2026山西高考适应性模拟考试数学+答案

2025—2026学年山西高考适应性模拟

数学试题

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={yly=e},集合B={x∈Z|x²—2x-3<0},则A∩B=

A.(一1,3)B.(0,3)C.{1,2}D.{0,1,2,3}

2.若复数z满足z(1+2i)=3—i,则复数z在复平面内所对应的点在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量a=(-3,1),b=(x,6),若a⊥b,则|2a+b|=

A.√5B.2√5C.3√5D.4√5

4.某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2,下底面圆的半径是上底面圆的半径的

2倍，体积为14π,则该圆台的母线长为

A.√3B.√5C.√7D.2√2

5.当直线l:mx+y-3=0(m∈R)与圆C:x²+y²—4x-16=0相交所得弦长最短时，实数

m的值为

ABD

6.若,2cosα+sinβ=√2,2sina-cosβ=-1,则

ABCD

7.已知函数∈R)的极大值点为x₁,且f(x₁)=f(x₂)(x₁≠

x₂),则

A.2x₁一x₂=0B.x₁—2x₂=0C.x₁+2x₂=0D.3x₁+x₂=0

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8.将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如“对勾函数

”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线

y=ax与y轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.现将双曲线

0,b>0)绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象.设C₂的离心率

为e,则下列结论正确的是

AB.点是C₂的一个顶点

C.C₁的方程为D.a=√3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知随机变量X～N(1,2²),P(X≥3)≈0.16,则

A.P(X≥1)=0.5B.P(-1<X<1)≈0.32

C.P(X≤-1)+P(X≤3)=1D.D(3X+1)=16

10.在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱AD的中点，则

A.B₁E⊥CD₁

B.点C₁到平面B₁CD₁的距离为

C.直线B₁E与平面B₁CD₁所成角的正弦值为

D.动点M在正方体内部或表面上，且EM//平面B₁CD₁,则动点M的轨迹所形成区域

的面积是

11.已知抛物线C:x²=my(m>0)的焦点为F(0,1),点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在抛物线上，

O为坐标原点，下列说法正确的是

A.若P(0,3),APLFP,则

B.若E(3,5),则△AEF周长的最小值为11

C.若A,F,B三点共线，且S△AOB=2√2,则|AF||BF|=4

D.若直线AB过G(0,一1),且x₂=3x₁+4,则sin∠AFB=sin2∠AFG

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(2+x)(1—x)⁴的展开式中x²的系数为

.

13.已知正项等比数列{an}的前4项和为90,,则a₁+a₂=

14.当x>0时,则实数a的最小值为

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)某校共有1000名高一学生，其中男生250人.为了解该校高一学生的数学学习

水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了100名学生进行调

查，分数分布在40～100分之间.将分数不低于80分的学生称为“优等生”.根据调查的结

果绘制的学生分数频率分布直方图如图.

(1)求实数a的值，并估计该样本中“优等生”的人数；

(2)若样本中属于“优等生”的男生有10人，完成下列2×2列联表；根据小概率值α=

0.01的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀(分数不低于80分)与性别有关?

频率

组距

不属于

0.053属于

合计

“优等生”“优等生”

男生

a女生

0.010

0.006合计

405060708090100成绩

附,n=a+b+c+d.

α0.10.050.010.001

T2.7063.8416.63510.828

16.(15分)已知函数f(x)=e⁻ˣ-ax-1,a∈R,g(x)=xlnx-x.

(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)令F(x)=f(x)一g(x),求函数F(x)在(0,十∞)上的零点个数.

17.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b²+c²—a²=12,△ABC的

面积为3√3.

(1)求角A;

(2)若△ABC外接圆的半径为2,判断△ABC的形状.

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18.(17分)在四棱锥M-ABCD中，平面MAD⊥平面ABCD,AB//DC,∠BAD=90°,

MA=MD,AB=4,CD=AD=2,0是线段AD的中点.

(1)证明：MO⊥BC.

(2)若二面角C一MB-0的平面角的余弦值为

①求线段OM的长；

②若E为线段MD的中点，点N在线段AM上，是否存在实数λ,使得当AN=λAM

(0≤λ≤1)时，EN//平面MBC?若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.

19.(17分)已知椭圆E:(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F,离心率为,且点

(2,√3)在椭圆E上，0为坐标原点.

(1)求椭圆E的标准方程.

(2)不过点A的直线l与椭圆E相交于M,N两点，点M在x轴上方，点N在x轴下

方.当直线l的斜率存在时，设直线l,AM,AN的斜率分别为k,k₁,k₂,则k(k₁+k₂)=

—3.

①证明：直线l恒过定点；

②设①中的定点为P,点G,H分别满足GN+GP+GF=0,OH=2HM,记△NHF的

面积为S₁,△MNG的面积为S₂,求的取值范围.

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2025—2026学年山西高考适应性模拟

数学参考答案及评分意见

1.C【解析】由题意，得A={yly>0},B={x∈Z|-1<x<3}={0,1,2},所以A∩B={1,2}.故选C.

2.A【解析】因为z(1+2i)=3—i,所以,则

所以z在复平面内所对应的点为,位于第一象限.故选A.

3.D【解析】因为向量a=(-3,1),b=(x,6),且a⊥b,所以—3x+6=0,解得x=2.

故2a+b=2(-3,1)+(2,6)=(-4,8),所以|2a+b|=√(-4)²+8²=4√5.故选D.

4.C【解析】如图，作出圆台的轴截面ABDC,设上底面圆O₁的半径为r,则下底面圆O₂的半径为2r,

所以圆台的体积为·,解得r=√3,所以母线AC的长是√4+3=√7.故选C.

5.B【解析】直线l:mx+y-3=0(m∈R)过定点N(0,3),

圆C:x²+y²—4x—16=0的标准方程为(x-2)²+y²=20,则圆心为C(2,0),半径为2√5.

当CN⊥l时，直线l与圆C相交所得弦长最短.因为

所以直线l的斜率为做,解得,故选B.

6.D【解析】因为2cosa+sinβ=√2,所以4cos²a+4cosasinβ+sin²β=2.①

又因为2sina-cosβ=-1,所以4sin²a—4sinacosβ+cos²β=1.②

①+②得4—4sin(a—β)+1=3.所以

又因为,所以,即

把代入2cosa+sinβ=√2中，得,则√3cosβ=√2,即

把代入2sina—cosβ=-1中，得,则√3sinβ=-1,即

所以.故选D.

7.C【解析】由函数,得f'(x)=ax²+2x=x(ax+2).

当a=0时，f(x)=x²+2,函数f(x)没有极大值点；更多试题与答案，关注微信公众号：三晋高中指南

当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为

,(0,+∞)

当a<0时，函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为

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若函数f(x)的极大值点为x₁,则a≠0,且.因为f(x₁)=f(x₂)(x₁≠x₂),

所以,整理得(

又因为f'(x₁)=ax²+2x₁=0,所!

整理得x²+x₁x2-2x²=0,即(x₁一x₂)(x₁+2x₂)=0,所以x₁+2x₂=0.故选C.

8.C【解析】对于A,“对勾函数图象的渐近线为直线与y轴.

由题意知双曲线C₂的离心率与双曲线C₁的离心率相等，所以双曲线C₁的渐近线倾斜角为,由渐近线方程得

.所以双曲线C₂的离心率,故A错误.

对于B,双曲线的两条渐近线分别为直线x=0和

所以双曲线C₂的实轴方程为y=√3x与方程联立，得

故双曲线C2的两个顶点为

所以双曲线C2的实轴长为2a=2√6,即a=√6,故B,D错误，

由a=√6,,c²=a²+b²,得b=√2,故双曲线C,的方程,故C正确.故选C.

9.AC【解析】因为随机变量X～N(1.2²),所以正态曲线关于直线x=1对称，

所以P(X≥1)=0.5,故A正确；

因为P(X<1)=0.5,且P(X≥3)=P(X≤-1)≈0.16,

所以P(-1<X<1)=P(X<1)-P(X≤-1)≈0.5—0.16=0.34,故B错误；

P(X≤-1)+P(X≤3)=P(X≥3)+P(X≤3)=1,故C正确；

D(3X+1)=9D(X)=36,故D错误.故选AC.

10.ABD【解析】以点D为坐标原点，DA,DC,DD₁所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系.

则B₁(1,1,1),C(0,1,0),D₁(0,0,1),C₁(0,1,1),E

对于A,因,所以B₁E·CD₁=1-1=0,则B₁E⊥CD₁,故A正确.

对于B,设平面B₁CD₁的法向量为m=(x,y,z).因为CB₁=(1,0,1),CD{=(0,—1,1),

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所以令x=1,则y=-1,z=-1,所以m=(1,—1,—1).

因为CC₁=(0,0,1),所以点C₁到平面B₁CD₁的距离,故B正确.

对于C,设直线B₁E与平面B₁CD₁所成角为θ.更多试题与答案，关注微信公众号：三晋高中指南

,平面B₁CD₁的法向量m=(1,-1,—1),

所以,故C错误.

对于D,如图，设AB,AA₁的中点分别为点F、点G,连接EF,EG,FG,则EF//B₁D₁,EG//B₁C.

因为EF,EGC平面B₁CD₁,B₁D₁,B₁CC平面B₁CD,

所以EF//平面B₁CD₁,EG//平面B₁CD₁.又EF∩EG=E,EF,EGC平面EFG,

所以平面EFG//平面B₁CD₁,故点M的轨迹为△EFG.

因为,所以,故D正确.故选ABD.

11.BD【解析】抛物线C:x²=my(m>0)的焦点为,由题意得,解得m=4.

对于A,如图，设点A在第一象限，由P(0,3),AP⊥FP,得A(2√3,3).

在Rt△APF中，因为,则

所以,故A错误.

对于B,抛物线C的焦点为F(0,1),过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为Q.

△AEF的周长为|AE|+|AF|+|EF|=|AE|+|AQI+|EF|.

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当A,E,Q三点共线时，△AEF的周长取得最小值，最小值为|EQl+|EF|=6+5=11,故B正确.

对于C,设直线AB的方程为y=kx+1.

由消去y,得x²—4kx-4=0,则△=(一4k)²+16=16k²+16>0,所以x₁+x₂=4k,x₁x₂=-4.

所以|x₁-x₂l=√(x₁+x₂)²-4x₁x2=4√k²+1.

所以,解得k²=1.

所以|AF||BF|=(y₁+1)(y₂+1)=(kx₁+2)(kx₂+2)=k²x₁x₂+2k(x₁+x₂)+4

=-4k²+2k·4k+4=4k²+4=8,故C错误.

对于D,设过点G(0,—1)的直线AB的方程为y=kx-1.

联立消去y,得x²—4kx+4=0,则△'=(一4k)²-16=16k²—16>0,解得k>1或k<-1,

所以x₁x2=4.

将x₂=3x₁+4,代入得x₁(3x₁+4)=4,即3x}+4x₁-4=0,解得或x₁=-2.

当x₁=-2时，x₂-2,此时A与B重合，舍去；

当则

时，x₂=6,则,B(6,9),,FB=(6,8).

因为,所以

,FG=(0,一2),,所以

所以sin∠AFB=sin2∠AFG,故D正确.故选BD.

12.8【解析】(2+x)(1-x)⁴=2(1-x)⁴+x(1-x)⁴的展开式中，含x²的项为2C}(一x)²×1²+xC}(-x)×

1³=8x²,所以(2+x)(1-x)⁴的展开式中x²的系数为8.

13.72【解析】设等比例{an}的公比为q,则q>0.由题意，

得a₁+a₂+a₃+a₄=a₁+a₂+q²(a₁+a₂)=(a₁+a₂)(1+q²)=90,

,两式相除，得解得(负值已舍去).所以a₁+a₂=72.

【解析】由题意，原不等式可化为x+Inx≤axe²=ae+x.

令t=x+Inx,则t∈R,显然e>0,原不等式可化为

令,则,当t<1时，f'(t)>0,当t>1时，f'(t)<0,

所以函数f(t)在(一∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减.

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又因为当t<0时，f(t)<0,当t=0时，f(t)=0,当t>0时，f(t)>0,

所以,所以,即实数a的最小值为-

15.解：(1)由频率之和为1,得(0.053+a+0.010+3×0.006)×10=1,解得a=0.019.……2分

属于“优等生”的有(0.19+0.06)×100=25人.…………………3分

(2)由题意，样本中男生有人，则女生有100—25=75人.

属于“优等生”的男生有10人，则属于“优等生”的女生有25—10=15人.……5分

不属于“优等生”的男生有25—10=15人，不属于“优等生”的女生有75-15=60人.………7分

所以得到2×2列联表如下：

属于“优等生”不属于“优等生”合计

男生101525

………9分

女生156075

合计2575100

零假设H₀:这次成绩是否优秀与性别无关.

,…………11分

根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H。成立.

所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.……………13分

16.解：(1)由题意，f(x)=e⁻+x-1,则f'(x)=-e²+1,

∴f'(O)=-1+1=0,f(0)=1+0-1=0.……………3分

∴曲线y=f(x)在点(0,f(O))处的切线方程为y=0.……………5分

(2)由题意，F(x)=f(x)-g(x)=e⁻×-ax-1-xlnx+x,x∈(0,十∞).

令F(x)=0,则

令函数,则函数F(x)的零点个数即直线y=a与函数y=h(x)的图象的交点个数.

…………………………7分

令φ(x)=1-x—(x+1)e⁻²,x≥0,则φ'(x)=-1-e⁻¹+(x+1)e⁻=-1+xe⁻.…………9分

令m(x)=-1+xe⁻ˣ,则m'(x)=e⁻¹(1-x).当x<1时，m'(x)>0;当x>1时，m'(x)<0,

∴m(x)在x=1处取得极大值，也是最大值.,∴m(x)<0,∴φ'(x)<0恒成立.……12分

∴φ(x)在(0,十∞)上单调递减，且φ(0)=0.

∴当x>0时，φ(x)<0,∴h’(x)<0,则h(x)在(0,十∞)上单调递减.………14分

∵当x→0+时，h(x)→+∞,当x→+∞时，h(x)→-∞,

∴直线y=a与函数h(x)的图象有且只有一个交点，即函数F(x)在(0,十∞)上只有一个零点.……15分

17.解：(1)由余弦定理，得b²+c²-a²=2bccosA=12①,

由三角形的面积公式，得-A=3√3②.……………………2分

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②÷①,得,即tanA=√34分

由A∈(0,π),得

(2)由题意，得△ABC外接圆的直径为4,则由正弦定理，

所以,c=4sinC,b=4sinB.…………………7分

因为△ABC的面积为3√3,

,化简得.③……………9分

因为b²+c²—a²=12,所以16sin²B+16sin²C-12=12,

化简得.④……………………11分

因为(sinB+sinC)²-2sinBsinC=sin²B+sin²C,所以由③④,得(sinB+sinC)²=3,

所以sinB+sinC=√3.⑤………………………12分

由③⑤解得,所以,所以△ABC是等边三角形.…………15分

18.(1)证明：在△MAD中，∵MA=MD,O是线段AD的中点，∴MO⊥AD.………………1分

∵平面MAD⊥平面ABCD,平面MAD∩平面ABCD=AD,MOC平面MAD,∴MO⊥平面ABCD.

又∵BCC平面ABCD,∴MO⊥BC3分

(2)解：①取BC的中点F,连接OF,则OF//DC,OFIAD.由(1)可知，MO⊥AD,MO⊥平面ABCD.

∵OFC平面ABCD,∴MO⊥OF.即OD,OF,OM两两互相垂直.

以点O为坐标原点，OD,OF,OM所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设OM=h.∵AB=4,CD=AD=2,∴O(0,0,0),B(-1,4,0),C(1,2,0),M(0,0,h),D(1,0,0),A(-1,0,

0),则BC=(2,-2,0),MC=(1,2,—h),OB=(-1,4,0),OM=(0,0,h).………………5分

设平面MBC的法向量为n₁=(x₁,y₁,z1),

则即令x₁=1,则……7分

设平面OMB的法向量为n₂=(x₂,y₂,22),

则即令y₂=1,则x₂=4,z2=0,∴n₂=(4,1,0).……………9分

·,n₂=(4,1,0),∴

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设二面角C—MB-O的平面角为α,

.………………11分

解得h=3,即OM=312分

②假设实数λ存在，设点N(xo,yo,2。),则AN=(x。+1,y,zo),AM=(1,0,3).

由AN=λAM,得则…………………14分

由M