江苏地区一轮复习模拟题汇编：空间向量与立体几何2025年高考数学核心考点突破 含答案

/江苏地区一轮复习模拟题汇编：空间向量与立体几何-2025年高考数学核心考点突破一、单选题1．（23-24·江苏南京·模拟预测）已知为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，且，则（

）A． B． C．2 D．42．（23-24·江苏南京·模拟预测）已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（

）A． B． C． D．3．（23-24·江苏常州·模拟预测）若，则（

）A．10 B．8 C． D．4．（23-24·江苏徐州·模拟预测）在四棱柱中，，，则（

）A． B．C． D．5．（2024·江苏宿迁·三模）已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，则三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．6．（23-24·江苏无锡·模拟预测）四边形与均是边长为4的正方形，如果二面角的大小为30°，那么与平面的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．67．（23-24·江苏南京·开学考试）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则8．（23-24·江苏无锡·模拟预测）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（

）

A． B．C． D．二、多选题9．（23-24·江苏常州·模拟预测）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则直线平面B．若，则平面平面C．若，则平面所成锐二面角的大小为D．若，则直线与平面所成角的大小为10．（24-25·江苏南通·模拟预测）已知的外接圆圆心在AC边上，内切圆半径为，且．设D为AC边上动点，将沿BD向上翻折，得到四面体ABCD，记为M，其体积为V．则（

）A．的外接圆面积为4πB．M不可能是正三棱锥C．M的外接球球心不可能在其棱上D．V取最大值时，11．（23-24·江苏南京·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（

）A．存在点，使得直线与直线所成的角为B．存在点，使得直线与直线所成的角为C．存在点，使得三棱锥的体积为D．存在点，使得平面三、填空题12．（23-24·江苏连云港·模拟预测）已知是不共面向量，，，，若，、三个向量共面，则实数．13．（23-24·江苏徐州·模拟预测）在三棱锥中，、、分别是、、的中点，，则和所成角的度数为．14．（23-24·江苏连云港·模拟预测）如图，长方体的顶点A在平面内，其余顶点均在平面的同侧，，，，若顶点B到平面的距离为2，顶点D到平面的距离为2，则顶点到平面的距离为.四、解答题15．（23-24·江苏常州·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，分别为线段，中点.(1)证明：共面；(2)求直线与平面所成角的大小.16．（23-24·江苏徐州·模拟预测）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)．(1)求证：；(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离．17．（24-25·江苏南通·模拟预测）已知无限高圆柱．如图，四边形内接于其底面⊙O，P为其内一动点（包括表面），且平面平面，．(1)是否存在点使得直线平面？试判断并说明理由．(2)若，二面角的大小为，求最大时直线与平面所成角的余弦值．18．（24-25·江苏南通·模拟预测）如图，在中，点在边上，且，为边的中点.是平面外的一点，且有.

(1)证明：；(2)已知，，，直线与平面所成角的正弦值为.（i）求的面积；（ii）求三棱锥的体积.19．（23-24·江苏常州·期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；(2)如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．

答案：1．C【分析】由得两个平面的法向量共线，再由向量共线的坐标表示可得答案.【详解】因为，所以，则，解得，故.故选：C.2．A【分析】根据球的截面性质，结合三角形面积等积性、勾股定理进行求解即可.【详解】如图，设球的半径为，线段的中点为，因为，所以，解得，设经过和中点的平面截球所得截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离，则，要截面面积最小，则要最小，即要最大，因为当为点到的距离时最大，此时，又，所以，所以，故截面面积的最小值为．故．故选：A3．D【分析】根据条件，求出、的坐标，再利用空间向量的坐标运算法则求解.【详解】因为，所以，，则;故选：D4．D【分析】借助空间向量的线性运算计算即可得.【详解】，故A、B错误；，故C错误、D正确.故选：D.5．B【分析】利用正棱锥的性质，先过顶点作底面的垂线，由线面角的定义和题干数据进行求解.【详解】如图，为等边三角形，为中点，作面垂足为，

设，则，根据正棱锥性质，则，根据线面角的定义，三棱锥的侧棱与底面所成角为，则.故选：B6．A【分析】根据二面角的定义可知为二面角的平面角，再根据题意求解与平面的距离.【详解】由题可知，平面平面所以为二面角的平面角所以,因为、平面所以平面因为平面所以平面平面如图，过作平面于点,则必在AD上.由平面,知为与平面的距离在直角三角形中，故选：A7．A【分析】对于选项A，利用线面垂直结合线面平行判断即可，对于选项B由条件可知，对于选项C:结合条件可知判断即可，对于选项D：由条件可知和位置关系不一定，也可以平行进行判断即可.【详解】对于A，因为，，可知.对于B，若，，则或；对于C，当，时，和位置关系不一定可以是也可以是；对于D，若，，，和位置关系不一定垂直，也可以平行.故选：A.8．D【分析】将几何体展开为平面图形，利用两点之间线段最短求的最小值.【详解】将该半正多面体展开为平面，且在线段两侧（两线段在两点之间），如下图所示，

由半正多面体中，棱长为2，得，，且，故，所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立.故选：D.方法点睛：空间图形求表面上折线段之和最小值时，关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系，解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线段最短”的方法来解决.9．BCD【分析】由，则直线平面或，可判断不正确；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判断正确.【详解】由，则直线平面或，故错误；由，则平面平面，故正确；若，设平面和平面所成角为，且，则，所以平面所成锐二面角的大小为，故正确；设直线与平面所成角为，则，且，所以直线与平面所成角的大小为，故正确.故选.10．ABD【分析】先根据条件解出是，的直角三角形，算出边长，判断A；再根据是等边三角形时，，判断B；再取，将翻折到时，中点是的外接球球心，判断C；最后将翻折到平面平面时，过作，计算有最大值时点的位置判断D.【详解】的外接圆圆心在AC边上，则是为直角的直角三角形，中点是的外接圆圆心，又，则，，设，内切圆半径为，可得，即.

的外接圆半径，面积为，故A正确.若是正三棱锥，则一定是等腰三角形，又，即是等边三角形，此时点与点重合，为正三棱锥的底面，而侧棱，所以不可能是正三棱锥，故B正确.取，将翻折到时，

此时，，，，即，取中点为，则，是的外接球球心，故C错误.以为原点，，为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，

则，，，设，将沿BD向上翻折，当平面平面时，点到底面的距离最大，过作，则为四面体的高，直线方程为，，，，设，，设，，则在上单调递减，又，，一定存在，使，且，而，所以当时，，递增；当时，，递减；则的最大值是.因此当点更靠近点，时，有最大值，即取最大值时，，故D正确.故选：ABD.11．CD【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量的坐标运算判断AB；求出三棱锥的体积判断C；利用空间位置关系的向量证明判断D.【详解】在棱长为1的正方体中，建立以为坐标原点，以所在直线分别为轴的空间直角坐标系，如图：则，，设，即点，且，对于AB，，则，即，因此不存在点，使得直线与直线所成的角为或，AB错误；对于C，假设存在点，使得三棱锥的体积为，而，且点到平面的距离为，则，解得，当点为线段的靠近的三等分点，即时，三棱锥的体积为，C正确；对于D，假设存在点，使得平面，而，则，解得，当点为线段的中点，即时，使得平面，D正确.故选：CD12．/【分析】由题意可得存在实数，满足，然后建立方程即可求解．【详解】若，，三个向量共面，则存在实数，满足，即，所以，解得，故．13．【分析】由中位线的性质可得，，再利用异面直线所成角的定义即可得.【详解】、分别为、的中点，则，同理可得，，因此，和所成角为的补角，即为.故答案为.14．/【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量，利用距离公式即可求解.【详解】以为原点，AB,AD,A则，所以，设平面的一个法向量为，由题意可得，解得，所以顶点到平面的距离为.故答案为.15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意利用平面向量的运算可得，由共面向量定理即可证明；（2）方法一：利用线面垂直的性质得，由(1)，可得，进而利用平面向量的夹角公式即可求解；方法二：以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系，利用空间向量线面角的公式求解即可.【详解】（1）由题意得：，则由共面向量定理知，共面.（2）方法一：由平面，知为平面的法向量，又平面，所以.由（1）知：，，设直线与平面所成角为，所以，直线与平面所成角大小为.方法二：由题平面及为正方形，以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系;则，则，由平面知为平面的法向量设直线与平面所成角为，则所以，直线与平面所成角大小为.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意可建立适当空间直角坐标系，得到、后借助空间向量共线定理即可得证；（2）求出平面与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得点具体位置，再借助点到平面距离公式求解即可得.【详解】（1）因为底面，且底面为正方形，且、底面，所以，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0，，，，，则，，有，故；（2），因为点满足，点是棱上的一个点（包括端点），所以，设，，所以，，设平面的法向量为，则，令，得，，则，由题可得轴平面，则平面的一个法向量为，因为二面角角的余弦值为，所以，解得或（舍去），所以，因为，所以点到平面的距离为．17．(1)不存在，理由见解析(2)【分析】（1）假设存在点使得直线平面，利用线面垂直的性质与判定定理推出矛盾，即可得解；（2）先说明是等边三角形，确定最大时的情况，结合空间向量或线面角的定义即可求解.【详解】（1）不妨假设存在点使得直线平面，因为平面，所以，又四边形ABCD内接于，所以，在平面PAD上作直线于，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又因为平面，故，又平面平面，所以平面.而平面平面，故，不垂直，与题意矛盾.所以不存在点使得直线平面.（2）因为，所以，取AB中点，连接OF延长交于，则，所以四点共线，则，即，因为为AB中点，所以，则。则，所以，同理可证，所以是等边三角形.法一：以为坐标原点，，向上为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设半径为，其中，所以，设平面PAB的法向量m=则取，可得，取平面ABCD的一个法向量所以，解得，则取，设平面PAD的法向量，则，取，又，解得，设直线的方向向量，则，取，可得，所以，由题意可知平面ABCD时AP取得最大值，则，所以，解得舍），则，设平面PBD的法向量则，取，可得，设直线PC与平面PBD所成的角为，所以，因为，所以，故最大时直线PC与平面PBD所成角的余弦值为.法二：设在底面上投影为，直线PA与底面所成角为半径为，由三余弦定理及三正弦定理得因为，则所以为定值，而，所以取最大值时，取最大值即与重合时，故直线平面ABCD，此时有，作直线BD于，连接PH，作于，所以，因为平面ABCD，所以，又因为平面，所以平面BDH，而平面CDH，所以，又因为平面，所以平面BDH，则即为直线PC与平面BDH所成角的平面角，所以，故取最大时直线PC与平面PBD所成角的余弦值为.18．(1)证明见解析；(2)（i）；（ii）.【分析】（1）由空间向量的运算可得，，再由线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；（2）（i）由余弦定理求，根据同角的平方关系求出，再由三角形面积公式即可求解；（ii）由（i）得即为与平面所成角，根据及即可求解.【详解】（1）因为E为边AB的中点，所以.又，即，即.，所以.又因为，所