湖南省邵阳市2025届高三高考信息卷(一)数学试题 含答案

/湖南省邵阳市2025届高三高考信息卷(一)数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=2i1+iA.(1,2) B.(1,−2) C.(−1,2) 2.已知全集U=A∪B=x∈NA.−1,0 B.3,4 C.0,3,4 D.1,2,3,43.我国古代著名的数学专著《九章算术》中记载有几何体“刍夢”.”如图，在几何体“刍夢”EF−ABCD中，EF//平面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，EF=12AB，O为正方形ABCD的中心，则A.EO⊥平面ABCD B.EO//平面FBC C.EO//4.已知sinx−π24=A.−59 B.−79 C.5.已知(3x+1)2025=a0+A.3 B.2 C.1 D.06.已知平面向量m=3an,−2，n=13,2A.2101+5048 B.2100+5048 C.7.已知函数f(x)的定义域为R，f(−2)=−1，f(1−x)为奇函数，f(A.5 B.6 C.7 D.88.对于集合A中的任意两个元素x，y，若实数d(x①“d(x,②d(③∀z∈则称d(x,y)为集合A上的距离，记为(1)d(x(2)d(x(3)若A=(0,+∞)，则d(4)若d为dR，则ed−1也为A.(1)(4) B.(1)(3) C.(2)(4) D.(2)(3)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列命题中，正确的命题是(

)A.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人

B.在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若E(X)=30，D(X)=20，则p=23

C.设随机变量ξ服从正态分布N10.设函数f(x)=(x+A.当a=0时，方程f(x)+sin3=0有三个实根

B.存在实数a，使f(x+3)≤f(x+8)恒成立

11.有这样一句诗歌：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点F(1,0)，直线l:x=4，动点P与点F之间的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是(A.点P的轨迹方程是x23+y24=1

B.直线x−2y+4=0是“最远距离直线”

C.平面上有一点A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆台O1O2内切球O的表面积为16π，母线与底面圆O2直径所成角为60∘，则圆台13.已知函数f(x)=sinωx−π6(ω>0)14.已知P为抛物线C:x2=4y上一点，F为C的焦点，直线l的方程为3x+4y+6=0，过直线l上一点E(点E不在x轴上)作抛物线的两条切线，切线分别交x轴于四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某校高三年级为了让学生缓解学习压力，设计了A，B，C，D四款有趣智力游戏，每名学生每次可以从这4款游戏中等可能地选取一款，且任意两名学生的选取互不影响.(1)若甲同学连续3次选取游戏，记甲同学选取A款游戏的次数为X，求X的分布列和数学期望；(2)若有甲、乙、丙、丁4名学生同时选取游戏，求在恰有3名学生选取A款游戏的条件下甲同学选取A款游戏的概率.16.(本小题15分)已知数列an满足a1=5，(1)求证：bn(2)设cn=2n+1bn，数列cn的前n项和为S17.(本小题15分)已知函数f(1)当a=1时，证明：f(2)若对任意的x∈R，f(x18.(本小题17分)通过研究，已知对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcosθ(1)已知平面内点A(−3,23)，点B(3,−2(2)已知二次方程x2+y2−xy=1的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆(ⅰ)求斜椭圆C的离心率;(ⅱ)过点Q(23,23)作与两坐标轴都不平行的直线l1交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线l2与直线l119.(本小题17分)如图，在三棱台ABC−DEF中，AB=BC=AC=2a，AD(1)求证：点N为线段DF的中点；(2)若直线BN与直线AD所成角的正切值为5，BN>3a(3)设二面角D−AC−B的大小为α，直线BE与平面ABC所成角的大小为β，求tanβ关于α答案和解析1.【正确答案】B

解：因为z=所以在复平面内，对于z=1−2i故选：B2.【正确答案】B

解：由条件可知，U=A∪B=所以B故选：B3.【正确答案】B

解：如图所示，作BC中点G，连接FG,因为O为正方形ABCD的中心，所以OG//因为四边形ABFE是等腰梯形，所以EF//AB,EF=所以四边形OGEF是平行四边形，所以EO//因为FG⊂面FBC，EO⊄面FBC，所以EO//所以B正确；只有FG⊥面ABCD时，EO⊥平面ABCD，因为不能保证面FBC⊥面ABCD因为EO//FG，EO//平面FBC，FG∩FB=B，所以EO和FB异面，所以C故选：B4.【正确答案】A

解：cos故选：A5.【正确答案】D

解：令x=0，由已知可得，a令x=43所以43因为5=C所以52025被4除的余数为1，则52025故选：D6.【正确答案】A

解：由m⊥n，则有即an=2n=故选：A7.【正确答案】D

解：因为f(1−x)为奇函数，则f(1−x)=−f(1+x因为f(x−1)为偶函数，则f(x−1)=f(−x用−x代替x可得，f(−x)=f(x−2)，

故−f再用x+4代替x，则f所以f(x)=因为函数f(x)由f(−x)=−f(又f(x−1)=f(−x−1)，令x=1，则因为函数f(x)由f(1−x)=−f(1+x)，令x=0，可得f已知g(x)=2f(x)所以g故选：D8.【正确答案】C

解：对于(1)，d(①d(x,y)=0若x=y，则所以“d(x,②d(③∀x,y,z对于(2)，d(①d(x,y)=0此时若x=0，y=π，则x对于(3)，d(①d(x,y)=0即ln若x=y，则所以“d(x,②d(③d≤lnx−对于(4)，设∀x,y∈R①若d(x,y)=0，则|故选：C9.【正确答案】ACD

【分析】本题考查分层随机抽样，正态分布的概率，独立重复试验的期望和方差，属中档题.

根据分层抽样判断A选项，根据独立重复试验中数学期望和方差公式计算判断B选项，根据正态分布对称性求出对应概率判断C选项，根据互斥事件和的概率公式计算可判断D选项.解：对于A选项：根据分层抽样可得高一抽取20人，高二抽取18人，高三抽取19人，故A选项正确；对于B选项：在n次独立重复试验中，E(X)=np=30，D对于C选项：随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ因为正态分布的对称性关于ξ=0对称可得P(−1<ξ对于D选项：∵BA,BA互斥，

∴P(故选：ACD10.【正确答案】AB

解：对A：当a=0时，f(x则当x∈(−∞,0)∪43,+∞时，f故f(x)在(−∞,0)、4由π2<又f(0)+sinf4f(3)+故方程f(x)+sin3=0在(−1,0)对B：当a=−2时，f(即f(x)又x+3≤x+8，此时f对C：由B知，当a=−2时，f(此时f(x)对D：当a=1时，ff==x故f(x)的图象关于点(0故选：AB11.【正确答案】BCD

解：对于A，设Px,y，

由题意可知x−1所以点P的轨迹方程为x24+y23=1，故A错误；

对于B，由x−2y+4=0x对于C，设点P到直线l的距离为d，则2|PF|=d，

故|PA|+2|PF|=|PA|+d，

所以当点P与点A纵坐标相等且点P对于D，由B可知，直线x−2y+4=0与椭圆相切，

又直线x由椭圆的对称性易知，

与直线x−2y+4=0故直线x−2y+6=0与直线x−2y−4=0之间的距离即所求距离的最大值，故选：BCD12.【正确答案】208π解：设圆台O1O2内切球O由已知4πR2作圆台的轴截面可得由已知OO2=OO所以∠BAD因为圆O为等腰梯形ABCD的内切圆，

所以BE=BO2，所以△OEB≅△OO2B，所以∠OB在Rt△OO2B中，∠所以BO因为AE=AO1，所以△OEA≅△OO1A，所以∠OA在Rt△OO1A中，∠所以AO则额圆台O1O2的底面圆O1的半径为底面圆O2的半径为23，面积为12所以圆台O1O2故20813.【正确答案】−1解：因为f(0)=−12所以f(则πω2−π即ω=23当x∈0,π2，因为f(x)所以5π即163<ω⩽22所以f(x)=sin故−14.【正确答案】π

解：设切线EA，EB与抛物线分别切于点M，N，

设Mx1,x1因为y=x24所以直线EA:y=x1由y=12x1又A12x1,0，F(0,1)，故EA⋅FA=0所以EA⊥FA，则E，A，F，B四点共圆，且圆的直径为EF，

所以△EAB的外接圆的直径为EF因为|EF|min即为点F即△EAB故△EAB的外接圆面积的最小值为故π15.【正确答案】解：(1)X的可能值为0,1,2,3，每名学生每次选取A款游戏的概率为14，

则故P(X=0)=P(X=2)=所以X的分布列为X

0123P

27642764964164数学期望为E((2)记事件A=“恰有3名学生选取A款游戏”，

事件B=“甲同学选取P(A)=P(所以在恰有3名学生选取A款游戏的条件下甲同学选取A款游戏的概率为3

详细解答和解析过程见【正确答案】16.【正确答案】证明：(1)由已知，∵a∴an+1=3又∵a1=5∴数列bn中任意一项不为0，b∴数列bn是首项为2，公比为2的等比数列，解：(2)由第(1)问知，bn=2则cn=2n+12n所以Sn12所以①-②可得：12所以S由(−1)nλ化简得(−1当n为奇数时，有−λ<5而5×12n当n为偶数时，有λ<而5−5×12综上，λ的取值范围为−

详细解答和解析过程见【正确答案】17.【正确答案】解：(1)当a=1时，f(x令F(x)=ex当x<0时，F′(x)<0，F(所以F(x)≥则f(所以当a=1时，f(x(2)令φ(x)=则φ(若对任意x∈R，f(x)+令φ1(x)=φ3①当a=76由(1)知ex≥x+1，φ2所以φ1(x)在则当x<0时，φ1(x)<0，φ(所以φ(②当a>76时，φ3′(x)=ex+cos⁡x，

当x∈则φ3(又φ3φ3(e6(a−1）>e6(则当0<x<x0时，φ3(x)<0，

则φ故φ1(x)<φ故当0<x<③当a<76若φ3−π2<则存在x1∈−π2,0，使得φ3x1=0，

若φ3−π2≥0所以当x∈−π2,0即当a<76时，函数φ所以当x∈x1,0时，φ2(x所以φ(x1)>φ1(0)=0故x∈x1综上所述，存在a=76，使得任意x所以实数a的取值范围为7

详细解答和解析过程见【正确答案】18.【正确答案】解：(1)由已知可得AB=(23,−43)，则AP=(6+3,3−23)，

设P=(x0,y0)，则AP=(x0+3,y0−23)=(6+3,3−23)，

所以x0=6，y0=3，即点P的坐标为(6,3).

(2)(i)由y=x与x2+y2−xy=1交点为(1,1)和(−1,−1)，

则a2=2，即a=2

由y=−x与本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆中的定点、定值、定直线问题，属于较难题.

(1)求出AP，设P=(x0,y0)，利用平面向量的坐标表示即可求解;

(2)(i)求出a和c，即可求离心率;

(ii)设直线l1:19.【正确答案】(1)证明：过N作NM⊥AC交AC于点M，连接因为BN⊥AC，NM⊥AC，MN∩BN=N，MN,BN⊂平面NBM，

所以又AB=BC，所以M为因为在梯形ACFD中，AD=FC，则梯形又MN⊥AC，则N为线段(2)由(1)知，∠BMN为二面角B−AC−N的平面角，

过D作DP⊥AC交AC于点P在等腰梯形ACFD中，

DN=12所以DN=AP，又DN//AP，所以NP//则∠PNB为直线BN与AD所成角(或补角)所以tan∠PNB在△NPB中，NP=AD由余弦定理得：PN2+NB2−2PN⋅NB⋅cos∠在△NMB中，NM=a2，MB=3