故这等价于，所以不等式的解集为.故选：D.关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.7．B【分析】根据给定条件，可得，进而求得，结合，得到，再逐项分析判断即可.【详解】由，得，而，且点A在图象的下降部分，则，于是，显然是直线与的图象的三个连续的交点，由点横坐标，即，解得，，解得，，则，而，因此，所以，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，的图象关于不对称，C错误；对于D，当时，，当，即时，函数取得最小值，又，因此在上不单调，D错误.故选：B思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求.8．A【分析】根据题意，由得到求解.【详解】解：，，，（舍）．，．故选：A9．BCD【分析】对于A，令即可；对于BC，令得，通过递推计算即可；对于D，令，得即可判断函数的图象关于点中心对称.【详解】对于A，令，得，解得，故A错误；对于B，令，则，且，即可知函数无最小值，故B正确；对于C，由B知，，所以，，则，故C正确；对于D，令，则原式化为，令，所以，即，所以，所以函数的图象关于点中心对称，故D正确.故选：BCD.10．BCD【分析】对于A：令，可判断A；对于B：令，进而计算可判断B；对于C：为奇函数，可得为偶函数；进而可得关于对称，可判断C；对于D：令，可得，令，则，两式相加可判断D.【详解】对于A：令，则，为奇函数，故选项A不正确；对于B：令，则，令，则为奇函数，，的周期为4，，故选项B正确；对于C：为奇函数，为偶函数；的周期为4，为偶函数，，关于对称，所以，令，可得，令，可得，所以，故，，故选项C正确；对于D：令，则，即①，令，则②，由①+②得，故选项D正确.故选：BCD．关键点睛：本题综合考查函数性质的应用，涉及到函数的奇偶性、周期性以及导数的知识，解答的关键是根据题意采用变量代换推出函数为周期为4的周期函数，进而求得一个周期内的函数值，即可求解.11．AD【分析】先利用二倍角公式将化简，利用三角函数的相关性质依次判断求解即可.【详解】，，对于A，当时，，，所以为的一条对称轴，故A正确；对于B，根据条件，可得，，，故B错误；对于C，当时，，将向左平移个单位长度后可得是偶函数，图象关于轴对称，故C错误；对于D，由题意，则，因为在上恰有9个零点，所以，解得，故D正确.故选：AD.12．【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，即可求解.【详解】，，，令，则，由，得，由，得．在上单调递增，在上单调递减．最大，而，，则．故．13．/【分析】表示出点到直线的距离，而，令，可得，则转化为利用导数求的最小值即可.【详解】点到直线的距离为，则，因为点在的图象上，所以，所以，令，因为，所以在上递增，当时，，当时，，所以，令，则，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，所以，所以，因为对任意的，都有恒成立，所以，所以实数a的最大值为，故关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查不等式恒成立问题，考查函数的单调性和最值，解题的关键是将问题转化为大于等于点到直线的距离，再次转化为求的最小值，再转化为求的最小值，考查数学转化思想，属于较难题.14．【分析】设半圆步道直径为百米，连接，借助相似三角形性质用表示，结合对称性求出步道长度关于的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为百米，连接，显然，由点O为线段的中点，得两个半圆步道及直道都关于过点垂直于的直线对称，则，又，则∽，有，即有，因此步道长，，求导得，由，得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，因此当时，，所以步道的最大长度为百米.故15．(1)答案见详解(2)【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得；（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【详解】（1）f′x=当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；当时，，；，，从而在上递增，在递减；综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，若，，所以恒成立，当时，，当时，，可知在内单调递增，在内单调递减，所以，解得：，可知的最小值为；若，，所以恒成立，当时，，当时，，可知在内单调递减，在内单调递增，所以在内无最大值，且当趋近于时，趋近于，不合题意；综上所述：的最小值为.16．(1)答案见解析(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明过程见解析【分析】（1）求定义域，求导，令，根据的正负分类讨论，求出函数的单调性；（2）（ⅰ）在（1）的基础上得到，并根据得到不等式，求出，得到的取值范围；（ⅱ）结合，，得到，根据的范围得到，令，，求导得到其单调性，故，要证明，只需证，结合且，放缩后得到结论.【详解】（1）的定义域为0,+∞，，令，其判别式为，若，即时，恒成立，故f′x≥0在0,+∞故在0,+∞上单调递增，若，解得或，设的两个根分别为，解得，当时，，，所以，且，当时，gx>0，f当时，gx<0，f故在上单调递增，在上单调递减，当时，，，所以，则gx>0，f′x>0在0,+综上，当时，在0,+∞上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减，（2）（ⅰ）由（1）可知，，，即，，两边平方得，解得，负值舍去，其中，综上，，实数的取值范围为；（ⅱ）由（ⅰ）知，，将代入上式得，，由于，故，所以，因为，所以，令，，则在上恒成立，故在上单调递减，故，要证明，只需证，因为，所以，且，所以，所以.关键点点睛：导函数处理零点或极值点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断极值点或零点个数，较为复杂和综合的函数极值点或零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方17．(1)；(2).【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出的范围.【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）函数的定义域为，求导得，当时，，由，得，由，得，则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意；当时，由，得或，①若，即，由，得或，由，得，则函数在上递增，在上递减，因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；②若，即，由，得或，由，得，则函数在上递增，在上递减，因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；③若，即，由在上恒成立，得在上递增，函数无极值，不合题意，所以的取值范围为.18．(1)证明见解析(2)，证明见解析【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；（2）（i）由导数的几何意义得曲线在处的切线方程为，进而得；（ii）令，进而构造函数，结合函数单调性证明，再根据，证明即可得答案．【详解】（1），定义域为，所以，在上恒成立，所以函数在上单调递增，因为，，所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且；（2）（i）由（1）知，所以，曲线在处的切线斜率为，所以，曲线在处的切线方程为，即，令得，所以，切线与轴的交点，即，所以，；证明：（ii）对任意的，由（i）知，曲线在,处的切线方程为：，故令，令，所以，，所以，当时，，单调递增，当,时，，单调递减，所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，另一方面，由（i）知，，且当时，，（若，则，故任意，显然矛盾），因为是的零点，所以，因为为单调递增函数，所以，对任意的时，总有，又因为，所以