2025-2026学年山西大学附属中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山西大学附属中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.AB+CE−A.BE B.AE C.−BE D.2.下列说法正确的是(

)A.若a=b，则a//b B.|a|>|b|，则a>b

C.若a//b，且3.在△ABC中，a=2，b=2，∠A=π4，则A.π3 B.π6 C.π6或5π6 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosAa+cosBb=A.13 B.3 C.1 5.在△ABC中，cosB=223，AC=2，AB=m，则“△ABC恰有一解”是“0<m≤2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知i为虚数单位，如果复数z满足|z+2i|+|z−2i|=4，那么|z−1|的最小值是(

)A.1 B.2 C.2 D.7.记△ABC的面积为S，△ABC的外接圆半径为1，且S=sin2A+sin2A.π4 B.π3 C.2π38.在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B=23AB，且对于边AB上任一点P，恒有A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1=5−8i，z2=9iA.z2是纯虚数 B.z1z2在复平面内对应的点位于第二象限

C.10.已知向量a=(1,3)，bA.若a⊥b，则tanα=−33

B.若a//b且α∈(0,π)，则α=π3

C.|a−b|的最大值为2

11.已知锐角△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠B=π6，c=2，则下列结论正确的是(

)A.∠C的取值范围为(π3,π2)

B.△ABC外接圆半径的范围为(1,233三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。12.已知a=(1,2)，b=(1,λ)，若a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．13.如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=3，BD⊥BC，BC=3BD，若∠BAD=23π，则四边形四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题5分)

在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=______．15.(本小题13分)

已知向量a=(1,2)，b=(−2,3)．

(1)求2a+3b；

(2)求(a+16.(本小题15分)

如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，AD=23，CD=2，AB=4，F为BC的中点，点E满足DE=λDC，λ∈[0,1]．

(1)用AB与AD表示AF；

(2)求17.(本小题15分)

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC．

(1)求A的值；

(2)点D是BC边上一点，且BD=2DC18.(本小题17分)

在△ABC中，P在线段BC上，满足2BP=PC，O是线段AP的中点．

(1)过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F(如图1)，设EB=λAE，FC=μAF．

(ⅰ)求证：2λ+μ为定值；

(ⅱ)设△AEF的面积为S1，△ABC的面积为S2，求S1S2的最小值．

(2)延长CO交AB19.(本小题17分)

定义：设O为坐标原点，若非零向量OM=(a,b)，函数f(x)的解析式满足f(x)=asinx+bcosx，则称f(x)为OM的伴随函数，OM为f(x)的伴随向量．

(1)若向量OM为函数f(x)=2sin(x+π3)的伴随向量，求OM的坐标；

(2)若函数f(x)为向量OM的伴随函数，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(C)恰好为函数f(x)的最大值．

(ⅰ)若OM=(24,7)，∠ACB的角平分线交AB于点D，c=2，求CD的最大值；

(ⅱ)若OM=(3参考答案1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】(−113.【答案】94+214.【答案】−115.(1)因为a=(1,2)，b=(−2,3)，

所以2a+3b=(−4,13)；

(2)因为a=(1,2)，b=(−2,3)，

所以a2=|a|2=5,b2=|b|2=13，

所以(a+b)⋅(a−b)=a2−b2=5−13=−8；

(3)因为a=(1,2)，b=(−2,3)，

所以cos〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=−2+65×13=46565．

16.(1)在直角梯形ABCD中，AB//CD，CD=2，AB=4，F为BC的中点，

∴AF=12(AC+AB)=12(AD+12AB)+12AB=34AB+12AD．

(2)由DE=λDC，得AE=AD+DE=AD+λ2AB，

由AD⊥AB，得AD⋅AB=0，

∴AE⋅AF=(AD+λ2AB)⋅(12AD+34AB)=12AD2+3λ8AB2=6+6λ，而λ∈[0,1]，

∴AE⋅AF的取值范围是[6,12]．

17.解：(1)由(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC结合正弦定理得：(b−c)2=a2−bc，

即b2+c2−bc=a2，即b2+c2−a2=bc，

由余弦定理可得b2+c2−a2=2bccosA，

可得cosA=12，

因为A∈(0,π)，

所以A=π3；

(2)因为BD=2DC，AD=4，

可得AD−AB=2(AC−AD)，

即AD=13AB+23AC，

两边平方可得：AD2=19AB