东南大材料力学课件第4章 应力与应变分析

第四章应力与应力分析第一节应力状态的概念第二节平面应力状态下的应力研究·应力圆第三节平面应力状态下的应力研究·主应力与主平面第四节空间应力状态的研究第五节平面应力状态下的应变研究第六节应力与应变的关系第七节空间应力状态下的比能第一节应力状态的概念2）受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合，称为一点处的应力状态1）一般来说，受力构件内各点处的应力是不同的。并且同一点不同方位截面上应力也不相同。3）研究一点的应力状态，通常围绕该点截取一个微小的正六面体（即单元体）来考虑。单元体各面上的应力假设是均匀分布的，并且每对互相平行截面上的应力，其大小和性质完全相同，三对平面上的应力代表通过该点互相垂直的三个截面上的应力。第一节应力状态的概念5）一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示，根据三个主应力的情况可分为三类：（A）只有一个主应力不等于零，称为单向应力状态（B）有两个主应力不等于零，称为二向应力状态或平面应力状态（C）三个主应力都不等于零，称为三向应力状态其中二向和三向应力状态也称为复杂应力状态，单向应力状态称为简单应力状态。4）单元体上剪切等于零的截面称为主平面。过受力构件内任一点，一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单元体，称为主单元体。它的三个主应力通常用、、来表示。按代数值大小顺序排列，即。第二节平面应力状态下的应力研究·应力圆单元体上有一对平面上的应力等于零，则称为平面应力状态斜截面的外法线与X轴之间的夹角规定从X轴逆时针转到截面外法线n方向时为正。斜截面上的应力：第二节平面应力状态下的应力研究·应力圆应力圆由可得：第二节平面应力状态下的应力研究·应力圆应力圆以为圆心，以为半径反映应力变化的圆。第二节平面应力状态下的应力研究·应力圆应力圆以为圆心，以为半径反映应力变化的圆。第二节平面应力状态下的应力研究·应力圆第二节平面应力状态下的应力研究·应力圆用图解法分析平面应力状态举例：按下列步骤作出应力圆（1）在坐标系内，按选定的比例尺量取得到D点，D点对应于X截面。（2）量取得到点，点对应于y截面。

（3）连接D，两点，交轴于C点。以C点为圆心，CD为半径作圆，即得所求应力圆。（4）若要确定截面上的应力，可以从D点开始，按照单元体上角的转向，沿着圆周转过圆心角得到K点，K点的横坐标和纵坐标分别就是截面上的正应力和切应力第二节平面应力状态下的应力研究·应力圆东南大学远程教育第五讲主讲教师：马军材料力学第三节平面应力状态下的应力研究·主应力与主平面AB由右应力圆图可知：在截面A和B处，剪应力均为零。这种剪应力为零的截面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。第三节平面应力状态下的应力研究·主应力与主平面xmqm43215x第三节平面应力状态下的应力研究·主应力与主平面mm43215xxxxx东南大学远程教育材料力学第六讲主讲教师：马军第三节平面应力状态下的应力研究·主应力与主平面在梁的xy平面内可以绘制两组正交的曲线，在一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力（拉应力）的方向，而在另一组曲线上每一点处切线的方向则为主应力(压应力)的方向。这样的曲线就称为梁的主应力迹线。梁的主应力迹线第四节空间应力状态的研究第四节空间应力状态的研究第五节平面应力状态下的应变研究东南大学远程教育材料力学第七讲主讲教师：马军第六节应力与应变的关系和也可用主应力和主应变表示广义胡克定律假定，就成为平面应力状态各向同性材料的广义胡克定律第七节空间应力状态下的比能其中u代表总比能，代表体积改变比能，代表形状改变比能。

4-1图4-1(a)所示一单元处于平面应力状态。试求：1）主应力及主平面；2）最大切应力及其作用平面。解（一）解析法由单元体可知图4－11）极值正应力典型题精解（4－1）所以，主应力主平面所以，，主应力单元体如图4－1（a）所示典型题精解（4－1）2）最大切应力最大切应力作用平面所以，由的作用平面也可判定最大切应力作用平面是。（二）图解法按照作应力圆的方法在坐标系内，按选定的比例尺，由得到D点，D点对应于x截面。由典型题精解（4－1）东南大学远程教育材料力学第八讲主讲教师：马军得到点，点对应于y截面。再由点和两点绘出相应的应力圆，如图4－1（b）所示。应力圆和轴相交于两点，即为两个主应力值，由图中量得

应力圆的最高点相应于最大切应力，由图中量得典型题精解（4－2）

4-2已知如图4－2所示过一点两个平面上的应力。试求：1）该点的主应力及主平面；2）两平面的夹角。解：1）设平面1的法线方向为y方向，平面1就是y平面，其上的应力为与y平面正交的x平面上的切应力为X平面上的正应力未知。平面2上的应力在x平面和y平面所确定的应力圆上，平面2的法线和x方向的夹角，则由应力圆的方程知图4－2典型题精解（4－2）代入已知数据得解方程得x平面上的正应力主应力主平面方位典型题精解（4－2）所以，2）由平面应力状态任意截面的应力公式代入平面2及x平面和y平面上的应力，得解得典型题精解（4－2）4-3一单元体应力状态如图4－3所示。已知材料的E=20Mpa,u=0.3试求：1）单元体的主应力及最大切应力；2)单元体的主应变和体积应变；3）单元体的弹性比能、体积改变比能和形状改变比能。解：1）由单元体图可以看出z截面的切应力为零，因而z截面的正应力，即是一个主应力。两个主应力分别为图4－3典型题精解（4－3）所以三个主应力为最大切应力为由广义虎克定律求得主应变典型题精解（4－3）单元体的体积应变3）单元体的弹性比能典型题精解（4－3）体积改变比能形状改变比能典型题精解（4－3）4－4图4－4所示边长为a的正方形薄板，两侧面受面分布集度为q的均布拉力作用，已知材料的E和。试求对角线AB的伸长。图4－4解：对角线AB的伸长为此，必须先求出对角线AB线应变。在对角线任一点K处，截取一个两对截面分别和板边平行的单元体，显然该单元体处于单向应力典型题精解（4－4）状态，，如图4－4（b）所示。相应的应力圆如图4－4（c）所示。相应的应力圆如图4－4（c）所示。由应力圆可求出单元体和截面上的正应力，即由广义虎克定律得对角线AB的伸长还可以由平面应变分析直接求出对角线AB线应变：K点处的应变为典型题精解（4－4）方向的线应变对角线AB的伸长典型题精解（4－4）4－5用直角应变花测得受力构件表面某点处的应变值如图4－5所示。构件材料的试求：1）该点的主应变；2）该点处的主应力及方向解：1）解法1：由直角应变花主应变的公式得主应变方向典型题精解（4－5）所以，构件表面为平面应力状态，，由广义虎克定律得主应力方向和主应变方向相同，即2）解法2：先由应变分量求出应力分量，再由应力分量求得主应力。应变分量应力分量典型题精解（4－5）主应力典型题精解（4－5）主平面计算结果和解法1相同典型题精解（4－5）应力应变分析习题解答习题解答1、试从图示各构件中A点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力解：该构件在A点处受弯矩和扭矩作用产生拉应力和剪应力，分别计算如下：在A处受到的拉应力最大，即在A处受到的剪应力为：所以在A处单元体的应力图为：习题解答2、试根据相应的的应力圆上的关系，写出图示单元体任一斜面mn上正应力及剪应力的计算公式。设mn面的法线与x轴成角如图示（作图时可设）。习题解答AB习题解答3、各单元体各面上的应力如图所示（应力单位MPa）。试利用应力圆：1）求指定截面上的应力；2）求主应力的数值；3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。解：1）由以下应力公式可得习题解答2）主应力，由以下公式可得：显然，主应力方向沿着对角线方向。3）绘出主平面位置及主应力方向如右图所示：习题解答4、单元体各面上的应力如图（应力单位为MPa）。试用应力圆求主应力及最大剪应力。1）由图中可知为该单元体的一主应力，于是可只计算与z轴相垂直平面上的主应力。由平面应力公式可得：习题解答根据大小来确定主应力的次序如下：2）由图中可知为该单元体的一主应力，于是可只计算与x轴相垂直平面上的主应力。由平面应力公式可得：习题解答根据大小来确定主应力的次序如下：5、用应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为试作应力圆，求该点处的主应变数值和方向。解:选比例尺如图b所示。绘出纵坐标轴，并根据已知的、和值分别作出平行于该轴的直线、和。过线上的任一点B，作与线成角（顺时针转向）的BA线，交线于A点；作与线成角（逆时针转向）的BC线，交线于C点。作BA与BC两线的垂直等分线，相交于点。过点作横坐标轴即轴，并以为半径作圆，按上述比例尺量取应变圆与轴的交点、的横坐标，即得