2026年度第二学期一模高三数学答案

石景山区2026年高三统一练习数学试卷答案及评分参考一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）C（3）B（4）C（5）C（6）B（7）D（8）A（9）D（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）,（12）（13）（14）（答案不唯一）（15）①④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ），所以的最小正周期为.函数的单调递增区间为．由，得.所以的单调递增区间为.【6分】（Ⅱ）因为，所以，，因为，所以，.因为为的平分线，所以，根据，有，即，解得.【13分】（17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱锥中，因为分别是中点，所以.因为平面，且平面，所以平面．因为平面平面，所以．因为是中点.所以是中点．【6分】（Ⅱ）选条件①：平面平面．连结，因为为等边三角形，是中点，所以.因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以．所以.如图建立空间直角坐标系，则.所以，，．设平面的法向量为，则即令，则．于是．设直线与平面所成角为，则．【14分】选条件②：．因为，所以.因为，所以．又因为，所以平面.因为平面,所以.因为，所以，.因为为等边三角形，是中点，所以,以下同条件①如图建立空间直角坐标系.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据题中数据，在名研究对象中，肺活量等级为且长跑成绩达标的人数为，肺活量等级为且长跑成绩不达标的人数为，因此肺活量等级为的总人数为.因此，从名研究对象中随机选取人，此人肺活量等级为的概率为．【3分】（Ⅱ）设事件为“从该校高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取一人长跑成绩达标”，事件为“从该校高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取一人长跑成绩达标”．根据题中数据，估计为，估计为．根据题意，随机变量的所有可能值为，且；；；．所以，估计为；估计为；估计为；估计为．所以，估计为．【11分】（Ⅲ）.【13分】（19）（共15分）解：（Ⅰ）根据题意，，，，所以，所求切线方程为.【4分】（Ⅱ），令，，①当时，，在上单调递增，又，所以当时,，当时，.所以的单调增区间为，单调减区间为，不符合题意；②当时，令，解得，所以，当时，；当时，；所以，在上单调递减，在上单调递增.所以，当时，有最小值，所以，当在上单调递增时，有，令，，得.所以时,;时,.所以在上单调递增，在上单调递减.所以，所以，即.综上所述的值为.【9分】（Ⅲ）法1：由已知可得当时，①当时，由（Ⅱ）知；所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，，不合题意；②当时，，因为在上单调递减，所以当时，所以在上单调递减，又所以存在，成立.综上所述的取值范围是.【15分】（Ⅲ）法2：由已知可得当时，①当时，，设，则，所以在单调递增.,;所以,在上单调递增，所以，，不合题意；②当时，，因为在上单调递减，所以当时，所以在上单调递减，又所以存在，成立.综上所述的取值范围是.【15分】（20）（共15分）解：（Ⅰ）由已知可得，解得，.故椭圆的方程为.【5分】（Ⅱ）①由已知得.设,则，所以，所以直线的方程为，所以直线的方程为.令，得，.因为，，所以，所以.【10分】②当直线的斜率存在时，设其方程为.由化简得，其判别式.设，可得，.由，得，即因为，所以，化简得.因为，所以，化简得，，或.所以直线的方程为或（舍）.所以直线过定点.当直线的斜率不存在时，其方程为，满足题意.综上所述直线恒过定点.【15分】（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为，所以不具有性质；因为，所以具有性质.，【4分】（Ⅱ）解法1：因为对于任意的，总有，所以，从而.因为，所以当时，和至多有一个成立.所以集合中的元素个数最多为，即.【9分】法2：首先，由中元素构成的有序数对共有个.因为对于任意的，总有，所以.所以.又因为，所以当时，.所以集合中的元素个数最多为，即.【9分】（Ⅲ），证明