大学文科数学（1-4章共16章）365

第1章函数1.1函数的概念1.2函数的性质1.3反函数与复合函数1.4初等函数1.1函数的概念

1.1.1集合的基本概念

所谓集合，就是指具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.例如：

(1)某大学在校生的全体为一集合；

(2)方程x2－3x+2=0的解为一集合；

(3)直线y=2x+1上所有的点为一集合.

其中：(1)和(2)中的元素只有有限个，这样的集合叫做有限集；(3)中的元素有无限多个，这样的集合叫做无限集.通常情况下，集合用大写字母(如A、B、C)表示，其元素用小写字母(如a、b、c)表示.

设A是一个集合，如果a是A的一个元素，则记做

a∈A

如果a不是A的元素，则记做

a∈A

集合中的元素具有唯一性、排他性和无序性.集合一般有两种表示方法：列举法和描述法.所谓列举法,就是把集合中的所有元素都列举出来.比如由方程x2－3x+2=0的根组成的集合，可表示为

A={1,2}

而描述法则是给出集合中元素所具有的共性，一般用

A={x|x所具有的特征}

来表示.比如满足方程y=2x+1的点组成的集合，可表示为A={(x,y)|y=2x+1}

还有一些比较特殊的集合，比如不含任何元素的集合，称为空集，记做Ｏ.如方程x2+1=0的实数解集合就是空集.1.1.2集合的关系与运算

定义1.1.1

设A、B是两个集合，如果集合A中的元素都是集合B中的元素，即如果a∈A，则a∈B.那么称A为B的子集，记做

读做A包含于B或B包含A.若又有b∈B但b∈A,则称A真包含于B或B真包含A，记做

定义1.1.2

设A、B是两个集合，如果A

B且B

A，则称集合A与B相等，记做A=B.

定义1.1.3

设A、B是两个集合，由集合A与B的公共元素所构成的集合称为集合A与B的交集，记做

A∩B

即

A∩B={x|x∈A且x∈B}

交集具有以下简单性质：

(1)(A∩B)

A；

(2)(A∩B)

B.

例1.1.1

有直线点集

A={(x,y)|y=2x+1}

和

B={(x,

y)|y=－x+4}

则两条直线的交点构成了两个集合的交集A∩B={(1,3)}.

定义1.1.4

设A、B是两个集合,由集合A与B的所有元素构成的集合称为集合A与B的并集，记做

A∪B

即

A∪B={x|x∈A或x∈B}

并集具有以下简单性质：

(1)(A∪B)

A；

(2)(A∪B)

B.

例1.1.2{1,2,3,5,7,9}∪{2,4,6,8,9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

定义1.1.5

由所研究对象的全体构成的集合叫做全集，记做Ω.设A

Ω，那么由Ω中所有不属于A的元素构成的集合叫做集合A在Ω中的补集，记做即

例1.1.3

Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={1,3,5,7,9}，则A={2,4,6,8}.

集合之间的运算满足以下定律：

（1）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A.

（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.

（3）分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).

（4）德·摩根律：1.1.3实数集

最早认识的是自然数0,1,2,3,…，其中对于0的认识要明显晚于对其他自然数的认识.全体自然数的集合称做自然数集，记做Ν.在N中我们可以定义加法和乘法.但是当利用自然数进行减法运算时，自然数集就不够用了.于是我们将自然数集扩充到整数集Z.之后又为了除法的需要发展出了有理数集Q.这样在Q中我们就可以进行四则运算了.1.1.4区间

在R的子集中，我们经常会遇到各种各样的区间，实际上就是各种集合.区间可以是开、闭或半开半闭以及有限或无限的，如图1.1.1所示.

图1.1.11.1.5绝对值

定义1.1.6

设x∈R，x的绝对值是一个非负实数，记做

|x|，其定义为

例如,|5|=5，|－2|=2.绝对值在几何上表示的是数轴上的点到原点的距离.常用绝对值的运算性质如下:1.1.6邻域

邻域实际上就是一个特定的区间.

定义1.1.7

设a∈R且δ>0，称集合

{x||x－a|<δ}

为a的一个δ邻域，记做Uδ(a)，其中a叫做邻域的中心，

δ叫做邻域的半径，如图1.1.2所示.显然

Uδ(a)={x|a－δ<x<a+δ}图1.1.21.1.7函数的概念

定义1.1.8

设在某变化过程中有两个变量x和y，如果给定一个x的取值，按照某个对应法则f，y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，x为自变量.x的取值范围称做定义域，记做Df;y的值称做函数值，其取值范围称做值域，记做Rf.

y与x之间的函数关系记做

y=f(x)所以所谓的函数，实际上类似于一个机器，对于每一个允许的输入值都有一个指定的输出值.输入构成了函数的定义域，输出构成了函数的值域，如图1.1.3所示.图1.1.3

例1.1.4

函数y=2,定义域Df=(－∞,+∞)，值域Rf={2},如图1.1.4所示.图1.1.4

例1.1.4

函数y=2,定义域Df=(－∞,+∞)，值域Rf={2},如图1.1.4所示.

例1.1.5

圆周-面积函数A(r)=πr2的定义域是所有可能的半径的集合，它是全体正实数构成的集合，其值域也是全体正实数构成的集合.

A在r=3处的值是

A(3)=π×32=9π

即半径r为3的圆的面积为9π.图1.1.4

例1.1.6

绝对值函数

定义域Df=(－∞,+∞)，值域Rf=［0,+∞),如图1.1.5所示.图1.1.5

例1.1.7

符号函数也是一个分段函数，如图1.1.6所示.图1.1.6

例1.1.8

判断下面函数是否相同,并说明理由.

(1)y=1与y=sin2x+cos2x；

(2)y=2x+1与x=2y+1.

解(1)虽然这两个函数的表现形式不同，但它们的定义域(－∞,+∞)与对应法则均相同，所以这两个函数相同.

(2)虽然它们的自变量与因变量所用的字母不同,但其定义域(－∞,+∞)和对应法则均相同，所以这两个函数相同.

一般地，当函数f(x)用解析法表示时，如果不特别声明，则函数的定义域指的就是使f(x)有意义的全体x的集合，通常称它为自然定义域.

例1.1.9

求函数的定义域.

解由题设可知，要使表达式有意义，4－x2必须大于0，从而

x2<4

因此，－2<x<2，从而定义域为(－2,2).1.1.8建立函数关系

例1.1.10

脉冲发生器产生一个单三角脉冲，其波形如图1.1.7所示，写出电压U与时间t(t≥0)的函数关系式.图1.1.7

解当t∈(τ,+∞)时，U=0.

所以，U=U(t)是一个分段函数，其表达式为1.2函数的性质

1.2.1有界性

定义1.2.1

设函数f(x)的定义域为D，能够找到一个正数M>0，使得对于D中所有的x，都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)在

D内是有界的.反之，则称函数f(x)在D内是无界的.

图1.2.1所示的就是一个有界函数的图像.图1.2.11.2.2单调性

我们先看两个函数的图像，如图1.2.2所示.

从图1.2.2中可以清晰地看到函数增减性变化的明显不同.随着x的增大，如果函数图像是向上爬升或升高的，就是增函数；如果函数图像是下降或下落的，就是减函数.图1.2.2

定义1.2.2

设函数y=f(x)的定义域为D，I

D，对于任意给定的x1、x2∈I，当x1<x2时，

(1)如果f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上是单调递增的函数；(2)如果f(x1)>f(x2)，则称f(x)在I上是单调递减的函数.

例1.2.1

证明函数在(－1,+∞)内是单调递增的函数.

证在(－1,+∞)内任取两点x1、x2且x1<x2，则1.2.3奇偶性

奇函数和偶函数图像具有对称性的表征.

定义1.2.3

设函数y=f(x)的定义域I是一个对称数集，即x∈I时，－x∈I.如果对于任意给定的x∈I，函数满足：

(1)f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；

(2)f(－x)=f(x)，则称f(x)是偶函数.

奇和偶的名称来自x的幂次.如果y是x的奇次幂，如y=x或y=x3，那么它们就是x的奇函数.如果y是x的偶次幂，如y=x2或y=x4，那么它们就是x的偶函数.当然，其他一些函数也有奇偶性，如y=sinx是奇函数，而y=cosx则是偶函数.

奇函数图像是关于原点对称的，而偶函数图像是关于y轴对称的.这里一定要注意轴对称和点对称在对称方式上的区别，如图1.2.3所示.图1.2.3

例1.2.2

讨论下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=x2；

(2)f(x)=x2+1;

(3)f(x)=x；

(4)f(x)=x+1.

解(1)因为f(－x)=(－x)2=x2=f(x)，所以f(x)=x2是偶函数；(2)因为f(－x)=(－x)2+1=x2+1=f(x)，所以f(x)=x2+1是偶

函数；

(3)因为f(－x)=－x=－f(x)，所以f(x)=x是奇函数；

(4)因为f(－x)=－x+1，－f(x)=－(x+1)=－x－1，所以f(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数，称之为非奇非偶函数.1.2.4周期性

定义1.2.4

设函数y=f(x)，x∈R.若存在l>0，对于任意给定的x∈R,有

f(x+l)=f(x)

则称f(x)是周期函数，l为其周期.

如图1.2.4所示，y=sinx，

y=sin2x等都是周期函数，它们的最小正周期分别是2π和π.图1.2.4

1.3反函数与复合函数

1.3.1反函数

例1.3.1

y=ex(x∈R)和y=lnx(x>0)，如图1.3.1所示.

图1.3.1

定义1.3.1对于给定的函数y=f(x)(x∈X,

y∈Y)，如果对

于Y中的每一个值y=y0，在X中都有唯一的一个x=x0，使得f(x0)=y0，我们称函数y=f(x)是一一对应的.同时，这种一一对应的关系也确定了一个y=f(x)的反函数，记做

x=f－1(y)(y∈Y)这里y=f(x)称为直接函数，而x=f－1(y)称为y=f(x)的反函数.符号f－1就表示这个新的函数关系.例如圆的面积公式为A=f(r)=πr2(r≥0)，则其反函数关系就可以表示成

对于一个函数y=f(x)(x∈X,y∈Y)，它在X上存在反函数的充要条件是

f(x)在X上是一一对应的.而由于单调函数是一一对应的，所以单调函数一定有反函数，并且其反函数的单调性和直接函数的单调性是一致的.于是就存在反函数

(x≥0),如图1.3.2所示.图1.3.2例1.3.2求函数的反函数.

解由，解得，改变变量的记号，即得到所求反函数为

例1.3.3

求函数的反函数.

解令

，则，故即从而解得改变变量的记号，即得到所求反函数为1.3.2复合函数

假定函数g(x)的某些输出能够作为另一个函数f(x)的输入，那么我们就可以构造一个新的函数把g和f联系在一起，该新函数的输入x是g的输出，而输出为函数f［g(x)］.如图1.3.3所示，函数f［g(x)］是g和f的复合函数，也可以记做

图1.3.3

定义1.3.2

设y=f(u)(u∈U)，u=g(x)(x∈X,u∈U1).若

U1

U，则称f［g(x)］(x∈X)为y=f(u)和u=g(x)的复合函数，称u为中间变量.

例1.3.4

若u=g(x)=x2，f(u)=u－7，求f［g(x)］，并求出

f［g(2)］.

解为求f［g(x)］，我们用g(x)的表达式代替函数f(u)=

u－7中的u，即

f［g(x)］=g(x)－7=x2－7

然后将x=2代入上式，即可求出f［g(2)］的值为

f［g(2)］=22－7=－3

例1.3.7

设，求f(x).

解方法1：令则x2－tx+1=0，取，代入得同理，取可得f(t)=t2－2,所以f(x)=x2－2.方法2：因为所以f(x)=x2－2.1.4初等函数

1.4.1常函数

函数y=C(C为常数)叫做常函数.常函数的定义域为R，值域为{C}，图像是一条平行于x轴的直线，如图1.4.1所示.图1.4.11.4.2幂函数

函数y=xa(a是常数)叫做幂函数.幂函数的定义域取决于a的取值，但不论a取何值，函数y在(0,+∞)上都有定义，并

且函数图像都过(1,1)点，如图1.4.2所示.图1.4.21.4.3指数函数

函数y=ax(a是常数且a>0,a≠1)叫做指数函数.指数函数的定义域为R，值域为(0,+∞).当a>1时，函数单调递增；当a<1时，函数单调递减.不管a取何值，函数图像均过(0,1)点,如图1.4.3所示.图1.4.3指数函数服从指数运算法则：若a>0，b>0，则对于所有的实数x、y，以下结果成立:

例1.4.1

具有放射性的原子核在放射出粒子及能量后可变得较为稳定，这个过程称为衰变.实验表明某些原子以辐射的方式发射其部分质量，该原子用其剩余物重新组成新元素的原子.例如，放射性碳－14衰变成氮；镭最终衰变成铅.若y0是时刻x=0时放射性物质的数量，在以后任何时刻x的数量为y=y0e－rx，

r>0数r称为放射性物质的衰减率.对碳－14而言，当x用年份来度量时，其衰减率r=1.2×10－4.试预测886年后的碳－14所占的百分比.

解设碳－14原子核数量从y0开始，则886年后的剩余

量是

y(886)=y0e(－1.2×10－4)×886≈0.899y0

即886年后的碳－14中约有89.9%的留存，约有10.1%的碳－14衰减掉了.

例1.4.2

某人在2008年欲用1000元投资5年，设年利率为5%，试分别按单利率、复利率和连续复利率计算到第5年末，该人应得的本利和S.

解按单利率计算

S=1000(1+0.05×5)=1250（元)

按复利率计算

S=1000(1+0.05)5≈1276.28（元）

按连续复利率计算

S=1000e5×0.05≈1284.03（元）表1.4.1为按单利率、复利率和连续复利率计算从2008年到2012年的本利和.1.4.4对数函数

函数y=logax(a

是常数且

a>0,a≠1)叫做对数函数.对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为R.当a>1时，函数单调递增；当a<1时，函数单调递减.不管a取何值，函数图像均过

(1,0)点，如图1.4.4所示.图1.4.4在科学工程应用当中，以e为底和以10为底的对数极其重要，所以也给它们指定了专门的记号和名称：

logex写做lnx，log10x写做logx或者lgx.

函数lnx称为自然对数函数，而logx常称为普通对数函数.

由于对数函数y=logax与指数函数y=ax是互为反函数的，所以我们可以根据指数函数的一些运算性质，推导出对数函数的运算性质.下面我们不加证明地给出这些性质：对任何实数x>0和y>0，有例1.4.3地震的里氏震级常用对数来刻画,其公式如下：其中:a是监听站以微米计的地面运动的幅度;T是地震波以秒计的周期；B是由于随离震中的距离增大时地震波减弱所允许的一个经验因子.对监听站10000km处的地震来说，B=6.8.如果记录的垂直地面运动为a=10μm而周期T=1s，那么震级为这种强度的地震在其震中附近会造成极大的破坏.1.4.5三角函数

正弦函数y=sinx，定义域为R，值域为［－1,1］，周期为2π，奇函数，如图1.4.5所示.图1.4.5余弦函数y=cosx，定义域为R，值域为［－1,1］，周期为2π，偶函数，如图1.4.6所示.图1.4.6正切函数y=tanx，定义域为x∈R且,n∈Z，值域为R，周期为π，奇函数，如图1.4.7所示.图1.4.7余切函数y=cotx，定义域为x∈R且x≠nπ,

n∈Z，值域为R，周期为π，奇函数，如图1.4.8所示.图1.4.8在微积分中，我们还经常会遇到另外两类三角函数，其详细定义如下.

正割函数y=secx=1／cosx，定义域为x∈R且x≠(2n+1)π/2,

n∈Z,值域为y≤－1或y≥1，周期为2π，偶函数，如图1.4.9所示.图1.4.9余割函数y=cscx=1／sinx，定义域为x∈R且x≠nπ,n∈Z，值域为y≤－1或y≥1，周期为2π，奇函数，如图1.4.10所示.图1.4.101.4.6反三角函数

反正弦函数y=arcsinx，定义域为［－1,1］，值域为

，如图1.4.11所示.

反余弦函数y=arccosx，定义域为［－1,1］，值域为［0，π］，如图1.4.12所示.

图1.4.11图1.4.12反正切函数y=arctanx，定义域为R，值域为，如图1.4.13所示.图1.4.13反余切函数y=arccotx，定义域为R，值域为(0,π)，如图1.4.14所示.图1.4.14表1.4.2和表1.4.3给出了一些反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的常用值,以便读者参考.1.4.7双曲函数

双曲正弦函数，定义域为R，奇函数，如图1.4.15所示.

图1.4.15双曲余弦函数，定义域为R，偶函数，如图1.4.16所示.图1.4.16双曲正切函数，定义域为R，奇函数，有界函数，如图1.4.17所示.图1.4.17双曲函数常用公式如下：

(1)sinh(x±y)=sinhx

coshy±coshx

sinhy；

(2)cosh(x±y)=coshx

coshy±sinhx

sinhy；

(3)cosh2x－sinh2x=1；

(4)sinh2x=2sinhx

coshx；

(5)cosh2x=cosh2x+sinh2x.1.4.8反双曲函数

反双曲正弦函数，定义域为R，奇函数，单调递增，如图1.4.18所示.图1.4.18反双曲余弦函数，定义域为［1,+∞)，单调递增，如图1.4.19所示.图1.4.19反双曲正切函数，定义域为(－1,1)，奇函数，单调递增，如图1.4.20所示.图1.4.20第2章极限与连续2.1数列的极限2.2函数的极限2.3无穷大量与无穷小量2.4极限运算法则2.5等价无穷小2.6函数的连续与间断2.7连续函数的运算与性质2.1数列的极限

我们先来看几个例子：

在这几个例子当中，都是按照一定顺序排列的一些数.我们把按照一定顺序排列的无穷多个数

a1，a2，…，an，…

称为无穷数列，简称数列，记做{an}.其中an称为数列的通项或一般项.例如:

设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A1；再作内接正十二边形，其面积记为A2；…；再作内接正6×2n－1边形，其面积记为An（n∈N).当n无限增大时，这

个数列{An}越来越接近圆的面积，如图2.1.1所示.图2.1.1

定义2.1.1

给定数列{an}，如果当项数n无限增大时，通项an无限地趋向于（或接近于）某一个常数A，则称A为n趋于无穷时数列{an}的极限，记做

当一个数列有极限的时候，我们也说这个数列是收敛的.

如果当n→∞时，数列{an}不以任何常数为极限，则称数列{an}是发散的.例2.1.1下列各数列是否收敛,若收敛,试指出其收敛于何值.

(1){2n}；(2)(3){(－1)n+1}；

解

(1)数列{2n}即为

2,4,8,…,2n,…

可见，当n无限增大时，2n也无限增大，故该数列是发散的.

(2)数列即为可见，当n无限增大时，无限地接近于0，故该数列收敛于0，记做

(3)数列{(－1)n+1}即为

1,－1,1,－1,…,(－1)n+1,…

可见，当n无限增大时，(－1)n+1无休止地反复取1,－1两个数，而不会无限接近于任何一个确定的常数，故该数列是

发散的.

(4)数列即为可见，当n无限增大时，(n－1)/n无限地接近于1，故该数列收敛于1，记做

(5)数列{1}即为

1，1，1，1，…，1，…

这个数列每一项都等于1，这是我们所说的常数列.对于常数列来说，它的极限就是它自身，即

2.2函数的极限

2.2.1x无限增大（记做x→+∞）时函数f(x)的极限

例2.2.1

考察当x→+∞时,函数

的变化趋势.

从图2.2.1中我们可以看到，当自变量x→+∞时函数

(x≠0)就会无限地变小，并且无限地接近于常数0.这时，我们就把常数0称为函数当x→+∞时的极限.图2.2.1例2.2.2考察当x→+∞时,函数的变化趋势.

从图2.2.2中我们可以看到，当自变量x→+∞时，函数

的值在0的上下来回摆动，并且摆动的幅度越来越小，最终无限地接近于0.这时，我们就把常数0称为函数

当x→+∞时的极限.

定义2.2.1

一般地，给定函数f(x)，如果当x无限增大时，f(x)无限地接近于某一个常数A，那么我们就称这个常数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记做

例如，我们可以将例2.2.1和例2.2.2中的两个极限分别表示成定理2.2.1

例2.2.3

考察当x→∞时，函数的极限.

从图2.2.3中可以看到，无论x→+∞还是x→－∞，函数

都无限地接近于常数，所以

图2.2.32.2.2x趋于有限值时的极限

例2.2.4

考察函数处的特征.

从函数的形式中我们发现，该函数的定义域为x∈R且x≠1.对于任何x≠1，我们可以通过对分子的因式分解，消去公因子而化简这个函数，即因此该函数的图像就是挖掉点(1,2)的直线y=x+1,如图2.2.4所示.图2.2.4从表2.2.1中可以看到，当x趋近于1（记做x→1）时，f(x)无限地趋近于2.这时我们称常数2为函数

当x→1时的极限.

例2.2.5考察当x→a时，常函数f(x)=C的极限.

从图2.2.5中可以看到，当x→a时，

以上所讲的x趋于a时f(x)的极限为A，包含了两种情形:一个是当x＞a时向a趋近；另一个是当x＜a时向a趋近.这两种情形下f(x)都趋近于A.有时我们还要考虑x仅从a的一侧趋近于a时f(x)的极限.图2.2.5

例2.2.6

函数y=f(x)的图像如图2.2.6所示，从图像中我们可以看到，当x从0的左侧（即x<0）向0趋近时，f(x)无限地趋近于－1，这时我们称－1为f(x)当x趋于0时的左极限.当x从0的右侧（即x>0）向0趋近时，f(x)无限地趋近于1，类似地，我们称1为f(x)当x趋于0时的右极限.图2.2.6可见，左、右极限存在但不相等，所以

不存在，图像如图2.2.7所示.

图2.2.7例2.2.8讨论当x趋于0时函数

的变化趋势.

从图2.2.8中我们可以看到，当x无限地趋向于0时，

的图形在－1与1之间发生了剧烈的振荡，即f(x)不趋向于某一个常数，所以当x→0时，

没有极限.图2.2.82.3无穷大量与无穷小量

2.3.1无穷大量

我们先来看两个函数的极限:，对于函数f(x)=2x，当x→+∞时，其函数值无限增大；而对于函数，当x→0时，其函数值的绝对值无限增大.这种函数的变化趋势称做是无穷大量.2.3.2无穷小量

定理2.3.1

其中α(x)是当x→x0时的无穷小.

除此之外，无穷小量还具有其他一些非常重要的性质.

定理2.3.2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.

定理2.3.3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

推论2.3.1在自变量的同一变化过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.

推论2.3.2常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论2.3.3有限个无穷小的乘积是无穷小.

例如，当x→0时，

都是无穷小.，2.3.3无穷小与无穷大的关系

(1)若f(x)是无穷大量，则为无穷小量；

(2)若f(x)是无穷小量且f(x)≠0，则

为无穷大量.

例2.3.1求解因为根据无穷小与无穷大的关系有

2.4极限运算法则

2.4.1极限的四则运算法则

定理2.4.1

若在同一变化过程下，limf(x)和limg(x)都存在，并且limf(x)=A，limg(x)=B，则推论2.4.1如果limf(x)存在，而c为常数，则

lim［cf(x)］=climf(x)

这说明，在极限运算中，常数因子可以提到极限符号外面.

推论2.4.2如果limf(x)存在，n是正整数，则

lim［f(x)］n=［limf(x)］n例2.4.1求

解

例2.4.2

求解因为所以

(1)设f(x)=a0xn+a1xn－1+…+an，则有(2)设且Q(x0)≠0，则有例2.4.3求解因为，所以商的法则不能用.又因为所以由无穷小与无穷大的关系，得例2.4.4求

解当x→1时，分子、分母的极限都是0，这种类型的极限记做0／0型.求解时可以先约去不为0的无穷小因子x－1后再求极限，即例2.4.5求

解当x→∞时，分子、分母的极限都是无穷大，这种类型的极限记做∞／∞型.求解时可以用分子、分母中幂次最高的项去除分子、分母，分出无穷小，再求极限.本例中，我们用x3去除分子、分母，即我们把这种方法称做无穷小因子分出法.同时，我们可以总结出对于这种极限的求解法则，即当a0≠0，b0≠0，m和n为非负整数时，有例2.4.6求

解当x→4时，，所以不能直接使用商的极限运算法则.但是可以采用分母有理化消去分母中的零因子，即例2.4.7求

解当n→∞时，原数列是无穷小之和，可以先变形再求极限，即例2.4.8求

解当x→∞时，1／x为无穷小.而sinx是有界函数，

所以图2.4.12.4.2两个重要极限

下面通过一组数据的对比，来观察当x→0时，sinx取值的变化情况，如表2.4.1所示.例2.4.11求解=1例2.4.12求例2.4.13求例2.4.14求例2.4.15求解解

例2.4.16

求

例2.4.17

求解例2.4.18求解例2.4.19求解例2.4.20求解例2.4.21一投资者欲用1000元投资5年，设年利率为6%，试分别按单利率、复利率、每年4次复利率和连续复利率付息方式计算，到第5年末，该投资者应得的本利和S.

解按单利率计算

S=1000+1000×0.06×5=1300(元)

按复利率计算

S=1000×(1+0.06)5=1000×1.33823=1338.23(元)按每年4次复利率计算按连续复利率计算(元)

2.5等价无穷小

用一组数据来进行说明，如表2.5.1所示.例2.5.1证明：当x→0时，2xtan3x为x的四阶无穷小.

证因为故当x→0时，2xtan3x为x的四阶无穷小.例2.5.2当x→0时，求tanx－sinx关于x的阶数.

解因为所以tanx－sinx为x的三阶无穷小.例2.5.3当x→1时，将下列各量与无穷小量x－1进行

比较.

(1)x3－3x+2；

(2)lgx；

(3)解(1)由知，当x→1时，x3－3x+2是无穷小量，又所以x3－3x+2是比x－1高阶的无穷小量.例2.5.4求解因为，所以当x→0时，sinx~x，于是例2.5.5求解当x→0时，tan3x~3x，sin2x~2x,故例2.5.6求解当x→0时，1－cosx~(1／2)x2，tan2x~2x,故例2.5.7求

错解当x→0时，tanx~x，sinx~x，所以例2.5.8求

解当x→0时，故例2.5.9求解当x→0时，tanx~x，故例2.5.10求解当x→0时，,sin2x~x2，故例2.5.11求解先化简分子，得因为当x→0时，ln(1+x2+x4)~x2+x4，所以2.6函数的连续与间断

2.6.1连续

为了介绍连续的定义，我们先来讨论增量的概念.

如图2.6.1所示，设函数f(x)在Uδ(x0)内有定义，x∈Uδ(x0),

Δx=x－x0

称为自变量在点x0处的增量,Δy=f(x)－f(x0)称为函数f(x)相应于Δx的增量.图2.6.1

例2.6.2

证明函数y=sinx在区间(－∞,+∞)上是连续的.

证任取x∈(－∞,+∞)，有因为则例2.6.3

讨论函数在x=0和x=1处的连续性.解在x=0处:因为所以例2.6.4已知函数在x=0处连续，求b的值.解因为又知f(x)在x=0处连续，则即b=－1.2.6.2间断

定义2.6.3如果f(x)在点x0处的左、右极限都存在，但

f(x0-)≠f(x0+)，则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点.例2.6.6讨论函数在x=1处的连续性.解因为f(1)=1，f(1－)=2，f(1+)=2，所以故x=0为函数的可去间断点,f(x)图形如图2.6.2所示.图2.6.2例2.6.7讨论函数在x=0处的连续性.

解因为f(0－)=0，f(0+)=+∞，所以x=0为函数的第二类间断点.这种情况称为无穷间断点.2.7连续函数的运算与性质

2.7.1连续函数的运算性质

定理2.7.1

若函数f(x)、g(x)在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)·g(x)，f(x)／g(x)(g(x0)≠0)在点x0处也连续.

例如，sinx、cosx在(－∞,+∞)内连续，故tanx、cotx、secx、cscx在其定义域内连续.例2.7.1求解

例2.7.2求解令ex－1=y，则x=ln(1+y).当x→0时，y→0,所以同理可得2.7.2初等函数的连续性

例2.7.3求解例2.7.4求解例2.7.5求解

因为是初等函数，且x0=2是其定义区间内的点，所以f(x)在点x0=2处连续，于是例2.7.6求2.7.3闭区间上连续函数的性质

定义2.7.1

对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x0∈I，使得对于任一x∈I，都有

f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))

则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大（小）值.定理2.7.5(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.

注意这个定理成立的前提条件是一定要在闭区间上连

续.如果区间是开区间(见图2.7.1(a))或者区间内有间断点(见图2.7.1(b))，该定理不一定成立.图2.7.1定义2.7.2如果x=x0使f(x0)=0，则称x0为函数f(x)的零点.

定理2.7.7(零点定理)设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)·f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ<b)，使f(ξ)=0,如图2.7.2所示.图2.7.2定理2.7.8(介值定理)设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ<b).

推论2.7.1在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.例2.7.7证明方程x3－4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一

个根.

证令f(x)=x3－4x2+1，则f(x)在［0,1］上连续.又

f(0)=1>0，

f(1)=－2<0

由零点定理知，ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0，即

ξ3－4ξ2+1=0

所以方程x3－4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个根ξ.例2.7.8设函数f(x)在区间［a,b］上连续，且f(a)<a，f(b)>b.证明ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=ξ.

证令F(x)=f(x)－x，则F(x)在［a,b］上连续.又

F(a)=f(a)－a<0，F(b)=f(b)－b>0

由零点定理知，ξ∈(a,b)，使F(ξ)=f(ξ)－ξ=0，即f(ξ)=ξ.第3章导数与微分3.1导数的概念3.2函数的求导法则3.3高阶导数和隐函数的导数3.4函数的微分

3.1导数的概念

3.1.1问题的提出

1.变速直线运动的瞬时速度问题

设一质点M从点O开始做变速直线运动，经过T秒到达点P，求该质点在t0∈［0,T］时刻的瞬时速度.

我们建立如图3.1.1所示的坐标系，用s表示质点的位移，那么很明显，s是与时间t相关的，也就是说位移s是时间t的函数，记做s=s(t).

图3.1.1

(1)假设在t0时刻后又产生了一个微小的时间增加Δt，即时间从t0变化到t0+Δt，相应地，质点的位置也从M0变化到了M1，于是就产生了位移增量

Δs=M1－M0=s(t0+Δt)－s(t0)

这一步称为求增量；

(2)为了求得［t0,t0+Δt］这一时间段内质点移动的平均速度，我们用Δs除以Δt，即

这一步称为求增量比；

(3)为了求得t0时刻的瞬时速度，我们可以让时间的间隔Δt越来越小，这样M1就和M0越靠越近，而这一段上的平均速度v也就和t0时刻的瞬时速度v0越靠越近.于是，当Δt→0时，平均速度的极限就是瞬时速度，即

2.曲线切线的斜率问题

假设函数y=f(x)的图像如图3.1.2所示，当x=x0时，函数值y=y0，即图中M0点的位置.当自变量发生了一个小的增量，即从x0变化到x0+Δx时，点的位置变化到了M，这样M0M就成为了该函数的一条割线，同时也产生了函数值的增Δy=f(x0+Δx)－f(x0)，于是这条割线的斜率图3.1.2为了求得f(x)的图像在x0处的切线，我们让M点沿着曲线向M0移动.随着点的移动，M0M这条割线也越来越趋近于M0这点的切线.而点M的移动反映在自变量的变化上则是使Δx越来越趋近于0.于是当Δx→0时，割线的极限就是切线.同时，割线的斜率就变成了切线的斜率.于是若M0点切线的斜率为K，则3.1.2导数的定义

定义3.1.1

设函数y=f(x)在点x0处的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地,函数y也取得增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)；如果当Δx→0时,Δy与Δx之比的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记做即如果上式的极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导；反之，则称函数f(x)在点x0处不可导.除了以上的定义形式外，函数f(x)在x0处的导数还有其他的表示方法，比如用h代替自变量增量Δx，即得

而如果令x=x0+Δx，那么Δx→0就意味着x→x0，于是可得例3.1.1求函数f(x)=C的导数，其中C为常数.即(C)′=0例3.1.2设函数f(x)=sinx，求(sinx)′及解即(sinx)′=cosx所以例3.1.4求函数y=x3的导数.

解即(x3)′=3x23.1.3导数的几何意义和物理意义

1.几何意义

例3.1.5

求等边双曲线处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程.

解由导数的几何意义，得切线斜率为

即4x+y－4=0

所求法线方程为即

2x－8y+15=03.1.4单侧导数

下面给出左、右导数具体的定义.

左导数:右导数:定理3.1.1（导数存在的充要条件）函数f(x)在点x0处可导左导数f′－

(x0)和右导数f′+(x0)都存在且相等.

由于有了左、右导数的概念，我们就可以将函数f(x)在开区

间(a,b)内可导推广到函数在闭区间可导，即如果f(x)在开区间(a,b)内可导，且f′+(a)及f′－(b)都存在，就说f(x)在闭区间［a,b］上可导.对于左、右导数而言，经常用其讨论分段函数在分段点处的可导性，即设函数讨论其在点x0处的可导性，步骤如下：如果存在存在且则f(x)在点x0处可导，且f′(x0)=a.例3.1.6讨论函数f(x)=|x|在x=0处的可导性.

解因为例3.1.7设函数问a取何值时，f(x)为可导函数?解只需讨论在x=0处f(x)为可导时a的取值情况.

在x=0处，因为3.1.5可导与连续的关系

定理3.1.2

可导函数都是连续函数.

这就意味着，只要函数f(x)在点x0处是可导的，那么它在x0处一定是连续的.但是需要注意，这个定理的逆定理不成立，即函数f(x)在点x0处是连续的，却不一定在x0处是可导的.例3.1.8讨论函数在x=0处的连续性与可导性.解因为是有界函数，所以

又因为，所以f(x)在x=0处连续.但在x=0处有所以f(x)在x=0处不可导.

3.2函数的求导法则

3.2.1函数的和、差、积、商的求导法则

定理3.2.1

如果函数u(x)、v(x)在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，并且

(1)［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x)；

(2)［u(x)·

v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)；

(3)（v(x)≠0）.例3.2.1求y=x3－2x2+sinx的导数.

解

例3.2.2求的导数.

解例3.2.3求y=sin2x·

lnx的导数.

解因为y=2sinx

·

cosx·lnx，所以例3.2.4求y=tanx的导数.

解即(tanx)′=sec2x

同理可得

(cotx)′=－csc2x例3.2.5求y=secx的导数.

解同理可得(cscx)′=－cscxcotx例3.2.6求y=sinhx的导数.

解同理可得

(coshx)′=sinhx例3.2.7设求f′(x).

解当x<0时，f′(x)=1.

当x>0时，当x=0时，所以f′(0)=1,故例3.2.8求曲线y=2x－x3上与x轴平行的切线方程.

解

y′=2－3x2，令y′=0

2－3x2=0,解得,于是切点为,所以切线方程为和例3.2.9(经济学中的导数)某产品在生产8到20件的情况下，其生产x件的成本与销售x件的收入分别为

C(x)=x3－2x2+12x(元)与R(x)=x3－3x2+10x(元)

某工厂目前每天生产10件，试问每天多生产一件产品的成本为多少？每天多销售一件产品获得的收入为多少？解在每天生产10件的基础上再多生产一件的成本大约

为C′(10)：C′(10)=272(元)即多生产一件的附加成本为272元.边际收入为

R′(10)=250(元)即多销售一件产品而增加的收入为250元.3.2.2反函数的导数

定理3.2.2如果函数x=φ(y)在某区间Iy内单调可导且φ′(y)≠0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，且有.

这个定理告诉我们，反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例3.2.10求函数y=arcsinx的导数.

解因为x=siny在内单调可导，且(siny)′=cosy>0，所以在Ix∈(－1,1)内，有同理可得，，3.2.3复合函数的求导法则

定理3.2.3如果函数u=φ(x)在点x0处可导，而y=f(u)在点u0=φ(x0)处可导，则复合函数y=f［φ(x)］在点x0处可导，且其导数为即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导(链式法则).推广设y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则复合函数

y=f{φ［ψ(x)］}的导数为例3.2.12求函数y=lnsinx的导数.

解因为y=lnu，u=sinx，所以例3.2.13求函数y=(x2+1)10的导数.

解例3.2.14求函数解例3.2.15求函数的导数.

解例3.2.16求导数.

解

3.3高阶导数和隐函数的导数

3.3.1高阶导数

我们把函数f(x)的导数f′(x)的导数称做f(x)的二阶导数，记做其中由此又可以推导出函数的三阶导数定义3.3.1设函数f(x)存在n－1阶导数，并且n－1阶导数也是可导的，那么把f(n－1)(x)的导数称做函数f(x)的n阶导数，记做

f(n)(x)或y(n)

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数记做f″(x)，三阶导数记做f″(x)，三阶以上的高阶导数均记做f(n)(x).

例3.3.1设y=arctanx，求。

解

因为所以例3.3.2证明：函数满足关系式y3y″+1=0.

证因为

例3.3.3

求由方程xy－ex+ey=0所确定的y的导数

对于这样的问题，我们可以使用复合函数求导法则，直接对方程两边的自变量求导.

解方程两边对x求导，即解得由原方程知，x=0时，y=0.

所以

3.4函数的微分

3.4.1问题的提出

第一个问题:假设一个正方形金属薄片受热后，边长由

x0变到x0+Δx(图3.4.1)，那么它的面积改变了多少？

因为正方形的面积为

A=x02

所以

ΔA=(x0+Δx)2－x20=2x0·Δx+(Δx)2

图3.4.13.4.2微分的定义

定义3.4.1