山东省菏泽市高三三模数学试题

2025年高三二模考试数学试题注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算、模长公式即可求解.【详解】，得，所以，故选：B2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集运算即可求解.【详解】由，又因为所以，故选：C.3.某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法为（）A32 B.20 C.16 D.10【答案】C【解析】【分析】利用组合数和对立事件来解决选取问题即可.【详解】利用对立事件思想：从6名同学中任选3名同学共有种方法，这3名同学中没有甲乙同学的共有种方法，所以甲乙至少有一人参加的不同选法有种方法，故选：C.4.已知，，且，则的最大值为（）A. B.1 C.4 D.16【答案】B【解析】【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解.【详解】，当且仅当，即时取等号，故选：B5.已知为等比数列前项和，若，则（）A.5 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式来求解即可.【详解】由等比数列公式可得：，所以，故选：A.6.已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（）A.5 B.10 C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得直线过定点，当时，弦长最短，结合勾股定理代入计算，即可得到结果.【详解】由可得，令，解得，所以直线过定点，又圆的圆心，半径，则，当时，弦长最短，此时.故选：D7.对于任意，，且，则（）A. B.1 C.2025 D.4049【答案】D【解析】【分析】利用数列递推思想，结合裂项法和累加法来求出即可.【详解】由，当时，可得，赋值可得：，利用累加法可得：，代入可得：，故选：D.8.已知函数在上单调递增，则的最小值为（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数在单调递增，即在恒成立，解得，再构造函数，通过导数求单调性即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，导函数为，因为函数在单调递增，所以在恒成立，所以，即，故，令，则，令，则，令，则，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以的最小值为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.若随机变量，且，则B.若随机变量，且，则C.若数据的方差为8，则数据的方差为4D.若频率分布直方图呈现单峰不对称且左“拖尾”时，平均数大于中位数【答案】AB【解析】【分析】对于A，利用正态分布对称性可判断其正误，对于B，根据二项分布的均值与方差公式求解后可判断其正误，对于C，根据方差的性质可判断其正误，对于D，根据频率分布直方图的性质可判断其正误..【详解】对于A选项:由正态分布曲线的性质知,,因为对称轴为,故,故,正确;对于B选项:由二项分布的均值和方差公式得,,故正确;对于C选项:数据缩放后方差是原方差的平方倍,故数据的方差为,错误;对于D选项:左拖尾分布,平均数受左侧极端值影响会更小,故平均数小于中位数,错误,故选:AB.10.已知函数，函数，则下列结论正确的有（）A.与的图象有相同的对称轴B.与有相同的最小正周期C.将的图象向右平移个单位，可得到的图象D.与的图象在上只有一个交点【答案】BCD【解析】【分析】利用辅助角公式进行恒等式变形，再借助正弦型函数性质求周期和对称轴，可判断AB，利用平移思想可判断C，利用三角方程求解思想可判断D.【详解】由，可得的最小周期为，由，可得的最小周期为，故B正确；再由，可知图象的对称轴为，再由，可知图象的对称轴为，故A错误；将的图象向右平移个单位可得，故C正确；由可得，，由于，所以，其中只有一个解，故D正确；故选：BCD.11.如图，在的方格表中，任意填入个互不相等的实数，取每行的最大数得到个数，其中最小的一个是，再取每列的最小数，又得到个数，其中最大的一个是，下列结论中可能成立的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，由的定义即可比较的大小关系，然后构造方格表验证，即可得到结果.【详解】设，因为是第行的最大数，所以对于第行的任意，都有，设，因为是第列的最小数，所以对于第列的任意，都有，因为是第行的最大数，所以，因为是第列的最小数，所以，所以，构造方格表1234则，构造方格表1324则，即，所以，当时，取，，，则，即.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若与垂直，则实数的值为______．【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可.【详解】，，由题意，可得：，得，故答案为：13.一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为和，高为9，削成一个球，则所得球的体积最大值为______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出与正四棱台侧面及下底面都相切的球直径，再正四棱台的高比对即可得解.【详解】把正四棱台还原成正四棱锥，过该正四棱锥底面一组对边中点及顶点的平面截该棱锥及棱台分别得等腰和等腰梯形，过作于，如图，则等于正四棱台的高9，，于是，是正三角形，其内切圆半径，因此正四棱台还原成正四棱锥的内切球半径为4，该球是与正四棱台侧面及下底面都相切的球，即为正四棱台型的木块削成的最大球，所以所求最大体积为.故答案为：14.已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为______．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的定义，结合等腰三角形和相似比性质来求解各线段长度，最后根据勾股定理找到等式关系，从而可求离心率.【详解】如图，由于，可作轴，垂足为，可知为中点，由，可知，由，可知，令，则，即，根据双曲线定义：，即，，再由勾股定理可得：，即，即，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数在处的切线与直线平行．（1）求值：（2）求的极值．【答案】（1）（2）极大值为，无极小值.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义来求参数；（2）利用导数来研究函数单调性，从而求解极值.【小问1详解】由题意得：，因为在处的切线与直线平行，所以，故.【小问2详解】由（1）得：，定义域为，令，得，则，，的变化情况如下表：0单调递增单调递减故的极大值为，无极小值.16.记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求边上高的最大值．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解；（2）设外接圆的半径为，由即可求出，从而求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，最后由等面积法计算可得.【小问1详解】因为，由正弦定理得：①，因为，所以.故①式可变形为，即，化简得：，因为，所以，故.因为，故.【小问2详解】设外接圆的半径为，由正弦定理得：，则，，，又，故得，由（1）知，故，则，由余弦定理得：，即，则，当且仅当时等号成立，设边上高为，由三角形的面积公式得：，即.故边上高的最大值为.17.如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形．为上底面圆上两点，为的中点，且平面平面，．（1）求证：；（2）若，求与平面所成角正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）利用正方形的性质证明，再借助已知线线垂直可证明线面垂直，再利用面面垂直可证明线面垂直，从而可得线线垂直，即证中点；（2）利用空间向量法来研究线面角的正弦值，然后借助函数的单调性求出最大值.【小问1详解】证明：取的中点G，连交AF于H.在正方形中，由于F为的中点，可得，则，因为，所以，得到，即因为平面，所以平面，又平面，故由于平面平面，平面平面，，故平面，又平面，则.因为，平面，所以平面，又因平面，则，又点G是的中点，故.小问2详解】由于圆O的半径为，则正方形的边长为2，又，则.以O为坐标原点，过点O作平行的直线分别为x轴，y轴，所在的直线为z轴建立如图空间直角坐标系.则，易求上底面圆的半径为1，故.故，，.设平面的法向量为，由，得取，，故，设与平面所成角为，则，，令得，，所以在上单调递增，故.所以与平面所成角正弦值的最大值为．18.抛物线焦点为，且过点．（1）求的方程；（2）过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点．①证明：点到和的距离相等；②若的面积等于的面积，求点的坐标．【答案】（1）（2）①证明见解析；②P.【解析】【分析】（1）将点的坐标代入计算，即可得到抛物线方程；（2）①联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到，即可证明；②由题意可得点P在线段AF的中垂线上，即可得到结果.【小问1详解】因为抛物线过点，所以，得：，所以C的方程为：.【小问2详解】①设直线方程为，，，由得：，则，，，又，，易知点，所以垂直于轴，所以，所以点到和的距离相等.②因为，所以，故直线PA//FQ，所以，由①知，所以，所以点P在线段AF的中垂线上，点的纵坐标为1，代入抛物线方程可得点P.19.某选数游戏规则：给定个不同数（参与者不知道具体数值但知道的大小），屏幕每次随机出现一个数，参与者需通过按Y键选择该数，或按N键跳过继续查看下一个数，一旦按Y键选择，该游戏结束；若前个数均被跳过，系统将自动选定最后一个数．最终所选数若为这个数中最大的，则参与者获胜，反之则失败．小王参与该游戏时决定采取如下策略：对于给定的，前个数均按N键跳过（，表示直接选取第一次出现的数），从第个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按Y键选择，否则按N键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为．（1）当时，写出的值；（2）当时，求，并证明当最大时，满足（3）已知当时，（为欧拉常数）．在本次游戏中，如果，最大时，求的估计值．【答案】（1）；；（2），证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）设三个数是1，2，3，通过列举法，由古典概率模型计算公式求解即可；（2）设最大数在（）次出现，要想获胜，前个数中的最大值必出现在前次中，且第次取到最大值，得到，结合，，即可求证；（3）由（2）得到，再由条件得到①，②，③，联立可得，，即可求解.【小问1详解】不妨设三个数是1，2，3，三个数的