人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册第八章成对数据的统计分析章末复习课

章末复习课

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数值

变后

成

对

数

据

分类

变量

一、线性回归分析

1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的•种常用方法.其基本步骤为通过

散点图和经验选择经验回归方程的类型，然后通过一定的规则确定出相应的经验回归方程，

通过一定的方法进行检验，最后应用于实际或对预报变量进行预测.

2.主要培养数学建模和数据分析的素养.

例1某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地

区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机拍样的

方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据3,y)(i=l,2,…，20),其中为和》分别表示

2020

第，•个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得£*=60,1)7=1

/-I；-!

20__

200,)2=80,

20_20__

Z⑴一y)2=9000,Z(Xi-X)(37-y)=800.

r=lf=l

⑴求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数最的估计值等于样区这种野生动物

数量的平均数乘以地块数)：

⑵求样本(如＞',)(/-1,2,20)的相关系数(精确到0.01)；

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区

这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

Z(斯一x)8-y)

1=1

附：样本相关系数r=

A।T)2Z(>7--)2

\l产i尸i

啦F.414.

—I20

解⑴由已知得样本平均数为y=60,

fl

从而该地区这种野生动物数量的估计值为

60X200=12000.

(2)样本(为，羽(i=1,2,…，20)的相关系数为

20__

Z(刘一x)(y—>')

二800

‘一降_20Z__.80X9000

”/Z(Xi-X)2X(V|-)2

\l尸1尸I

=芈比0.94.

(3)分层随机抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层随机抽样.

理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关关系.由于各

地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层随机

抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获

得该地区这种野生动物数量更准确的估计.

反思感悟解决回归分析问题的一般步骤

(1)画散点图.根据已知数据画出散点图.

⑵判断变量的相关性并求经验回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关

关系,在此基础上，利用最小二乘法求,a,然后写出经验回归方程.

(3)回归分析.画残差图或计算产，进行残差分析.

(4)实际应用.依据求得的经验回归方程解决实际问题.

跟踪训练1如图给出了根据我国2012年〜2018年水果人均占有量)，(单位：kg)和年份代码

x绘制的散点图和经验回归方程的残差图(2012年〜2018年的年份代码x为1〜7).

(

曼我国2。12年~2。18年水果人均占有常散点图

、

■

，

>.1•»(

学

=，-7(f

-仪

、3)

4

、.

▲—-/

、

-KZ—

一-4(

Y12—3—4—5―6—海布代码》

32(

2我国2012年~2018年水果人均占有该残差图

1

••

1-12S5S67-

^4

代码x

(1)根据散点图分析y与x之间的相关关系；

77

(2)根据散点图相应数据计算得»，,=1074,£\m=4517,求y关于x的经验回归方程(精确

产1产I

到0.01)；

(3)根据经验回归方程的残差图，分析经验回归方程的拟合效果.

附：经验回归直线;，=：+&中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

〃一一

EQL%)()Ly)

AJ=1AA_

b=------------------------，a=y~bx.

f(x/-T)2

尸1

解(1)根据散点图可知)，与X呈正线性相关.

(2)由所给数据计算得x=1x(l+2H----F7)=4,

7__7_____

E(为一”)(，一y)%»一〃xy

人j=[j=]221

b=-----------------=-;----------7.893,

ZU-T)2条一口

/=1i=\

A—A—1074

a=y-bx—7.893X4&121.86.

A

故所求经验回归方程为y=7.89%+121.86.

(3)由题中给出的残差图知历年数据的残差均在一2到2之间，说明经验回归方程的拟合效果

较好.

二、独立性检验

I.独立性检验研究的问题是有多大把握认为两个分类变量之间有关系.为此需先列出2X2

列联表，从表格中可以直观地得到两个分类变量是否有关系.另外等高堆积条形图能更直观

地反映两个分类变量之间的情况.独立性检验的思想是可以先假设二者无关系，求随机变量

/的值，若/大于临界值，则拒绝假设，否则，接受假设.

2.通过计算z2的值，进而分析相关性结论的可信程度，提升数学运算、数据分析的素养.

例2为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查

了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：咯■3),得下表:

K0,502(50,1503(150,4752

PM2.5

K0,35332184

(35,7536812

(75,115J3710

(1)估计事件“该市一天空气中PM”浓度不超过75,且S02浓度不超过150”的概率;

(2)根据所给数据，完成下面的2X2列联表：

EO.15O2(150,4752

PM2.5

[0,753

(75,1153

⑶根据(2)中的列联表，依据小概率值a=0.010的独立性检验，分析该市一天空气中PM”

浓度与SO2浓度是否有关.

----n(ad-bc)2----

丁(a+b)(c-\~d)(a+c)(h+d)

解(1)由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150

的天数为32+6+18+8=64,

所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150的概率的估计值为6蒜4

=0.64.

(2)由所给数据，可得2X2列联表:

COJ5O2(150,4753

PM2.5

[0,751]6416

(75,11521010

⑶零假设为Ho：该市-天空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关.

根据列联表中数据，经计算得到

1________—c)2____________

工(a+/?)((-+d)(a+c)(b+d)

100X(64X10-16X10)2

=-80X20X74X26-

=7.484>6.635^xo.oio,

根据小概率值a=0.010的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为该市一天空气中PM”

浓度与S02浓度有关.

反思感悟独立性检验的一般步骤

①根据样本数据制成2X2列联表；

②根据公式片=计算Z2的值；

人(/a+b」)(坐c~r£cl:)(”a2+；c)(b4+■小d)A

③查表比较Z2与临界值的大小关系，作出统计判断.

跟踪训练2考察小麦种子灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表:

种子灭菌种子未灭菌合计

黑槐病26184210

无黑穗病50200250

合计76384460

试分析依据小概率值1=0.05的独立性检验，能否据此推断种子灭菌与小麦发生黑穗病有

关？

解零假设“0：种子灭菌与小麦发生黑穗病无关.

由列联表的数据可得

、460X(26X200-184X50)22-c

支=76X384X210X250^4,804>3,841=.r005‘

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断为不成立，可以认为种子灭菌与小麦发生黑

穗病有关系.

三、数形结合思想在独立性检验中的应用

1.数形结合思想就是在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数信息，利用数

量特征，将其转化为代数问题；在进行回归分析时.，常利用散点图、残差图等说明线性相关

情况或模型的拟合效果.在独立性检验中，我们常用等高堆积条形图直观地反映数据的情况,

从而可以粗略地判断两个分类变量是否有关系.

2.主要培养数学抽象和数学运算的素养.

例3某机构为了了解患色盲是否与性别有关，随机抽取了1000名成年人进行调查，在调查

的480名男性中有38名患色盲，520名女性中有6名患色盲，分别利用图形和独立性检验(a

=0.001)的方法来判断患色盲与性别是否有关.

解根据题目所给的数据作出如下的列联表：

色盲

性别合计

患色盲未患色盲

男38442480

女6514520

合计449561000

根据列联表作出相应的等高堆积条形图，如图所示.

■患色自

口未患色仃

男

图中两个深色条的高分别表示男性和女性中患色盲的频圣，从图中可以看出，男性中患色盲

的频率明显高于女性中患色盲的频率，因此我们可认为患色盲与性别有关.零假设为Ho：患

色盲与性别无关.

根据列联表中所给的数据，得

,1000X(38X514—442X6)2

工=-480X520X44X956

27.139>10.828=AO.(X)I,

根据小概率值。=0.001的独立性检验，推断为不成立，即认为患色盲与性别有关，此推断

犯错误的概率不超过0.001.

反思感悟解独立性检脸的应用问题的关注点

(1)两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题：

(2)两个准确：①准确画出2X2列联表；②准确理解

跟踪训练3电视传媒公司为了解某地区电视观众对•某类体育节目的收视情况，随机拍取了

100名观众进行调查.如图所示的是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频

率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

(1)根据已知条件完成下面的2X2列联表，据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷体育迷合计

男

女1055

合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每

次抽取I名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结

果是相互独立的，求X的分布列，均值E(X)和方差O(X).

-----〃(照二垣2--------------

叫・Xm+3(c+")(“+c)3+c/)

a0.050.01

Xa3.8416.635

解(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，"体育迷'’有25人，从而2X2列联表

如下：

非体育迷体育迷合计

男301545

女451055

合计7525100

零假设为庆：“体育迷”与性别无关.

将2X2列联表中的数据代入公式计算，得

1________〃(〃"一反)2______

彳(a+〃)(c+J)(q+c)3+d)

100X(30X10-45X15)21QQ

75X25X45X55-=13

;5：;3.030<3.841=Xo.O5,

根据小概率值。=0.05的独立性检验，没有充分证据推断Ho不成立，即认为“体肓迷”与性

别无关.

(2)由频率分布直方图，知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率，即从观众中抽取

一名“体育迷”的概率为1.由题意知X〜43,从而X的分布列为

X0123

272791

P

64646464

13139

E(X)=3X-=-,D(X)=3X-X-=—

四、化归与转化思想在非线性回归分析中的应用

1.转化与化归思想主要体现在非线性同归分析中.在实际问题中，并非所有的变量关系均满

足线性关系，故要选择适当的函数模型去拟合样本数据，再通过代数变换，把非线性问题线

性化.

2.主要培养数学建模和数学运算的素养.

例4某机构为研究某种图书每册的成本费M单位：元）与印刷数量M单位：下册）的关系，收

集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.

51()1520253()35404550

印制数fih/T明

8_8-

Eu—x)E(〃L〃)

文(为

71=1Z(小一〃)2i=l

r=li=l

♦GLy)•GLJ)

15.253.630.2692085.5-230.30.7877.049

|——18

表中的=二，W=QZ〃i.

Xi5.=i

⑴根据散点图判断），=〃+屉与y=c+=哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费M单位：

元）与印刷数量M单位：千册）的经验回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由）

（2）根据（I）的判断结果及表中数据，建立），关于x的经验回归方程（回归系数的结果精确到

0.01）.

⑶若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78840元？

（假设能够全部售出.结果精确到I）

AAA

附：对于i组数据（0,”1）,（初，“2），…，®”，/），其经验回归直线。=a+』cu的斜率和截

n___

E（劭——◎）（叨­。）

距的最小二乘估计分别为%=------------------，a=u—pco.

£（coi-co）2

解（1）由散点图判断，y=c+,更适合作为该图书每册的成本费），（单位：元）与印刷数量M单

位：千册）的经验回归方程.

（2）令〃=占先建立），关于〃的经验回归方程,

£(w,­u)(»-y)

八/=,7()49

由于4=-----------------------------记七8.96,

8__U./o/

E(由一〃)2

1=1

A__A

所以C=7一力丁=3.63-8.96X0.269^1.22,

A

所以)，关于“的经验回归方程为)，=1.22+8.96〃，

所以)，关于x的非线性经脸回归方程为;=1.22+&台.

⑶假设印刷x千册，依题意得10.1—(1.22+生患)278.84(),所以.仑1(),所以至少印刷10000

册才能使销售利润不低于78840元.

反思感悟可线性化的回巨分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点图拟合得最好的

函数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，月线性回归模型拟合.

跟踪训练4光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能宜接转化为电能.近匚年在

国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如表：

年份20112012201320142015201620172018

年份代码X12345678

新增光伏装机

0.40.81.63.15.17.19.712.2

量y兆瓦

某位同学分别用两种模型：①尸加+。；②产公+c进行拟合，得到相应的经验回归方程并

进行残差分析，残差图如下(注：残差等于8一；)：

残差

888g

经过计算得力(即一x)(y,—y)=72.8,£(xf—x尸=42,£(t—t)8—y)=686.8,£(L

__]8

t)2=3570,其中ti=xr，t

尸1

(1)根据残差图，比较模型①、模型②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理日；

(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立)，关于x的经验回归方程，并预测该地区2021年新增

光伏装机量是多少？（在计算回归系数时精确到0.01）

〃____

Z（Xi-x）仍-y）

A1A____A

参考公式：b=-----------------,a=y-hx.

Z（即一x）2

i=l

解（1）选择模型①.

理由如下：

根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值比较相近，模型②的残差值相对较大一些，

所以模型①的拟合效果相对较好.

（2）由（1）可知，），关于"的率线性经验回归方程为;=/『十；

AAA

令,贝物=/"+4

由所给数据可得

_18I

t=皆产针（1+4+9+16+25+36+49+64）

=25.5,

—18I

y=抖产针（0.4+0.8+1.6+3.1+5.1+7.1+9.7+12.2）=5,

尸】

8__

E（4一/）8—y）

叱"_2_______________686.8…

所以沙=；二=访5~0।%

Z（L/）2

J=l

A____A

所以。=亍~h~^5-0.19X25.5^0.16,

所以），关于x的非线性经验回归方程为;=0.19f+0.16,

预测该地区2021年新增光伏装机量为

A

y=O.I9XI尸+o.6=23.乃（兆瓦）.

随堂演练

1.如图所示的是一组观测值的四个线性回归模型对应的残差图，则对应的线性I可归模型的拟

合效果最好的残差图是（）

残差

…：30

少:*:哈蜜哓辛•・2()

箕.场孕盏巫样本编号10

••,0

B

D

K答案HA

R解析X因为残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，故选

A.

2.两个分类变量X和V,值域都为｛()』｝,其样本频数分别是。=10,人=21,c+d=35.依据

小概率值a=0.025的独立性检验，认为X与V有关系，则c等于()

A.3B.4C.5D.6

附:

a0.050.025

3.841