解三角形中的最值问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考 含答案

/解三角形中的最值问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考一、单选题1．在中，已知，最大边与最小边的比为，则的最大角为（

）A． B． C． D．2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．3．在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（

）A．

` B．b取值范围为C．面积的最大值为 D．周长的最大值为65．已知的内角的对边分别为，且，则（

）A． B．的外接圆半径为C．若，则的面积为 D．边上中线的最大值为46．已知的内角，，的对边分别为，，，，的平分线交于，，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．C．的最大值是D．的周长的取值范围是三、填空题7．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．8．如图所示，在三棱锥中，平面平面，若为线段上一动点，则的最小值为．9．如图，在三角形中，若，，，则四边形的面积的最大值为.10．在中，内角A，B，C所对的边分别为（）.已知，则的最大值是.11．在中，，点D是上的点，平分，的面积是的面积的3倍，当的面积最大时，.12．已知的三个内角的对边依次为，外接圆半径为2，且满足，则面积的最大值为.四、解答题13．已知，，.(1)求函数单调递增区间；(2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值.14．设的内角，，的对边分别为，，，且满足．(1)证明：；(2)已知，求取得最小值时的值．15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A取值的范围；(2)若，求周长的最大值；(3)若，求的面积．16．设的内角的对边分别为，已知．(1)若，求的面积；(2)若存在两个这样的，求x的取值范围．17．在中，角、、的对边分别为、、，满足.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求的最小值．18．的内角的对边分别为，已知.(1)若，求的值；(2)求的最大值.19．在中，内角，，所对的边分别为，，，．(1)若，，求的面积；(2)求证：；(3)当取最小值时，求．20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求C的值；(2)若内有一点P，满足，，求面积的最小值．

答案题号123456答案BCCBCBCACD1．B【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可.【详解】法一：直接验证排除：若最大角为，则三角形为等边三角形，排除A；若最大角为，则最大边与最小边的比值为，排除C；利用在直角三角形中最大边与最小边的比值为，可知钝角三角形中大于，排除D．法二：不妨令，则，∴，的最大角；法三：不妨令，由正弦定理得，即，∴，，．故选：B.2．C【分析】利用正弦定理化边为角，通过三角公式推出，再将转化，借助基本不等式求最小值.【详解】因为，由正弦定理得，所以.又因为，所以，所以，即.所以，，显然必为正，否则和都为负，就两个钝角，所以，当且仅当，即，取等号，所以的最小值是，故选：C.3．C【分析】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值．【详解】在中，，由正弦定理得，即，由余弦定理得，∵，∴，∵，当且仅当时取等号，因此，∴面积，∴当时，的面积取得最大值．故选：C．4．BC【分析】对于A，由三角函数恒等变形结合正弦定理边角互化可判断选项正误；对于B，由结合A选项分析可得，然后由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由B选项分析结合面积公式可判断选项正误；对于D，令，由B选项分析可得，然后用导数研究函数的单调性，可得周长最大值情况.【详解】对于A，.由正弦定理边角互化可得：，则，故A错误；对于B，，则，当且仅当取等号.由余弦定理，，又，则，因，则，故B正确；对于C，由B分析可知，，则，故C正确；对于D，由B分析，，得..令，则，由三角形三边关系可得，则，则.则，令.则，令，因，则在上单调递减，则，即周长无最大值，恒小于，故D错误.故选：BC5．BC【分析】利用正弦定理边化角来求出利用正弦定理求外接圆半径，利用勾股定理来判断直角三角形求出的面积为，利用中线长公式，再结合基本不等式可求出最大值为，从而可作出各选项的判断.【详解】对于A：由和正弦定理，可得移项得，即因，则，代入上式，得，因，则，故，又因为，则，故A错误；对于B：由正弦定理，，即三角形的外接圆半径为故B正确；对于C：由余弦定理得，，因为，所以，，又因为，则，可知三角形的面积为，故C正确；对于D：由余弦定理和基本不等式，可得，当且仅当时取等号，因为边上的中线，则有，两边取平方，可得，则，当且仅当时的最大值为，故D错误．故选：BC.6．ACD【分析】A应用等面积法及三角形面积公式可得，再应用基本不等式“1”的代换求最值；B应用正弦定理及即可判断；C由正弦定理及已知得，即可求最值；D应用余弦定理及基本不等式得、，即可求周长范围.【详解】A：由等面积法有，即，由，，的平分线交于，所以，即，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为，故A对；B：在中，在中，由的平分线交于，即，故，故B错；C：由，则，，所以，又，即时，的最大值是，故C对；D：由A分析有，则，故，所以，当且仅当时取等号，由，所以，故三角形周长为，令，则周长在上单调递增，所以，即周长范围是，故D对.故选：ACD7．/【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.【详解】[方法一]：余弦定理设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为.[方法二]：建系法令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立.[方法四]：判别式法设，则在中，，在中，，所以，记，则由方程有解得：即，解得：所以，此时所以当取最小值时，，即.

8．【分析】利用勾股定理得，记的中点为，得，根据面面垂直的性质定理得出、为等边三角形，把绕翻折，使得平面与平面在同一平面上，则的最小值为平面内的长度，再利用余弦定理可得答案.【详解】因为，所以，，记的中点为，连接，因为，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，由，得，所以为等边三角形，把绕翻折，使得平面与平面在同一平面上，连接交于点，则，如图所示，则的最小值为平面内的长度，所以，所以，即的最小值为．故9．【分析】首先由条件等式，结合正弦定理，余弦定理，基本不等式，以及三角函数的有界性，确定的形状，再以为自变量表示四边形的面积，根据三角函数的性质，即可求解.【详解】由正弦定理可知可化为，由余弦定理（当且仅当时等号成立）得，所以，即，即（当且仅当时等号成立），整理为，即，又，所以，又，所以，即，同理，条件等式也可化简为和，可得，所以是等边三角形，设，，在中，，，，，当时，四边形的面积取得最大值.故10．/【分析】利用正弦边角关系、三角恒等变换得到、，再应用和角正弦公式、倍角公式，将目标式化为，应用换元法及导数研究其最大值即可.【详解】由，则，，所以或，而，且，即，所以，且，即，，令，则，，当时，则在上递增；当时，则在上递减；故为的极大值点，的最大值为.故答案为.11．/【分析】建立平面直角坐标系，利用到角公式求出点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，数形结合，得到当在点处时，的面积最大，结合余弦定理和同角的平方关系计算即可求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，由，得，又，则，，设，由角平分线定理得，当时，，得，此时；当时，直线的斜率分别为，则，又，由到角公式得，即，得，整理得，即，点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，因此当在点处时，的面积最大，此时，在中，由余弦定理得.故12．【分析】利用正弦定理可得各边长与角的关系，再由恒等变换可得，利用余弦定理计算可得，利用三角形面积公式计算可得结果.【详解】由正弦定理及外接圆半径可得，.因为，，所以.所以，即.因为，所以，即，所以，即可得，所以；当且仅当时取等号，所以面积为，则面积的最大值为.故关键点点睛：本题关键在于利用外接圆半径以及切弦互化，并由三角恒等变换和余弦定理和基本不等式求出，可得面积最大值.13．(1)，(2)【分析】通过向量数量积得到函数表达式，并利用三角恒等变换化简函数表达式，再运用正弦函数单调性，整体代换计算即可.利用余弦定理建立边角关系，结合不等式求面积的最大值.【详解】（1）首先，根据题意，可得到：，，，令，，得：，即：，所以的单调递增区间为，.（2）由，得，，解得：，，可得，由于，所以；利用余弦定理可得，，，由不等式，得：，，当且仅当“”时取“=”，所以.的面积，当取最大值3时，面积最大，.14．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由两角和的正弦公式化简，即可得解；（2）利用两角和的正切公式得到，再构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可得解.【详解】（1）由，由正弦定理可得，所以，所以，所以，因为、为三角形的内角，所以、不可能同时为直角，若、中有一个直角，不妨令为直角，则，，显然，则等式不成立，所以、均不是直角，所以；（2）依题意不是直角，所以，故，因为且，所以，令，设，，有，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，综上所述，取得最小值时，，即取得最小值时，为．15．(1)；(2)6；(3).【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析可得，在利用余弦定理结合基本不等式分析运算即可；（2）由（1）可得，结合基本不等式分析运算；（3）根据题意结合正弦定理可求得，利用正弦定理以及面积公式分析运算.【详解】（1）由题设，所以，，又，则，根据正弦边角关系，易得，则，又，则，当且仅当时取等号，所以，结合，可得；（2）由（1）有，又，又，则，所以，当且仅当取等号，所以周长的最大值6.（3）由，且，所以，而，则，由，显然，故，即，结合，可得，由，而，由，整理得，可得（负值舍），所以，故.16．(1)2(2)【分析】（1）应用正弦定理可得，进而得，根据三角形面积公式可得结果；（2）法一：由正弦定理得，问题转化为函数的图象与直线在上有两个不同的交点，结合图象可得结果；法二：由余弦定理得有两个不相等的正实数根，利用判别式、根与系数关系列不等式可得结果.【详解】（1）由正弦定理得，，即，解得，因为，所以，故，所以的面积．（2）法一：由正弦定理得，，即，得，

由得，所以在内有两解，即函数的图象与直线在上有两个不同的交点，作出在上的图象，由图可知，，解得，综上，x的取值范围为.法二：由余弦定理得，，即，整理得，由题意得，该方程有两个不相等的正实数根，所以，解得，综上，x的取值范围为.17．(1)(2)4【分析】（1）利用边角互化思想得，由余弦定理求出的值，从而得出角的值；（2）由三角形的面积公式得出的值，再由基本不等式即可计算得解．【详解】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因为是三角形内角，所以；（2）由三角形面积公式得：，解得，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为4，此时为等边三角形．18．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理即可求解；（2）由三角恒等变化结合余弦定理得，再由余弦定理结合基本不等式即可求解.【详解】（1）由，可得.因为，所以，则.又，所以.因为，且，所以.由，可得.（2）因为所以由，可得，则.根据余弦定理，,可得.，当且仅当时，等号成立，由，可得，故的最大值为.19．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）先由得到的值，再结合得到，根据正弦定理得到，最后由三角形面积公式可得结果；（2）由同角三角函数的关系和正余弦定理，化简即可证明；（3）利用和，将表示为，代入，化简可得均值不等式，计算求解即可.【详解】（1）由题意，，则，，则，所以，，所以的面积.（2）由，可得，即，由余弦定理得：，化简得：，即.（3）由，可得，又，所以，当且仅当，即时取等号，此时.20．(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理将边转化为角，得，再利用辅助角公式及诱导公式化成同名函数，即可求出结果；（2）法一：由余弦定理找到边之间得关系，