浙江省台州市高三第二次教学质量评估数学试题

台州市届高三第二次教学质量评估试题数学本试题卷分选择题和非选择题两部分满分分，考试时间分钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共分）85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为等比数列，，，则（）A.8B.12C.16D.17【答案】A【解析】【详解】由等比中项的性质知，若该数列的公比为，则，显然，所以.2.已知为第二象限角，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】由为第二象限角，知，而，故.3.设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（）A.B.C.若，则D.若，则第1页/共20页

【答案】D【解析】【详解】对于A，任意事件的概率都满足，故成立；对于B，因是事件的对立事件，则，所以，故成立；对于C，因为，则事件包含事件所有的样本点，所以，故成立；对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，但并未说明事件和事件是否互斥，由概率的加法公式，因此，只有当，即时，才成立，故不一定成立.4.已知实数，，若，，则（）A.B.C.D.1【答案】C【解析】【详解】，故，，，故，所以，因为，所以，，所以.5.已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（）A.体积为B.表面积为C.两条母线的夹角的最大值为D.过顶点的截面面积的最大值为2【答案】D【解析】AB第2页/共20页

断CD的正误.【详解】对于A，圆锥的体积为，故A错误；对于B，圆锥的母线长为，故圆锥的表面积为，故B错误；对于C，设圆锥轴截面顶角为，则，而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误；对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为而，故当，，故D正确.6.已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，BAP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（）A.为定值B.为定值C.为定值D.为定值【答案】C【解析】（即可判断.【详解】因为点是抛物线上异于的动点，故设（则，，对于选项A，，不是定值，A错误；对于选项B，，不是定值，B错误；第3页/共20页

对于选项C，，为定值，C正确；对于选项D，，不是定值，D错误.7.设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.为纯虚数【答案】B【解析】无实数根，则两个复数根，必为共轭复数，，故C错误；又，故为实数，故A,D错误，又，则方程的根为，即，，由得，，故，故B正确.8.已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则（）A.12B.14C.16D.18【答案】C【解析】【分析】时，分数列仅有一个1、仅有两个1、仅有三个1讨论求出；同理求出即可．【详解】解：时，把数列的5项依次排列，第4页/共20页

数列只有一个1时，时，共3种，同理也有3种；时，共2种，同理也有2种；时，共1种；数列仅有两个1时，共4种；数列仅有三个1时，共1种，综上，；时，数列只有一个2时，时，共3种，同理也有3种；时，共4种，同理也有4种；时，一种；数列仅有两个2时，时，共2种，同理时也有2种；时，共8种；时，共1种；数列仅有三个2时，共4种，综上，．36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.第5页/共20页

C.的值域为D.是图象的一个对称中心【答案】BC【解析】ABC；代入检验函数的对称中心判断选项D.【详解】函数，最小正周期为，A选项错误；，，B选项正确；，，所以的值域为，C选项正确；时，，又，则是图象的一个对称中心，D选项错误.10.设，）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由，利用两个二项式乘积及其展开式通项求对应项系数判断A、B，应用赋值法求奇偶数项的和判断C、D.【详解】由，对于，展开式通项为，，对于，展开式通项为，，第6页/共20页

所以，A对，，B对，令，则，令，则，所以，则，C错，，D对.已知正四面体的棱长为4，顶点在平面的同侧，点，顶点到平面的距离分别为1，2，直线与平面交于点，则（）A.直线与平面所成角为B.平面与平面所成角为C.D.点到平面的距离为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据线面角的定义可求其正弦值，故可判断其正误，对于B，求出的面积，CD法可求点到平面的距离，从而可判断其正误.【详解】设在平面内的射影为，在平面内的射影为，连接，则，对于A，因为，所以为直线与平面所成的角，而，而为锐角，故，故A正确；对于B，因为，故，故四边形为梯形，而，，故，故四边形为直角梯形，第7页/共20页

同理而，故.在中，，故，而，设平面与平面所成角为，则，故平面与平面所成角不为，故B错误；对于C，由题设平面，而，故平面平面，故三点共线，而，故为的中点，故，故，连接，则，而，，故，而平面，故平面，而平面，故，故C正确；对于D，由C的分析可得，故.由可得为的中点，故，连接，则，故.过作平面的垂线，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设，则，第8页/共20页

故，消元可得，故，故D正确.非选择题部分（共分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知平面向量，，，若，则的最小值为_______.【答案】【解析】【分析】利用向量平行坐标表示可得之间的关系，将问题转化为二次函数最小值的求解即可.【详解】，，即，，，当时，取得最小值.13.已知双曲线的左、右焦点分别为，P在双曲线CO为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______.【答案】【解析】【分析】先根据双曲线的定义求出及个角的关系列出方程求出，即可求出双曲线的离心率.第9页/共20页

【详解】因为，所以，所以，即.因为，，所以在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得.因为，所以，即，解得，所以.所以.14.已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑2的白球个数为，则的数学期望为_______.【答案】【解析】【详解】由题设可取，又，，，故.第10页/共20页

四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求角A的大小；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）.【解析】【小问1详解】已知，由正弦边角关系得，化简得，应用辅助角公式可得，而，所以.【小问2详解】由余弦定理，得，解得，所以，故的周长为.16.如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析第11页/共20页

（2）.【解析】1）利用三角形中位线性质以及线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系求出相应的向量坐标，再求出两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出余弦值，进而求得正弦值.【小问1详解】证明：连接交于点，如图所示：由是正方形得为的中点，因为为的中点，所以为的中位线，于是，又因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】由已知，平面，，所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为，第12页/共20页

所以，因为点为棱的中点，所以，设平面的一个法向量为，又，则，即，令，则，则，设平面的一个法向量为，又，则，即，令，则，记平面与平面的夹角的大小为，则：，由图可知平面与平面的夹角为锐角，故.17.年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴2025年份（）201620172018201920202021202220232024GDP/万亿元74.6483.2091.9398.65101.36120.47129.43134.91（y）由以上数据，得到x与y的9对样本数据为，，，，有关计算结果如下：第13页/共20页

，，.（1）证明：；（2）请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：从《中国统计年鉴2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.）附：一元线性回归方程，其中.【答案】（1）证明见解析（2）；3.07（万亿元）【解析】1）先将原式左侧展开，再根据平均数的计算公式变形即可得证；（2代入回归方程求出预测值值差的绝对值即为误差.【小问1详解】左边=右边，故等式成立；【小问2详解】第14页/共20页

设一元线性回归方程为，则，将代入回归方程可得，解得，所以一元线性回归方程为.当时，求得，即2025年的GDP预测值为143.26万亿元，而2025年GDP的实际值为140.19万亿元，故误差为（万亿元）.18.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N，（ⅰ）求切线，的方程：（ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.【答案】（1）（2，为定值，定值为90°.【解析】1）根据离心率、焦点坐标确定椭圆的参数，即可得；（2iP的直线方程为，联立椭圆并结合相切关系得求直线的斜率，即可ii2，求交点坐标，再应用向量数量积的坐标运算求得，即可得.【小问1详解】第15页/共20页

由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为.【小问2详解】（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，联立，消去y并整理得，由，即，解得，.所以切线方程分别为，.（ⅱ）设且，则且，联立，所以，则，由相切关系知，则，所以，则，由，则，所以，则，得，所以，即，由，联立直线得，则，由，联立直线得，，则，第16页/共20页

因为，，，所以，即，故为定值，且定值为90°.19.已知，函数.（1）当时，求函数的极小值；（2）证明：当时，对任意，，都有；（3）若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】1）利用导数研究函数的极小值，即可得；（2）首先应用导数确定为增函数，再得到为增函数，利用单调性即可证明；（3）设，，从而得到能成立，利用导数及分析法求右侧的最小值，即可得.【小问1详解】由，得.令，解得，，当时，；当时，；当时，.所以在、上单调递增，在上单调递减，因此，的极小值为；第17页/共20页

【小问2详解】当时，，其中时取等号，所以为增函数，对任意的，，不妨设，则，又，所以为增函数，得，即，故；【小问3详解】由题意，不