河南省2025年高考数学模拟试卷H3 含答案

/河南省2025年高考数学模拟试卷H3一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{an}满足a1=2，aA.7 B.8 C.10 D.112.已知动点P在圆O:x2+y2=4上，若以点P为圆心的圆经过点Q(1,1)，且与圆O交于A，B两点，记点P到直线AB的距离为d，且d的最小值为A.2 B.3 C.23.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB中点，且A.223 B.4234.对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=a⋅b|a|2+|b|2，a⊙b=A.1 B.32 C.1或54 D.15.已知函数y=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)满足fA.ω=2，φ=π4 B.ω=2，φ=π2 C.6.“x>6”是“x>16”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.函数f(x)满足：∀x，y∈Z，f(A.4900 B.4950 C.5000 D.50508.已知函数f(x)=mlnx−4x，若不等式f(A.0≤m≤4 B.m≥4 C.m二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1，z2，z3∈CA.若z1z3=z2z3，则z1=z10.已知点A(1,4)，B(3,2)，C(2,−1)，若直线l经过点C，且A，B到l的距离相等，则lA.x+y−1=0 B.x−y−3=011.如图，在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1上，点M为体对角线BD1靠近D1点的三等分点，点E，F为棱AB、CA.平面MEF与底面ABCD的夹角余弦值为57777

B.点D到平面MEF的距离为67711

C.点D到点P的距离最大值为6345

D.设平面MEF与正方体棱的交点为T1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数fx=32x13.已知指数函数f(x)=ax(a>0且a14.某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如表所示，其中x∈N∗，且x<16，若有90%的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则对工作满意对工作不满意男55女46附：K2=n(P0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量m=(3cosx+sinx,1),n=(sinx,12)，函数f(x)=n⋅m．

(1)求16.(本小题15分)

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．

(1)AE⊥平面BCD；

(2)求二面角A−DC−17.(本小题15分)

经典比特只能处于“0”态或“1”态，而量子计算机的量子比特可同时处于“0”或“1”的叠加态，某台量子计算机以序号1，2，3，…，2k(k∈N∗)的粒子自旋状态为量子比特，每个粒子的自旋状态等可能的处于“0”态(下旋状态)或“1”态(上旋状态)，现记序号为奇数的粒子中，处于“0”态的个数为X，序号为偶数的粒子中，处于“1”态的个数为Y．

(1)当2k=4时，求随机变量X的分布列和期望：

(2)在这2k个粒子中，求事件“X=Y”的概率；

(3)在这18.(本小题17分)

已知圆M：(x−2a)2+(y−a)2=16(a≠0)的圆心M在抛物线N：x2=2py(p>0)上，且圆M与抛物线N的准线相切.如图，过抛物线N上的三个不同点A，B，C(B在A，C之间)，作抛物线的三条切线，分别两两相交于点D，E，F．

(1)求圆M和抛物线N的方程；

(2)是否存在常数λ，使得DA19.(本小题17分)

已知函数f(x)=eaxsinx．

(1)求f(x)的图象在x=0处的切线方程；

(2)若x≤π2时，f(x)≥x恒成立，求正实数a的取值范围；

(3)答案和解析1.【正确答案】A

2.【正确答案】C

3.【正确答案】D

4.【正确答案】C

5.【正确答案】C

6.【正确答案】B

7.【正确答案】B

8.【正确答案】C

9.【正确答案】ACD

10.【正确答案】AD

11.【正确答案】BCD

12.【正确答案】313.【正确答案】1π14.【正确答案】14或15

15.(1)依题意，m=(3cosx+sinx,1),n=(sinx,12)，

则f(x)=n⋅m=sinx(3cosx+sinx)+12=3sinxcosx+sin2x+12

=32sin2x−12cos2x+1=sin(2x−π6)+1，

故最小正周期T=2π2=π；

(2)因为x∈[0,π2]，则−π6≤2x−π6≤5π6，

结合正弦函数图象，令−π6≤2x−π6≤π2，得0≤x≤π3，

所以f(x)的单调增区间为[0,π3]；

(3)由(2)知，2x−π6∈[−π6,5π6]，

结合正弦函数图象，得sin(2x−π6)∈[−12,1]，

则sin(2x−π6)+1∈[12,2]，

所以f(x)在x∈[0,π2]的值域为[12,2]．

16.(1)证明：因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD，

又在△ABD中，AE⊥BD，AE⊂平面ABD，

所以AE⊥平面BCD；

(2)解：由(1)知AE⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，

所以AE⊥EF，

由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，

以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E−xyz，

如图所示：

结合图1知AC=2AB,BD=12AC，D为AC中点，

故不妨设AB=BD=DC=AD=2，△ABD为正三角形，AE⊥BDX012P111所以随机变量X的期望为E(X)=0×14+1×12+2×14=1；

(2)P(X=Y)=Ck0Ck0+Ck1Ck1+Ck2Ck2+...+CkkCkk22k=CkkCk0+Ckk−1Ck1+Ckk−2Ck2+...+Ck0Ckk22k=C2kk22k(或C2kk4k)；18.(1)圆(x−2a)2+(y−a)2=16(a≠0)的圆心M(2a,a)，

由于圆心M在N上，因此4a2=2p×a(p>0)，所以2a=p，

由于圆M与N的准线相切，因此p2+a=4，

解得a=2，p=4，

因此圆M为(x−4)2+(y−2)2=16，

N为x2=8y；

(2)存在常数1，使得DA⋅FC=DE⋅FE，理由如下，

设C(x3,y3)，B(x2,y2)，A(x1,y1)，y'=14x，

那么在点B处的坐切线方程为y−y2=14x2(x−x2)，所以y=14xx2−18x22，

在点A处的坐切线方程为y−y1=14x1(x−x1)，所以y=14xx1−18x12，

根据y=14xx1−18x12y=14xx2−18x22，可得xD=x1+x22yD=x1x28，因此D(x1+x2219.(1)由f(x)=eaxsinx，得f(0)=0，又f'(x)=eax(asinx+cosx)，

则k=f'(0)=1，故切线方程为y=x．

(2)由a>0，当x≤−π2时，则eaxsinx>−1>−π2≥x；当−π2≤x≤0时，

此时sinx≤0，eax≤1，故eaxsinx≥sinx≥x，当0<x≤π2时，

设g(x)=eaxsinx−x，g'(x)=