2026年大四几何考试试题及答案

2026年大四几何考试试题及答案一、选择题（每题4分，共32分）1.设曲面S的参数方程为r(u,v)=(ucosA.B.−C.D.−2.射影平面中，给定直线:+2+3=0与:A.(1B.(1C.(1D.(−3.设代数曲线C由方程=+ax+b（a,bA.0B.1C.2D.34.微分几何中，若曲线γ(s)的曲率kA.(rB.(rC.(rD.(r5.射影变换φ:→将点(1:0:0)、(0:1:0)、A.0B.1C.2D.36.设曲面S的第一基本形式为I=d+(+)dA.B.∈dv（其中C.∈dD.∈d7.代数几何中，曲线C:++A.0B.1C.2D.38.测地线在局部坐标系下满足的微分方程为（）A.+=0（B.=0（iC.+=0（D.=0（i二、填空题（每题5分，共30分）9.曲面r(u,10.射影平面中，点(1:2:11.设曲线γ(t)=(t,12.代数曲线C:13.高斯曲率恒为常数K=14.射影变换φ将直线l:++=0映射为自身，且保持点(三、计算题（每题12分，共48分）15.给定旋转曲面S的参数方程r(u,v)=(（1）计算S的第一基本形式I；（2）计算S的高斯曲率K；（3）若f(u)=c16.射影平面中，已知四个点A(1:0:0)、B(0:1:0)、C17.代数曲线C:（1）判断C在有限域上的点的个数（包括无穷远点）；（2）计算C的亏格g；（3）分析C在原点(018.微分几何中，考虑曲面S:z=（1）求S在点(1（2）计算S在该点的主曲率,；（3）判断该点是否为脐点，说明理由。四、证明题（每题15分，共30分）19.证明：在正则曲面上，测地线的挠率τ与曲面的法曲率、测地挠率满足关系=+（假设曲线非渐近线）。20.证明：射影平面中，任意两条不同的直线必相交于唯一一点；任意两个不同的点必连唯一一条直线。答案--一、选择题1.B（计算第一基本形式E=1,F=2.A（联立方程解得::3.B（椭圆曲线亏格为1）4.A（密切平面由切向量T和法向量N张成，其法向量为副法向量B）5.A（四点共线，射影变换矩阵行列式为0）6.C（代入u=v得I=7.A（偏导数3=8.A（测地线方程为二阶非线性微分方程，含Christoffel符号）二、填空题9.（计算=(1,0,2u)，=(0,110.+2+311.（曲率公式k(t)=，计算得=(1,2t,3)，=12.(0:0:1)（仿射坐标z=1时，方程为xy(x+y)=1，无奇点；13.伪球面；r(u,v)14.(200010001)三、计算题15.（1）=(cosv,sinv,)，（2）计算第二基本形式：=(cosv,sinv,)，=(−sinv,cosv,0（3）f(u)=c16.设射影变换矩阵为A=()，满足A(1,0,0=λ(1,2,17.（1）在中，x∈0,1x=0：0+0=x=1：1+1=x=2：8+2=x=3：27+3=x=4：64+无穷远点为(0:1（2）曲线为椭圆曲线，亏格g=（3）原点(0,0)处，F(x,y)18.（1）曲面z=，法向量(−2x,2y,1（2）参数化r(x,y)=(x,y,)，第一基本形式E=1+4，F=−4xy，G=1+4；第二基本形式L=（3）非脐点，因主曲率不相等（≠q四、证明题19.设曲线γ(s)在曲面上的Frenet标架为T,N,B，曲面的单位法向量为n，则N=cos\thetan+sin\thetaV（θ为