2025-2026学年八年级数学下册二次根式专项训练(解析版)

124-25八年级上·重庆万州·期中）计算：20242-·的值为()AA．-2024B．-2023C．-2025D．-1【答案】B【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简把原式化简为再利用二次根式的性质化简，最后再代入求值即可.【详解】解：令x=2024，则原式化为：x2-2=x-x2+x2=x-22=x-x2+22=x-x2+x-1==x2-(x2+x-1)=-=-x+1=-2024+1=-2023，故选：故选：B.224-25八年级上·上海·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：J3,、6-·,·6+2·等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：2=请利用上述运算法则化简：·7-·21+4·=.【答案】【答案】5-1【知识点】完全平方公式分解因式、利用二次根【知识点】完全平方公式分解因式、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简等知【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键.用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键.5，则7-21+455-122求解作答即可.求解作答即可. 2【详解】解：由题意知， 2【详解】解：由题意知， 2 2=-+=-=-=-，7-21+45故答案为：故答案为：5-1.323-24八年级下·北京·期中）我们规定用(a,b)表示一对数对．给出如下定义：记m=，n=，其中（a>0，b>0将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“对称数对”．若数对(a,b)的一个“对称数对”是，则ab的值是.【答案】【答案】6或/或6【知识点】利用二次根式的性质化简、新定义下的实数运算【分析】本题考查了新定义和解方程，理解和应用新定义是解题的关键．根据新定义，列方程，解答即可.【详解】解：【详解】解：:数对(a,b)的一个“对称数对”是(,3)，::(3,32)可能是(m,n)或(n,m)，若若是(m,n)，::ab=×18=6；若若是(n,m)，则s3则s3=，解得b=3，3·i2=，解得a=，故答案为：故答案为：6或.424-25八年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题.【问题解决】 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式5+2；【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键.【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键.（（1）根据题目所给方法对322变形即可得解；（（2）根据题意结合所给方法对5+26变形，再利用二次根式的性质化简即可得解；（3）根据题目所给方法，得到+x+x+2x1=x=x2x1+(+(x1+1)2((x11)2性质化简，得到)性质化简，得到)=2，再解方程即可；2-1， ::a=2,b=122（3（3）:x+2·x-1=(x-1+1)2,x-2x-1=(x-1-1)2，:+x+x+2x-1=x=x-2x-1+(+(x-1+1)2=(=(x-1-1)2 x-1+1+ x-1-1又:1≤x≤2， ∴·x-1-1<0，上式=·x-1+1+1-·x-1，故方程为)=2，524-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，知道所有的非负和完全平方公式来计算下面的题：例：求3-2的算术平方根.2-2v2-1)2， 所以3-22的算术平方根是·2-1.你看明白了吗?请根据上面的方法化简： 【答案】(1)2+1【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简【分析】此题考查了二次根式的化简.（2）把（2）把22624-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2·2=(1+·2)2，善于思考的小明进行了以下探索：对于a+2，若能找到两个数m和n，使m2+n2=a且mn=，则a+2可变形为m2+n2+2mn，即(m+n)2，从而使得·=·=m+n其中a,b,m,n均为正数）例如：∵4+23=1+3+23=(1)2+(3)2+2:4+23=(1+3)2=1+3.请你参考小明的方法探索并解决下列问题：(3)若·=b+v5，其中a，b都是整数，直接写出a的值.(2)(2)2-3【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键.值，代入a2+4=b2+2b+5求出a值即可.7-43=4-43+3=(2=(2-3)2==2-3.2，∴∴a2+4=b2+2b+5，∵∵a，b都是整数，723-24八年级下·贵州遵义·期中）【阅读材料】小聪在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：2+2；2【类比归纳】（1）请你仿照小聪的方法将3+2化成另一个式子的平方；【类比归纳】（3）若a+2·15=(m+n)2，且a,m,n均为正整数，m>n，求a的值.【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用：【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用：（（1）将3转化为1+2，进行求解即可；（（2）将1162转化为完全平方的形式，再化简即可；（（3）根据a+2=(·+·)2，得到m+n=a,mn=15，结合a,m,n均为正整数，m>n，求出正整数解即可.即可.【详解】解1）3+2·2=(1+2)+2v1×2=(1+2)2==（3）:a+215=(·m+·n)2:a+215=m+n+2·mn::a=m+n,mn=15::a,m,n均为正整数，m>n::m=15,n=1或m=5,n=3::a=16或8.823-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读材料：海伦公式出现在古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）的《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两本书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式是阿基米德（Archimedes，约公元前287—前212）发现的，但习惯成自然，我们仍称之为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a,b,c，记p=那么三角形的面积为下面我们对海伦公式进行证明.分析：从三角形最基本的计算公式S△ABC=aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式.证明：如图，设BC=a，AC=b，AB=c，BD=x，CD=y，AD丄BC，AD=ha，p=根据勾股定理，得[x=ay{h=[x=aylh=c2x2解方程组得1424a2b1424a2b2a2+b2c244=·p(pa)(pb)(pc)(1)阅读材料中的解方程组得x=①.(2)[理解证明]利用问题（1）中公式与h=c2—x2模仿阅读材料从②开始再次证明海伦—秦九韶公式.(3)[尝试应用]如图，在VABC中，BC=4，AC=5，AB=6，请你用海伦—秦九韶公式求VABC的面积.(2)(2)见解析【知识点】利用二次根式的性质化简、异分母分式加减法【分析】本题题型属于阅读理解型分式的加减运算，利用二次根式的性质化简，解题的关键是通过阅读理解材料中所给的定义以及概念，再运用材料中的知识点解决对应的问题即可.代入x=a—y求解即可；（2）仿照②的运算方法求解即可；（3）根据海伦-秦九韶公式求解即可.代入x=a-y得，(a+(a+b+c)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)4923-24八年级下·广西河池·期中）【阅读与思考】在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题，(1)按照下面的解法，试化简化简：解：隐含条件1-3x≥0解得x≤∴原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x-1+x=-2x(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简【答案】(1)1(2)-a-2b【知识点】实数与数轴、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关键.（1）根据二次根式有意义条件得出2-x≥0，求出x≤2，再根据二次根式的性质进行计算即可；（2）根据数轴得出a<0<b，a>b，再根据二次根式的性质和绝对值进行计算即可.隐含条件2-x≥0，解得：x≤2，所以=3-x-(2-x)=3-x-2+x（2）从数轴可知：a<0<b，a>b，所以所以a2a2ba1023-24八年级下·湖南湘西·期中）阅读材料：小明的数学兴趣小组在深度学习过程中，对“完全平方数（式）”有了更深刻的全面了解．他们先回顾“有理8181(9,8181(9,称它们为完全平方数；然后回顾“整式的乘法与因式分解”这个章节，掌握了x2...，等这样的整式，可以写成x2+2x+1=(x+1)2，，ⅆ,他们称它们为完全平方式，他们发现这些数式的变形有时能给问题解决提供方便．现在，小明团队学习了“二次根式”后，能熟练把任意一个非负数改写成一12，ⅆ们类比称这些非负数（式）为二次根式中的完全平方数（式）.下面，请跟随他们探究、解答下列问题： 22s2 2222.(4)继续进行以下探索：2（其中a、b、m、n均为整数则有：22这样就找到了一种把类似a+b·的式子化为完全平方式的方法.利用上述探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，22，且a、m、n均为正整数，求a的值.【答案】【答案】(1)(|x-1)|2(2,2-12+1)(4)(4)m2+3n2，2mn；答案不唯一，13，4，1，2(5)14(5)14或46【知识点】利用二次根式的性质化简、因式分解的应用【知识点】利用二次根式的性质化简、因式分解的应用【分析】（【分析】（1）根据x2-x+1=x2-2×x×1+|(1)|2=|(x-1)|2解答即可.42(2,(2,（（2）根据公式的可逆性解答即可.2 （4（4）根据a+b·=m2+2mnI3+3n2，得：a=m2+3n2，b=2mn； 2得得m=3,n=1或m=1,n=3，计算a的值即可.本题考查了完全平方公式的应用，分解因式，化简，计算，熟练掌握公式是解题的关键.本题考查了完全平方公式的应用，分解因式，化简，计算，熟练掌握公式是解题的关键.42(2,(2,故答案为：故答案为：(|x-1)|2.(2,-2s2+1=3-2s2. 222+1)2,故答案为：故答案为：-12+12. 2=， 224+24+23=23+1∴∴a=m2+3n2，b=2mn；故答案为：故答案为：m2+3n2，2mn；故答案为：故答案为：13，4，1，2. 2∵∵a、m、n均为正整数，1123-24八年级下·山东潍坊·期中）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.2 2 22二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号.2222例如：化简 2 22+2n2+2mn·任务：(1)文中的“根据1”是，b=；(2)根据上面的思路，化简：·14-6·5；【答案】【答案】(1)完全平方公式；2mn(2)(2)3-5【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简，【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简，（（1）根据完全平方公式进行解答即可；（（2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可；（（3）根据a+4=x2+12+4x，得出a=x2+12，4=4x，根据x，y为正整数，问题得解.2=3+22的根据是完全平方公式； 222+2n2+2mn·,∴∴a=m2+2n2，b=2mn.故答案为：完全平方公式；2故答案为：完全平方公式；2mn.14-65=9-65+5232-65232-65+5==3=3-52==3-5.（（3）解：由题意得a+4·=x2+12+4x·,1223-24八年级下·重庆南川·期中）阅读下列材料并解决问题.当a>0时，比如a=3，则a=3=3，此时a的绝对值是它本身；当a=0时，a=0=0，此时a的绝对值是零；当a<0时，比如a=-3，则a=-3=-(-3)=3，此时a的绝对值是它的相反数．由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即：在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想.问题解决： (1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式a2的各种可能；(2)猜想：·a2与a的大小关系； 22 223x-1(2)(2)a2=a(3)(3)x≤【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简【分析】【分析】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活运用二次根式的性质是解决问题的关键.a2a2(-a2a2(-a)2（1）讨论：当a>0时，直接利用二次根式的性质得到a2=a；当a=0时，利用零的算术平方根的定义得=0，当a<0=0，当a<0时，先把变形为到(3x-(3x-1)2（2）由题中结论和（1）中的结论可得·=a；=1-3x，则(·1=1-3x，则(·1-3x)2=1-3x，所以只要满足11-3x≥0即可.a2a2 当 ((-a)2（（2）解：由题意及（1）得，aa2=a；（（3）解：:1-3x有意义，::1-3x≥0，:(3:(3x-1)2=-(3x-1)=1-3x，:(3x-1)2=(1-3x)2，::(1-3x)2=1-3x::即1-3x≥0，解得解得x≤,(3x-1)2(3x-1)21323-24八年级下·广西梧州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 2化简：1-3x)-1-x 2解：隐含条件1-3x≥0，解得：x≤∴原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x-1+x=-2x【启发应用】 2 22x-3-22x-3-2【类比迁移】（3）已知a，b，c为VABC的三边长.++++.【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、二次根【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的意义：（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围；（2）根据（1）所求结合二次根式的性质化简可得答案；（3）由三角形三边间的关系得出a-b-c<0、b-a-c<0、c-b-a<0，再利用二次根式的性质化简可得答案.【详解】解1）∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，∴隐含条件2-x≥0，解得：x≤2，:x-3<0，=(3-x)-(2-x)=3-x-2+x∴a-b-c<0，b-a-c<0，c-b-a<0，(a-b-c)2+(b-a-c)2+(c-b-a)2=(a+b+c)-(a-b-c)-(b-a-c)-(c-b-a)=a+b+c-a+b+c-b+a+c-c+b+a1423-24八年级下·重庆铜梁·期中）爱动脑筋的南南在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：式＝a+1；当a+1<0，即a<-1时，原式＝-a-1．通过进一步思考，南南发现，像3+22这样的二次根式，可以通过变形成J1+2+2·2这样的形式后，通过构造成完全平方式·（1+·2）2的结构即可化简为2m【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算、化简绝对值【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分类讨论和判断被开方式子的符号是关键.【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分类讨论和判断被开方式子的符号是关键.（（1）仿照上面的例子，即可化简；（（2）仿照上面的例子，即可判断出答案；44x+x244x+x2时，当时，当1<x<2时，当x>2时，即可化简求值.121222 22= 2-6===6-2.=19=19-248===4=4-3；x-1x-1+=19-834-4x+x2 可化为x-1+22-x即即x-1+2-x=4-，当当1<x<2时，x-1+2-x=4-可化为x-1+2-x=4-，无解；当当x>2时，x-1+2-x=4-可化为x-1+x-2=4-，解得：4-4x+x2综上，x-1+4-4x+x2综上，x-1+1523-24八年级下·湖北荆门·期中）阅读材料：我国南宋数学家秦九韶（约1202—1261）在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，c为三角形的三边长而古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年在《度量》中也有求三角形面积的“海伦公式”：S=·p(p-a)(p-b)(p-c)……②（其中S为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长，p为半周长，即p=我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”.解答问题：(1)若在VABC中，已知AB=5,BC=6,CA=7，试分别运用公式①和公式②计算VABC的面积；(2)请你写出由公式①推导出公式②的过程；(3)计算（1）中VABC的BC边上的高.【答案】(1)VABC的面积为66；(2)见解析；(3)VABC的BC边上的高为26.【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，三角形面积的海伦公式的用法，培养了学生的推理和计算能力.（1）代入计算即可；（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算；4（3）设VABC的BC边上的高为h，得到S=.BC.h=6即可求解.14214公式公式②：p=S=·p(pa)(pb)(pc) 证明：a2b2 2-(a2+b2-c2)2442∴原式∴原式===p(p-a)(p-b)(p-c)，（（3）解：设VABC的BC边上的高为h，∴∴VABC的BC边上的高为26.1623-24八年级下·北京·期中1）观察，计算，判断只填写符号：>，<，=);;;…（2）根据第（1）问，当a≥0，b≥0时，判断与的数量关系并证明提示：(-)2≥0）【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，（1（1）把各组a、b的值分别代入和、iab中计算可判断它们的大小公式；（（2）由于()2≥0，然后利用完全平方公式展开，变形后可得到≥;灵活运用二次根式的性质是关键.灵活运用二次根式的性质是关键.::a+b≥2ab， 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件、利用算术平方根【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件、利用算术平方根的非负性解题【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键.【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键.（（1）根据二次根式有意义的条件可得出a的值，再根据非负数的和为0得出b的值即可；（2（2）根据二次根式有意义的条件可得m的取值范围，再根据绝对值的定义将原式化为·m一1024=2023，两边平方即可.两边平方即可.::a=2，28，可得b2-8=0:a=2，b=±2·;（2）:·m-2024有意义，:m≥2024，:2023-m=m-2023，因此2023-m+·m-2024=m，可变为m-2023+·m-2024=m，:m-2024=20232，即:m-20232=2024，:m-20232的值是2024.1823-24八年级下·山东济宁·期中）定义：我们将(+)与(-)称为一对“对偶式”．因为 22a+b-=a-b，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式 22解决．例如：·18-x-11-x=1，求·18-x+·11-x的值，可以这样解答：2-((2)已知：·20-x+·4-x=8，求：①·-v4-x=_____；②结合已知条件和第①问的结果，解方程：·20-x+·4-x=8.【答案】【答案】(1)2≤x≤10；(2)①2；②x=-5.【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键.（1）根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可；（2）①运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可；②根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可.[10-x≥0l[10-x≥0故答案为：2.②由题意可得则2·i20-x=10，解得：x=-5，经检验，x=-5是方程20-x+4-x=8的根.其中a=1007．如图是小亮和小芳的解答过程.(1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达【答案】【答案】(1)小亮=-a（或a2=a）(3)6-m；2030【知识点】利用二次根式的性质化简【分析】此题考查二次根式的性质，熟练掌握a2=a是解题的关键.（1）根据二次根式的性质进行判断即可；（2）根据二次根式的性质进行回答即可；（3）由m的值可知m-3<0，根据二次根式的性质得到化简结果，再把字母的值代入计算即可.【详解】（【详解】（1）解：根据二次根式的性质可知，小亮的解答过程是错误的；故答案为：小亮（2）小亮错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质，二次根式的性质a2=—a或a（或a2=a）:m=2024，:原式=m+22023-24八年级下·重庆长寿·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明 即a=2时取等号.∴a+的最小值为4．请利用上述结论解决以下问题：(1)当x>0时，当且仅当x=时，x+有最小值.(2)已知m>0，当m取何值时有最小值？最小值为多少？【答案】【答案】(1)1，2；(2)m=23，最小值为43+6.【知识点】利用二次根式的性质化简、通过对完全平方公式变形求值【分析】本题考查了配方法，完全平方公式的应用，二次根式混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答.（（1）根据阅读中的公式计算即可；（（2）先配方，化简，运用公式计算即可.【详解】（【详解】（1）解：当x>0时，>0，即即x=1时，x+的最小值为2，故答案为：故答案为：1，2； 又∵m.m∴当∴当m=2时，的最小值为4+6.2123-24八年级下·河北·期中）数学活动课上，同学们根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当a>0，b>0时，·与a+b的大小关系”.下面是探究过程.①具体运算，发现规律：特例2：若a+b=3，则2·≤②观察、归纳，得出猜想：③证明猜想： :(ab:2·≤a+b， 请你利用发现的规律，解答以下问题.(1)当x>0时，x+的最小值为.(2)当x<0时，x的最小值为.(3)当x<0时，的最大值为.【答案】【答案】(1)2【知识点】不等式的性质、利用二次根式的性质化简、通过对完全平方【知识点】不等式的性质、利用二次根式的性质化简、通过对完全平方公式变形求值【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握二次根式的性质，完全平方公式的特点，能够【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握二次根式的性质，完全平方公式的特点，能够准确地将所求的式子变形是解题的关键.式子变形是解题的关键.（（1）根据阅读材料直接可得（（3）先变量分离已知式子，再由x的取值范围，将所求式子变形为+1，结合（2）求解即可.【详解】（【详解】（1）解：:x>0，::x+的最小值为2，故答案为：故答案为：2；::—x>0，x(x,\(x,x(x,\(x,∴∴x的最小值为23，故答案为：故答案为：23；2223-24八年级上·福建福州·期末）阅读理解：由(a一b)2≥0得，a2例如：已知x>0，求式子的最小值.当且仅当时，即正数x=2时，式子有最小值，最小值为4.请根据上面材料回答下列问题：(1)当x>0，式子x+的最小值为；(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？形ABCD面积的最小值.【答案】(1)6(2)20米【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、二次根式的应用【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目.（1）根据材料提供的信息解答即可.（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则xy=50，y=所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可.（3）设点B到AC的距离为h1(h1>0)，点D到OC的距离为h2(h2>0)，又VAOB、△COD的面积分别是6和12，则OA=C=OA+OC=从而求得S四边形ABCD，然后根据材料提供的信息求出最小值即可.当且仅当时，即正数x=3时，式子有最小值，最小值为6.（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y(0<y≤20)米，则xy=50，+2x≥2·×2x=20∵当且仅当=2x时，+2x的值最小，最小值为20，∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米.（3）解：设点B到AC的距离为h1(h1>0)，点D到OC的距离为h2(h2>0)，又∵VAOB、△COD的面积分别是6和12，∴四边形ABCD面积的最小值为18+122.2323-24八年级下·浙江宁波·期中）设A．2008B．2009【答案】【答案】B【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的性质，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法.由可化为由原式可以看出，被开方数都是1加连续两个自然数平方倒数和的形式；中间的算式都是1加第一个自然数的倒数，再减去第二个自然数的倒数；右边的结果为1加两个自然数乘积的倒数，进而求解即可.【详解】设n为任意正整数，1=2009，因此与s最接近的整数是2009.故选B.(1×2,(2×3,(3×4,(2008×2009,(2233420082009,2423-24八年级上·广东深圳·期中）观察下列二次根式的化简222 1223(12,(23,S2= 1223(12,(23,1223\34(12,(23,(34,2023S3=1223\34(12,(23,(34,202312022202420252022202120232024【答案】【答案】D【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可.3(12,(23,(34,144，2(12,(23,133，故选：故选：D.【点睛】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键.2523-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，它是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第(n-2)个数是（用含n的代数式表示）.【答案】/n2-2/-2+n2【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律【分析】本题考查了数字类规律探索，根据规律表示出代数式即可，观察发现“数阵将正整数的算术平方根 按从小到大的顺序排列，第n行从左向右数第n个数是n，即·n2”的规律是解题的关键.【详解】解：∵观察数阵发现，数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第n行从左向右数第n 个数是n，即n2，∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第(n-2)个数是·, 故答案为：n2-2.2624-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践【思考尝试】先观察下列等式，再回答下列问题：（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；【实践探究】（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数【拓展延伸】（3）根据上述规律，我们给出一些数S1=1++，S2=1+，S3=1+【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键.题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键.可化为可化为1+，计算即可得出答案；（1）根据题目所给的例题可知厂（（2）利用根据前面等式的规律求解；3242（3）先代入得S=1212+1×10+1+++…+，根据有理数加法计算即可得出答案.∴猜想正确.∴猜想正确.S2S3S1S（S2S3S1S（2）解：第n个式子为+++…+（3）解：S+++…+++++22=.2724-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象：(1)具体运算，发现规律，2323 (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果n为正整数(n≥2)，用含n的式子表示上述的运算规律；(3)证明你的猜想. 【答案】(1)5·(3)(3)见解析【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索：【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索：（（1）仿照①化简求解即可；（（2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可；据此求解即可；（（3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可.555= 555= 3832322338323223==（2）解：①==38②38②338以此类推，可知nn2-1nn2-1nn2-1nn2-1厂3厂n+n-n=n2-1厂3厂n=n2-1厂2厂=n2-12823-24八年级下·广东惠州·期中）观察下列等式：第1个等式99\(3,3=99\(3,3第3个等式(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：；计算：(3)利用这一规律计算【答案】(1)9191-25=2525=((4)2|(5,|4【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究：【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究：37/67（1）根据已有等式，写出第4个等式即可；（2）根据二次根式的性质结合已知，进行求解即可；（3）根据二次根式的性质，结合相关规律，进行求解即可.【详解】（1）解：由题意，第4个等式为故答案为14（3）由题意，可知第n个式子为2923-24八年级下·山东泰安·期中）探究下面二次根式的运算规律，根据要求进行解答.(1)写出一个符合上述运算特征的等式；(2)如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律，并写出推导过程.答案不唯一）答案不唯一）见详解【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索【分析】本题考查二次根式的化简、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点.（1）根据题目中给出的式子可以发现，根号内的第二个分数的分母是第一个分数的分母的平方，结果的分母和等号左边根号内的第一个分数的分母相同，而分子是比分母小1的算术平方根，从而可以写出一个符合要求的等式；合要求的等式；（2）根据（1）中的发现，先写出关于n的等式，然后写出推导过程即可.解：如：答案不唯一（2）解：如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律∵n是正整数，3023-24八年级下·甘肃定西·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了探索，找到了一种把类似a+b·的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：【问题解决】 (1)按照上述两个根式化简过程的基本思想，填空3—2=______=2—1(2)按照上述两个根式化简过程的基本思想，将·11—4·化简(3)针对上述各式反映的规律，写出中m、n与a、b之间的关系.【知识点】利用二次根式的性质化简【分析】此题考查了二次根式的化简，读懂题意正确化简是解题的关键.（1）按照题意把被开放式变形后化简即可；（2）按照题意把被开放式变形后化简即可；（3）等式两边平方后，即可得到答案.解：故答案为故答案为==8-3==22-3；（（3）解：把=-(a>b)两边平方可得：m-2·n=a+b-2·ab3123-24八年级下·河北廊坊·期中）一列二次根式：①1；②2·;③3……是按一定规律排列的.(1)请直接写出这三个二次根式的整数部分；(2)用已学过的数学知识，求第8个符合规律的二次根式的整数部分；(3)写出第n个符合规律的二次根式，猜想它的整数部分，并说明理由.(3)n(n+1)-1，理由见详解【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索、无理数整数部分的有关计算【分析】本题主要考查二次格式的化简，估算，二次根式的规律计算，掌握二次根式的性质，二次根式的估算是解题的关键.（1）根据材料提示，运用二次根式的性质化简，估算即可求解；（2）结合（1）中的运算方法即可求解；（3）根据材料提示猜想第n个二次根式的整数部分为n(n+1)-1，结合n4+2n3-(n2+n-1)<n4+2n3即可求解.2+2的整数部分是1=1×2-1；+4的整数部分为5=22+(21)=2×31；+6的整数部分为11=32+(31)=3×41；（（2）解：根据材料提示，2+8的整数部分为19=4×51，∴第∴第4个二次根式的整数部分为19；……2+16的整数部分为71=82+(81)=8×91，∴第∴第8个二次根式的整数部分为71；（3）解：根据上述猜想，第n个二次根式为nn2+2n，整数部分为n(n+1)—1，理由如下，已知n已知nn2+2n=·n2n2+2n=·n4+2n3，4+2n3n2+n1)2==n4+2n3(n4+2n3n22n1)==n4+2n3n42n3+n2+2n1==n2+2n1==(n+1)22，且n为正整数，++n1n2<n4n4+2n2n2+2n,+2n的最大整数为n(n+1)-1，∴第n个二次根式的整数部分为n(n+1)-1.3224-25八年级上·山西晋城·期中）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务.在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？任务：(1)结合材料，猜想：当a≥0,b≥0时，请直接写出·和·×之间的关系. (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为·45，宽为·,求长方形的面积.当a≥0,b≥0时，(2)①72；②110(3)15【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与性质，（1）根据阅读材料中的例题，即可解答；（2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答；（3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答.熟练掌握二次根式的乘法法则和性质是关键.【详解】（1）根据阅读材料中的例题得，当a≥0,b≥0时，3323-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象：22223=883这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：333383838(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；②按此规律，若（a，b为正整数则a+b的值为______；(2)你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律.答案不唯一答案不唯一②71见解析【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简、【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法【分析】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则【分析】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键.键.（（1）①根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可；②②通过发现规律确定a，b的值，从而代入求值；（（2）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可.,,答案不唯一，符合规【详解】（1）解：①根据已知等式的规律可写出：5558888（a∴∴a=8，b=82-1=63， 22 223故答案为：71；2（2）解：第一个等式为22-1382（2）解：第一个等式为22-1383383第二个等式为32-14443第二个等式为32-1444厂第三个等式为厂第三个等式为42-1n∴用含正整数nn2-1验证如下：验证如下：3422-23八年级下·北京西城·期中）同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如·3=3·、等等.(2)请再写出1个具有“穿墙”性质的数______；(3)请用只含有一个正整数n(n≥2)的等式表示上述规律：. 【答案】(1)6·i5（答案不唯一，符合规律即可）5（答案不唯一，符合规律即可）55【知识点】数字类规律探索、二次根式的乘法【知识点】数字类规律探索、二次根式的乘法【分析】（【分析】（1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可；（（2）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； （ （3）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可.663521635= 663521635= 555555（2）解：根据已知等式的规律可写出….故答案为故答案为223 2232（3）解：第一个等式为22-2（3）解：第一个等式为22-138338332-1第二个等式为332-1第二个等式为444442-1第三个等式为442-1第三个等式为∴用含正整数∴用含正整数n(n≥2)的式子表示为【点睛】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键.3524-25八年级上·山东济南·期中）观察下列等式：按上述规律，回答以下问题：(1)按上面规律填空：a4=______=_____=______；(2【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、数字类规律探索【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算，（1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式；（2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算；（3）根据所给规律探索将原式转化为×(7—1)×(解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.2；2024=21+32+23+52+...+20252024 =1+45a 3623-24八年级下·山东济南·期中）对于a ,同学们都会化简，如果分母是+的形式，该怎么办呢？我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以—，从而化去分母中的根号，如根据以上介绍，请你解答下面的问题：(1)直接写出化简结果①=______，②=______； 53(2)化简： 53 【知识点】分母有理化【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，解题的关键是确定分子和分母乘以什么数.46/6733213含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号.请你解决如下问题： 3+24+35+42023+2022 3+24+35+42023+2022 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：利用上述方法：若a=7，求—2a2+12a+3的值.(2)20232【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键.则是解题的关键.（（1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可；（（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；（（3）根据题干给出的解题方法，进行求解即可.故答案为：故答案为：ℴ,ℴ;==20232；2=2，∴∴a26a=2∴∴2a2+12a+3==23824-25八年级上·宁夏银川·期中）先阅读，后解答： 像上述解题过程中，与、—与+相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化. (1)的有理化因式是；5+2的有理化因式是；(2)将下列式子进行分母有理化：①=______；②=______；(3)类比（2）中②的计算结果，计算：+++……+(3)(3)25061【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键.键.（（1）根据分母有理化的定义即可得到答案；（（2）按照分母有理化的方法进行计算即可；（（3）把每个式子分别进行有理化，再进行二次根式的加减法即可.解： 3924-25八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读理解，再解答问题.所以；依次类推.(1)你会发现什么规律？用字母n（正整数）来表示.(2)9【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化【分析】根据分母有理化，可得实数的减法，根据实数的减法运算，可得答案.【分析】根据分母有理化，可得实数的减法，根据实数的减法运算，可得答案.本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键.本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键.21)+32)+L+10099)==10014024-25八年级上·河南郑州·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰 上如5 这种化简的方法叫分母有理化. 5(1)参照（1）式化简3=______ 5 3+15+37+599+97 3+15+37+599+97【答案】(1)5【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化：（1）根据分母有理化的方法计算即可；（2）根据分母有理化的方法进行计算即可；（3）先进行分母有理化，再进行计算即可.解：5故答案为：53； )次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如：请你根据上述材料，解决如下问题：(3)(3)1012(4)1(4)1【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式；【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式；（（1）根据有理化因式的定义即可解决问题；（（2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题；题；（（3）先将括号内里的分母有理化，然后合并，再乘(2025+1)，最后算减法即可；（（4）根据题干所给示例进行计算即可.【详解】（【详解】（1）解：-的有理化因式是+ 2025+2024>2024+2023∴∴2025--2024<·2024-2023故答案为：故答案为：<.2025+x+2023+x)(2025+x-2023+x)==2025+x-2023-x∴∴2025+x-2023+x=14223-24八年级下·广东佛山·期中）阅读材料：若a,b都是非负实数，则a+b≥2·,当且仅当a=b时，“=”成立.证明：2≥0，:a-2:a+b≥2当且仅当a=b时，“=”成立.已知x>0，求4x+的最小值；(2)如图，灯湖中学计划在一楼建造一个长方形活动区域ABCD，由长方形的休闲区A1B1C1D1（即图中阴影部分）和环休闲区运动跑道（四周空白部分）组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，运动跑道的宽分别为2米和5米．因为用地限制，要使整个活动区域所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？【答案】(1)最小值为8(2)休闲区的长为100m,宽为40m【知识点】利用二次根式的性质化简【分析】本题主要考查了完全平方公式的理解，解分式方程，求最小值等，解题的关键是弄清题意，求出最小值.根据4x+可得答案；（2）设休闲区的长为xm，进而表示出宽，再表示出面积，然后根据材料提示可得答案.【详解】（1）解：根据题意得当时，解得x=1负值舍去，∴当x=1时，原式的最小值为8；（2）设休闲区的长为xm，则宽为根据题意，得：公园的面积=4000+4x+40000+40x解得x=100负值舍去，所以当x=100时，面积最小为4840m².所以休闲区的长为100m,宽为40m，整个活动区域所占面积最小.4323-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形A，B的面积分别为5cm2和7cm2，现将正方形A的边长分别增加2cm和3cm得到矩形甲；将正方形B的边长都增加2cm得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小.【答案】矩形甲的面积小于矩形乙的面积.【答案】矩形甲的面积小于矩形乙的面积.【知识点】无理数的大小估算、二次根式的应用、比较二【知识点】无理数的大小估算、二次根式的应用、比较二次根式的大小【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，根据题意表示出矩形甲和乙的面积，【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到,然后由·<进而求解即可.【详解】【详解】∵正方形A，B的面积分别为5cm2和7cm2，∴正方形∴正方形A，B的边长分别为cm和cm， 2 ∴矩形甲的面积小于矩形乙的面积.∴矩形甲的面积小于矩形乙的面积.4424-25八年级上·山西晋中·期中）发生交通事故后，交道警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=16，其中v表示车速（单位：km/hd表示刹车后车轮滑过的距离（单位：mf表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得d=20m，f=1.2，则肇事汽车的车速大约是多少？（≈2.45，结果精确到1km/h）【答案】肇事汽车的车速大约是【答案】肇事汽车的车速大约是78km/h【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简【分析】本题主要考查了二次根式的应用，化简二次根式等知识点，将d=20，f=1.2代入v=