人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册第八章成对数据的统计分析教学设计3：章末复习课

章末复习课

知识网络

最小二

经脸回

归方程

成

对

数

据

分类

变量

教学突破

一、变量的相关性

1.变量的相关关系与样本相关系数是学习一元线性回归模型的前提和基础，前者可借助散

点图从直观上分析变量间的相关性，后者从数量上准确刻化了两个变量的相关程度.

2.在学习该部分知识时，体会直观想象和数学运算的素养.

例1.下列两个变量之间的关系是相关关系的为()

A.正方体的体枳与棱长的关系

B.学生的成绩和体重

C.路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少

D.水的体积和重量

R答案》C

R解析》A中，由正方体的棱长和体积的公式知，V=/(a>0),是确定的函数关系，故A

错误；

B中，学生的成绩和体重：没有关系，故B错误；

C中，路上酒后驾驶的人数会影响交通事故发生的多少，但不是唯一因素，它们之间有相关

性，故C正确；

D中，水的体积V和重量％的关系为是确定的函数关系，故D错误.

反思感悟变量相关性的判断的两种方法

⑴散点图法：直观形象.

⑵公式法：可用公式精确计算，需注意特殊情形的样本相关系数.如点在一条直线上，M

=1,且当/*=1时，正相关；r=—1时，负相关.

跟踪训练1.有以下五组变量：

①某商品的销售价格与销售量；

②学生的学籍号与学生的数学成绩：

③坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；

④气温与冷饮销售量；

⑤电瓶车的重展和行驶每千米的耗电最.

其中两个变量成正相关的是（）

A.①③B.②④

C.②⑤D.④⑤

K答案』D

K解析》对于①，一般情况下，某商品的销售价格与销售量成负相关关系；对于②，学生

的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；对于③，一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与

患胃病的人数成负相关关系；对于④，一般情况下，气温与冷饮销售量成正相关关系；对于

⑤，一般情况下，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系.综上所述，其中两个

变量成正相关的序号是④©.

二、一元线性回归模型及其应用

1.该知识点是具有线性相关关系的两变量的一种拟合应用，口的是借助函数的思想对实际

问题做山预测和分析.

2.主要培养数学建模和数据分析的素养.

例2.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份20102012201420162018

需求量（万吨）236246257276286

（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程;=:+：

（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地2020年的粮食需求量.

解：（1）由所给数据看出，把年份看作点的横坐标，对应的需求量看作点的纵坐标，画出散

点图草图（图略），通过观察知这些点大致分布在一条直线附近，下面求回归直线方程，为此

对数据预处理如下：

年份一2014-4-2024

需求量一257-21-1101929

对预处理后的数据，容易算得工=0,y=3.2,

人(-4)x(—21)+(—2)x(—11)+2x19+4x29—5x0x3.2260

b=(-4>+(—2)2+22+42—5x()2=而=6.5

A_A_

ci—y-bx=3.2,

由上述计算结果，知所求回归直线方程为

、一257="彳-2012)+。=6.5。-2012)+3.2,

即y=6.5(x-2012)+260.2.(*)

⑵利用直线方程(*),可预测2020年的粮食需求量为6.5x(2018-20⑵+260.2=6.5x6+260.2

=299.2(万吨).

反思感悟解决回归分析问题的一般步骤

(1)画散点图.根据已知数据画出散点图.

(2)判断变量的相关性并求经验回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相

关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出经验回归方程.

(3)回归分析.画残差图或计算进行残差分析.

⑷实际应用.依据求得的经验回归方程解决实际问题.

跟踪训练2.测得某国10对父子身高(单位：英寸)如卜.：

父亲身高(x)6062646566

儿子身高G)63.665.26665.566.9

父亲身高(x)6768707274

儿子身高G)67.167.468.370.170

⑴画出散点图；

⑵如果)，与x之间具有线性相关关系，求回归方程；

⑶如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高.

解：⑴

儿子身高/英寸

71-

70-•・

69-

68-.,

67-•,

66-・.

65-♦

64-：

63586062646668707274父亲身高/英寸

⑵从散点图看出，样本点散布在•条直线附近，因此两个变量呈线性相关关系.

设回归方程为>=法+%

A-=66.8,y=67.01,

__10

x2=4462.24,)，2^490,34,£x?=44794,

i-1

1010

Z)#=44941.93,2>y=44842.4,

10____

2＞小一10xy

-44842.4-44762.6879.72,

由人二、^^Z44794-44622.4=171.6^0,4646

Zx?—10(1)2

a=y-bx=67.01-0.4646x66.8=35.97.

故所求的问归方程为;=0.4646.v+35.97.

A

⑶当x=73时，j=0.4646x73+35.97X9.9.

所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸.

三、非线性经验回归方程

1.在实际问题中，并非所有的变量关系均满足线性关系，故要选择适当的函数模型去拟合

样本数据，再通过代数变换，把非线性问题线性化.

2.体现数学建模的优劣，提升数据分析的素养.

例3.下表为收集到的一组数据：

X21232527293235

y711212466115325

⑴作出x与)，的散点图，并猜测x与)，之间的关系；

(2)建立x与y的关系，预报I可归模型并计算残差；

⑶利用所得模型，预报％=40时y的值.

解：(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可

以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线)，=c02r的周围，其中口，C2为待定的参数.

350-

300.*

250-

200-

150-

100-

50-.・.

()1•1・11111111.

2()222426283032343638#

⑵对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z=lny,则有变换后的样本点应分布在直线z

=云+小〃=lnCL/?=C2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性

回归方程，数据可以转化为：

X21232527293235

z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784

求得回归直线方程为Z=0.272Y—3.849,

A

•••)—e0.2721-3.849・

残差列表如下：

y7II212466115325

A

yi6.4431110119.12532.95056.770128381290.325

A

et0.557-0.1011.875-8.9509.23-13.38134.675

⑶当x=40时，y=eomr-3-849~H31.

反思感悟非线性经验回归方程的求解策略

(1)本例中，y与x不是线性相关关系，但通过仍=立,，转换为卬与)，的线性相关关系，从

而可利用线性回归分析间接讨论y与x的相关关系.

⑵可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点图拟合得最好的函数模

型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合.

跟踪训练3.某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验,

得到的数据如下：

零件的个数x(个)2345

加工的时间y(小时)2.5344.5

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;

(2)求出)，关于x的线性回归方程：=羡+；并在坐标系中画出回归直线;

(3)试预测加工10个零件需要多少小时？

n---

A/=lA-A—

(注：b=------------,a=y-bx)

26一〃”

解：(1)散点图如图.

(2)由表中数据得：£卬=52.5,

1=1

——4

x=3.5,y=3,5,£r?=54,

ri

AA

b=0.19••a=1.05,

，y=0.7x+1.05,回归直线如图所示.

殖

(3)将x=10代入线性回归方程，

A

Wy=0.7xl0+1.05=8.05,

故预测加工10个零件约需要8.05小时.

四、独立性检验

1.主要考查根据样本制作2x2列联表，由2x2列联表计算/,查表分析并判断相关性结论

的可信程度.

2.通过计算z2值，进而分析相关性结论的可信程度，提升数学运算、数据分析素养.

例4.随着生活水平的提高，人们患肝病的越来越多，为了解中年人患肝病与经常饮酒是否有

关，现对30名中年人进行了问卷调查得到如下列联表：

常饮酒不常饮酒合”

患肝病2

不患肝病18

合计30

4

已知在全部30人中随机拍取1人，抽到肝病患者的概率为方.

(I)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关？说明

你的理由；

(2)现从常饮酒且患肝病的中年人(恰有2名女性)中，抽取2人参加电视节则正好抽到一

男一女的概率是多少？

参考数据：

尸(心泌)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：(1)设患肝病中常饮酒的人有x人，寸x+2==4，x=6.

常饮酒不常饮酒合计

患肝病628

不患肝病41822

合计1()2030

由已知数据可求得

30x(6x18—2x4)2

2

K=­]()X2()X8X22困523>7.879,

因此有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关.

(2)设常饮酒且患肝病的男性为A,B,C,D,女性为E,F,则任取两人有(A,B),(A,C),

(A,£>),(A,E),(A,F),(8,O，(B,。)，(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),

(。，E),(D,F),(E,F),共15和I且每种发生的概率是相等的.其中一男一女有(A,E),

(A,F),(3,E),(B,F),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),共8种.故抽出一男一女的

Q

概率是2=正.

反思感悟独立性检验问题的求解策略

⑴等高堆积条形图法：依据题H信息画出等高堆积条形图，依据频率差异来粗略地判断两

个变量的相关性.

(2)通过公式/7+力(当然先计算再与临界值表作比较，最后得出结论.

跟踪训练4.考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表

所示：

种子灭菌种子未灭菌合计

黑穗病214175389

无黑穗病4515971048

合计6657721437

能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为种子灭菌与小麦黑穗病有关系？

解：提出假设“0：假设种子灭菌与黑穗病没有关系.根据列联表中的数据知，

“=214,方=175,c=45I,d=597,a+b=389,c+d=l048,。+。=665,b+d=772,n

=1437,

代入公式求得

i________—c）2____________

'（a+b）（c+（I）（a+c）（b+d）

I437x（214x597—175x451产

=389x1048x665x772~16.373,

由于16.373>10.828,所以能够在犯错误的概率不超过0.001的条件下，认为种子灭菌与小

麦黑穗病有关系.

当堂检测

I.每一吨铸铁成本），（元）与铸件废品率.r%建立的经验回归方程为;=56+8.r,下列说法正确的

是（）

A.废品率每增加1%,成本每吨增加64元

B.废品率每增加1%,成本每吨增加8%

C.废品率每增加1%,成本每吨增加8元

D.如果废品率增加1%,则每吨成本为56元

K答案1C

2.对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是（）

A.都可以分析出两个变量的关系

B,都可以用一条直线近似地表示两者的关系

C.都可以作出散点图

D.都可以用确定的表达式表示两者的关系

K答案Uc

R解析）］给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，故C正确；但不一定能分析出两

个变量的关系，故A错误；更不一定符合线性相关，不一定能用一条直线近似的表示，故B

错误；两个变量的统计数据不一定具有函数关系，故D错误.

AA

3若一组观测值（xi,yi）,gJ2），...»为）之间满足,产〃.W+。+g"=1,2,…，叫且

6=0,则改为.

K答案》1

AA

K解析》由6=0,知％=）力即父一9=0,

tGLM）2

产1

故/?2=1_----------=1-0=1.

L（J7-yy

J=I

A

4.已知一个经验回归方程为y=1.5x+45,x£{1,5,7,13,19},则亍=.

R答案H58.5

…品…—1+5+7+13+19;

K解析X*/x=---------------=%且N=L5X+45,

，亍=1.5x9+45=58.5.

5.对某台机器购置后的运营年限Mx=l,2,3,…）与当年利润），的统计分析知具备线性相关关

系,经验回归方程为；-10.47—1.3工，估订该台机器使用年最合算.

K答案》8

K解析U只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即;K），所以1047-1.3启0,解

得烂8.05,所以该台机器使用8年最合算.

6.在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行

了调查.调查结果：接受调查总人数为110,其中男性、女性各55人；受调查者中，女性

有30人比较喜欢看电视，男性有35人比较喜欢运动.

⑴请根据题目所提供的调查结果填写下列2x2列联表：

休闲方式

性别合计

看电视运动

女

男

合计

⑵依据小概率值a=0.05的独立性检验，是否可以推断“性别与休闲方式有关系”?

附：/=（〃+〃）（；黑黑c）S+d）（其中〃=a+h+c+d为样本容量）.

a0.100.050.010

Xa2.7063.8416.635

解：（1）根据题目所提供的调查结果，可得下列2x2列联表: