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文档简介

单元六函数与导数第2部分

大单元突破——系统性复习上篇

大单元导学方案稳根基

自主训练专题五恒成立(能成立)问题恒成立(能成立)问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，可以出现在选择、填空或解答题中，也经常以压轴解答题形式出现，难度较大．考点一利用导数研究恒成立问题[例1]

(2025·淄博一模)已知函数f(x)＝aex＋x＋2，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求实数a的值；(2)若对于任意x∈(e，＋∞)，f(x)<λx恒成立，求实数λ的取值范围．解：解：解：由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略(1)求最值法．将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．(2)分离参数法．将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围．(2025·重庆三模)已知函数f(x)＝axlnx－2x＋a，a∈R.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，－1)处的切线方程；(2)若a>0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：解：解：g(x)min＝g(1)＝－2＋a≥0，故a≥2.综上所述，实数a的取值范围为[2，＋∞).考点二利用导数研究能成立问题[例2]

(2025·白银模拟)已知函数f(x)＝(mx－2)ex－1，且f(x)在x＝0处取得极值．(1)求m的值及f(x)的单调区间；(2)若存在x∈R，使得f(x)≤2ex－a－1，求实数a的取值范围．解：(1)由题设f′(x)＝(mx－2＋m)ex，且f′(0)＝m－2＝0，即m＝2，所以f′(x)＝2xex，当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)，即f(x)在x＝0处取得极小值，满足题意，综上，m＝2，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞).(2)由题设(2x－2)ex－1≤2ex－a－1，解：即a≤2(xe＋ex－xex)在x∈R上能成立，令g(x)＝xe＋ex－xex，则g′(x)＝e－xex，令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝－(x＋1)ex，当x<－1时，h′(x)>0，即h(x)＝g′(x)在(－∞，－1)上单调递增；当x>－1时，h′(x)<0，即h(x)＝g′(x)在(－1，＋∞)上单调递减，由x→－∞时g′(x)→e，g′(1)＝0，当x<1时，g′(x)>0，g(x)在(－∞，1)上单调递增，解：当x>1时，g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝e，则a≤2e.故实数a的取值范围是(－∞，2e].不等式能成立问题的解题策略(1)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．(2)含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法若a>f(x)在x∈D上能成立，则a>f(x)min

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