人教七年级下册数学期末解答题培优试卷含答案

人教七年级下册数学期末解答题培优试卷含答案

一、解答题

1.如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸

板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长.

2.学校要建一个面积是81平方米的草坪，草坪周围用快栅栏围绕，现有两种方案：行人

建议建成正方形，也有人建议建成圆形，如果从节省铁栅栏费用的角度考虑（栅栏周长越

小，费用越少），你选择哪种方案？请说明理由.（ri取3）

3.如图，用两个边长为10右的小正方形拼成一个大的正方形.

⑴求大正方形的边长？

⑵若沿此大正方形边的方向出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为3:2,且面

积为480cm2?

4.工人师傅准备从一块面积为25平方分米的正方形工料上裁剪出一块18平方分米的长方

形的工件.

（1）求正方形工料的边长；

（2）若要求裁卜来的长方形的长宽的比为3:2,问这块正方形工料是否合格？（参考数

据：72=1.414,73=1.732,石=2.236）

5.求下图4x4的方格中阴影部分正方形面积与边长.

二、解答题

6.（1）如图①，若则直线48与C。有什么位置关系？请证明（不需要注

明理由）.

（2）如图②中，AB//CD,乂能得出什么结论？请直接写出结论.

（3）如图③，已知4B〃CD,则N1+Z2+...+Zn-l+Zn的度数为.

B

ABAB

①②

（1）求证：AB//CDi

（2）如图（2）,点E在AB,CD之间的直线M/V上，P、Q分别在直线48、CD上，连接

PE、EQ,PF平分N8PE,QF平分NEQD,则NP£Q和NPFQ之间有什么数量关系，请直接

写出你的结论：

（3）如图（3）,在（2）的条件下，过P点作PH〃EQ交CD于点H,连接PQ,若PQ平

分NEPH,ZQPF：ZEQF=1：5,求NPHQ的度数.

8.如图，直线PQ//MN,点C是PQ、MN之间（不在直线P。，MN上）的一个动点.

（1）如图1，若N1与N2都是锐角，请写出NC与N1,/2之间的数量关系并说明理由；

（2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点、

D,C4与MN交于点E,胡与PQ交于点/，点G在线段CE上，连接。G,有

/BDF=NGDF,求二缥的值；

Z.CDU

（3）如图3,若点。是MN下方一点，BC平分NPBD,AW平分NC4D,已知

ZPBC=25°,求NACA+ZAOA的度数.

9•点4C,E在直线/上，点8不在直线/上，把线段48沿直线/向右平移得到线段

CD.

图1备用图图2

(1)如图1,若点£在线段4c卜.求讦：ZB+ZD=ZfiED：

(2)若点E不在线段4c上，试猜想并证明N8,ND,/8E。之间的等量关系；

(3)在(1)的条件下，如图2所示，过点8作P8〃ED,在直线8P,ED之间有点例，使

^-ZABE=^EBM,NCDE=NEDM,同时点F使得/A8E=c/EBF,ZCDE=nZEDF,其中

n>l,设/8M0=m,利用(1)中的结论求/8FD的度数(用含m,〃的代数式表示).

10.已知AM〃CN,点8为平面内一点，A8_L8C于8.

(1)如图1,求证：ZA+ZC=90°；

(2)如图2,过点“作3D_LM4的延长线于点D,求证：ZABD=NC；

(3)如图3,在(2)问的条件下，点E、尸在0M上，连接跖、BF、CF,且8斤平分

NDBC,BE平分NABD,若ZAFC=NBCF,/BFC=3NDBE,求/E8C的度数.

三、解答题

11.已知直线A8//CD,M,N分别为直线AB,C。上的两点且NMND=70。，P为直线

。。上的一个动点.类似于平面镜成像，点N关于镜面〃尸所成的镜像为点Q,此时

NNMP=NQMPZNPM=4QPM,4MNP=/MQP.

(1)当点P在N右侧时：

①若镜像。点刚好落在直线A8上(如图1),判断直线MN与直线PQ的位置关系，并说

明理由；

②若镜像Q点落在直线A8与8之间(如图2),直接写出NBMQ与NOPQ之间的数量

关系；

(2)若镜像PQ_LC£>,求/8MQ的度数.

12.如图1,E点在8c上，NA=ND,ABWCD.

（1）求三角形ABC的面积.

（2）发过△作加〃八C交），轴于D,且4瓦乃石分别平分/。^,/。。8,如图2,若

NC4B=a,N4C8=〃（a+夕=90。），求乙4&）的度数.

（3）在），轴上是否存在点P,使得三角形A8C和三角形ACP的面积相等？若存在，求出

。点坐标；若不存在；请说明理由.

四、解答题

16.如图，直线A8//CD,E、尸是48、CQ上的两点，直线/与AB、CD分别交于点

G、H,点尸是直线/上的一个动点（不与点G、”重合），连接PE、PF.

（1）当点尸与点E、尸在一直线上时，ZGEP=NEGP,NFHP=60。,则

NPFD=.

（2）若点、P与点、E、尸不在一直线上，试探索NAEP、4EPF、NCQ之间的关系，并证

明你的结论.

17.在.ABC中，射线AG平分㈤C交BC于点G,点Q在5C边上运动（不与点G重

合），过点。作。石//AC交于点E.

（1）如图1,点。在线段CG上运动时，DF平分/EDB.

①若N34C=100,ZC=30\则加笛=；若N8=40',则N4?Z>=；

②试探究NAFD与DA之间的数量关系？请说明理由；

（2）点。在线段8G上运动时，N8DE的角平分线所在直线与射线AG交于点F.试探究

N4”）与D8之间的数量关系，并说明理由.

18.如图，ZM8C中，NA8c的角平分线与NACB的外角/AC。的平分线交于4.

E

(1)当NA为70。时,

1/ZACD-Z.ABD=/

ZACD-Z.ABD=°

・「84、CAi是NABC的角平分线与NACB的外角NACD的平分线

1,、

/.ZAiCD-ZAiBD=-(Z.ACD-Z.ABD)

2

.二N4i=°:

(2)N48C的角平分线与N4C。的角平分线交于4，/48C与4C。的平分线交于A3，

如此继续下去可得4....4,请写出NA与N4的数量关系；

(3)如图2,四边形八88中，NF为NA8C的角平分线及外角NOCE的平分线所在的直线

构成的角，若N4+N4230度，则NF=.

(4)如图3,若E为84延长线上一动点，连EC,N4E2与NACE的角平分线交于Q,当E

滑动时有下面两个结论：①/Q+N4的值为定值；②NQ-/4的值为定值.其中有且只

有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值.

19.如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,我们把形如图1的图形称之为

"8字形如图2,NCAB和NBDC的平分线AP和DP相交于点P,并且与CD、AB分别相

交于M、N.试解答下列问题：

(1)仔细观察，在图2中有一个以线段AC为边的“8字形〃；

(2)在图2中,若2B=96°,ZC=100°,求2P的度数;

(3)在图2中，若设NC二a,NB呻，ZCAP=|zCAB,ZCDP=|zCDB,试问NP与NC、

NB之间存在着怎样的数量关系(用a、B表示NP),并说明理由；

(4)如图3,则NA+ZB-ZC+ND+ZE+NF的度数为—.

B

20.互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究.

小亮：已知，如图三角形A8C,点。是三角形A8C内一点，连接B。，CD,试探究

NBDC与ZA,Zl,N2之间的关系.

小明：可以用三角形内角和定理去解决.

小丽：用外角的相关结论也能解决.

A

（1）请你在横线上补全小明的探究过程：

J/BDC+/DBC+/BCD=1期,（）

NBDC=180。-NDBC-NBCD.（等式性质）

ZA4-Zl+Z2+ADBC+ABCD=180°,

ZA+Zl+Z2=180°-ZDBC-ZBCD,

/.ZBDC=ZA+Z1+Z2.（）

（2）请你按照小丽的思路完成探究过程：

（3）利用探究的结果，解决下列问题：

①如图①，在凹四边形ABC。中，ZBZX?=135°,NB=NC=25。,求NA=；

②如图②，在凹四边形/18CO中，NA8Q与ZAC。的角平分线交于点E,4=60。，

N3DC-140。，则N£=；

③如图③，ZABD,4c。的十等分线相交于点、"、入、…、居，若NBDC=120。,

gC=64。,则NA的度数为；

④如图④，ZBAC,N50c的角平分线交于点E,则D“，NC与NE之间的数量关系是

⑤如图⑤，ZABD,々AC的角平分线交于点七，ZC=40°,ZB£）C=140°,求/4£B的

度数.

【参考答案】

一、解答题

1.正方形纸板的边长是18厘米

【分析】

根据正方形的面积公式进行解答.

【详解】

解：设小长方形的宽为x座米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边长是厘大,

根据题意得：

取正值，可得，

解析：正方形纸板的边长是18厘米

【分析】

根据正方形的面枳公式进行解答.

【详解】

解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为2x厘米，即得正方形纸板的边长是2x

厘米，根据题意得：

2xx=162,

V=81,

取正值％=9,可得2x=18,

答：正方形纸板的边长是18厘米.

【点评】

本题考查了算术平方根的实际应用，解题的关键是熟悉壬方形的面积公式.

2.选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析

【分析】

根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的

周长，根据圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出圆的周长，

比较大小得到答

解析：选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析

【分析】

根据正方形的面枳公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的周长，根据

圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出圆的周长，比较大小得到答案.

【详解】

解：选择建成圆形草坪的方案，理由如下：

设建成正方形时的边长为x米，

由题意得：x2=81,

解得：x=±9,

x>0,

x=9,

..正方形的周长为4x9=36,

设建成圆形时圆的半径为「米，

由题意得：rtr2=81.

解得：r=±聘，

,/r>Q.

「•圆的周长=2"xft6?/27,

*/5<V27<6»

7.30<6炳<36,

「•建成圆形草坪时所花的费用较少，

故选择建成圆形草坪的方案.

【点睛】

木题考查的是算术平方根的应用，掌握算术平方根概念是解题的关键.

3.（1）大正方形的边长是；（2）不能

【分析】

（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出边长；

（2）先求出长方形的边长，再判断即可.

【详解】

（1）大正方形的边长是

（2）设长方形纸

解析：（1）大正方形的边长是10而；（2）不能

【分析】

（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出边长；

（2）先求出长方形的边长，再判断即可.

【详解】

（1）大正方形的边长是1D而

（2）设长方形纸片的长为3xcm,宽为2xcm,

则3x>2x=480,

解得：x=>/80

因为3厢>10卡，所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸

片的长宽之比为2：3,且面积为480cm2.

【点睛】

本题考查算术平方根，解题的关键是能根据题意列出算式.

4.（1）正方形工料的边长是5分米；

（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.

【详解】

试题分析：（1）根据正方形的面积公式求出的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3

解析：（1）正方形工料的边长是5分米；

（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.

【详解】

试题分析：（1）根据正方形的面积公式求出725的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3x・2x=18,求出x=G，再求出

长方形的长和宽和5比较即可得出答案.

试题解析：（1）正方形的面积是25平方分米，

正方形工料的边长是5分米：

（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，

则3x・2x=18,

x2=3,

xi=^3，X2=一0（舍去），

3x=3V3>5,2x=273<5,

即这块正方形工料不合格.

5.8；

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为

8,然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4XX2X2=8；

正方形的边

解析：8；2x/2

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8,然后利

用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4X；X2X2=8；

正方形的边长=&=2&.

【点睛】

本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于。，即x2=a,那么这个正数x

叫做。的算术平方根.记为八.

二、解答题

6.（1）AB//CD,证明见解析:（2）

ZEl+ZE2+...ZEn=ZB+ZFl+ZF2+...ZFn-l+ZD；（3）（n-l）«180°

【分析】

（1）过点E作EF〃AB,利用平行线的性质则可得出

解析：（1）AB//CD,证明见解析；（2）NEi+Z£2+...ZEn=ZB+ZFi+ZF2+...ZF„-i+ZC；

（3）{n-l）«180°

【分析】

（1）过点E作EF〃AB,利用平行线的性质则可得出/8=/8EF,再由已知及平行线的判定

即可得出48〃CD；

(2)如图，过点E作EM〃A8,过点、F作FN//AB,过点G作GH//48,根据探究(1)的

证明过程及方法，可推出/E+NG=N8+NF+ND,则可由此得出规律，并得出

ZEi+ZE2+...ZE“=NB+Nfi+ZF2+...ZFn.i+ZD；

(3)如图，过点M作EF//48,过点、N作GH//AB,则可由平行线的性质得出

Z1+Z2+Z/V7/VG=18O0x2,依此即可得出此题结论.

【详解】

解：(1)过点E作EF〃演，

AB

M

D

Z8=NBEF.

■：ZBEF+乙FED=Z.BED,

：.Z8+ZFEDMBED.

•「N8+ND=NE（已知），

...ZFED=ND.

••.CD〃EF（内错角相等，两直线平行）.

AB//CD.

(2)过点£作EM//28,过点F作FN//A8,过点G作GH〃八8,

,/AB//CD,

：.ABHEMUFNHGHUCD,

：.ZB=ZBEM,ZMEF=NEFN,ZNFG=/FGH,ZHGD"D,

：.ZBEF+AFGD=NBEM+ZMEF+NFGH+NHGD=Z8+NEFN+ZNFG+ND=ZB+ZEFG+ND,

即NE+ZG=ZB+NF+ZD.

由此可得：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等，

ZEi+Z&+.“/En=Z8+ZFi+ZF2+...ZFn.i+ZD.

故答案为：NFi+ZE2+...N£n=N8+NFI+ZF2+.../Fn-l+ND.

（3）如图，过点M作EFIM8,过点N作GH〃八8,

...ZAPM+Z.PME=180°,

♦；EF"AB,GHMAB,

/.EF//GH,

：.ZEMN+NMNG=180°,

Z1+Z2+ZMNG=180°x2,

依次类推:Z1+Z2+...+Zn-l+Zn=(n-l)«180°.

故答案为：(。-1)・180°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过E点作A8(或CO)的平行线，

把复杂的图形化归为基本图形.

7.(1)见解析；(2)NPEQ+2NPFQ=360°；(3)30°

【分析】

(1)首先证明N1=N3,易证得AB〃CD；

(2)如图2中，NPEQ+2NPFQ=360。.作EH〃AB.理由平行线

解析：(1)见解析；(2)ZPEQ+2ZPFQ=360°：(3)30°

【分析】

(1)首先证明/1=/3,易证得46〃C。：

(2)如图2中，/PEQ+2NPFQ=360°.作EH〃A8.理由平行线的性质即可证明；

(3)如图3中，设NQPF=y,ZPHQ=x.ZEPQ=z,则NEQF=NFQH=5y,想办法沟建

方程即可解决问题；

【详解】

(1)如图1中，

•/Z2=N3,Z1=Z2,

Z1=Z3,

AB//CD.

(2)结论：如图2中，ZPEQ+2ZPFQ=360°.

,/AB//CD,EH"AB,

EH//CD,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

/.Z2+Z3=Z1+Z4,

ZPEQ=N1+Z4,

同法可证：ZPFQ=NBPF+NFQD,

ZBPE=2Z.BPF,ZEQD=2NFQD,Z1+Z8PE=180°,Z4+NEQD=180°,

...Z1+Z4+ZEQD+N8PE=2xl80°,

即NP£Q+2(NFQD+NBPF)=360°,

ZPEQ+2ZPFQ=360°.

(3)如图3中，设NQPF=y,ZPHQ=x.ZEPQ=z,则NEQF=NFQH=5y,

,/EQ"PH,

ZEQC=NPHQ=x,

/.x+10y=180%

1/AB//CD,

：.Z8PH=/PHQ=x,

丁PF平分NBPE,

/.ZEPQ+NFPQ=NFPH+Z.BPH,

ZFPH=y+z-x,

•「PC平分NEPH,

Z=y+y+z-x,

/.x=2y,

12y=180°,

/.y=15°,

/.x=30°,

ZPHQ=30°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识.（2）中能正确作出辅助线是解

题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键.

8.（1）见解析；（2）；（3）75°

【分析】

（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即正求解.

（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以

解析：（1）见解析；（2）y；（3）75°

【分析】

（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解.

（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可.

【详解】

解：（1）NC=Z1+Z2,

证明：过C作川MN,如下图所示，

•「/IlMN,

AZ4=Z2（两直线平行，内错角相等），

1//IIMN,PQIIMN,

/IIPQ,

Z3=Z1（两直线平行，内错角相等），

/.Z3+N4=Z1+Z2,

ZC=Z1+Z2：

（2）,/Z8DF=NGDF,

NBDF=2PDC,

：.ZGDF=ZPDC,

ZPOC+NCDG+ZGDF=180°,

ZCDG+2ZPDC=180°,

ZPDC=90。-；/CDG,

由（1）可得，NPDC+NCEM=NC=90°,

ZAEN=iCEM,

AAEN4CEM90。-（90。-C£>G）_】,

NCDG~NCDG~ZCDG~ZCDG-2

（3）设8。交MN于J.

,/8c平分/PBD,AM平分NCAD,ZPBC=2S0,

ZP8D=2NPBC=5Q°,ZCAM=tMAD,

,.1PQIIMN,

：.ZBJA=NPBD=50°,

ZADB=NAJB-Z.J4D=50°-Z以。=50°-/CAM,

由（1）可得，ZACB=ZPBC+^CAM,

ZACB+NADB=NP8C+NC4M+50°-ZCAM=250+50°=75°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关

系.

9.（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，NBED:ND-NB；当点E

在AC的延长线上时，ZBED=ZBET-ZDET=ZB-ZD；（3）

【分析】

（1）如图1中，过点匚作ETIIAB.利用平行

解析：（1）见解析：（2）当点E在。的延长线上时，NBED=ND-NB；当点E在4；的

延长线上时，NBED二NBETWDET=NB-ND；（3）处二！1

2n

【分析】

（1）如图1中，过点E作E7IIAB.利用平行线的性质解决问题.

（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在4C的

延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可.

（3）利用（1）中结论，可得N8MD三NA8M+NCOM,工BFD三乙ABF+乙CDF,由此解决问

题即可.

【详解】

解：（1）证明：如图1中，过点E作E7IIAB.由平移可得ABIICD,

BD

AECI

图1

A8II£丁，A8IICD,

/.ETWCDWAB,

Z8=NBET,Z丁ED=ND,

/.ZBED=NBET"DET=8+ND.

(2)如图2-1中，当点£在6的延长线上时，过点E作ETIIAB.

・T-^7*

EAC1

图2-1

A8IIET,ABWCD,

ETWCDIIAB,

ZB=ZBET,NTED=ND,

ZBED=/DET-4BET=ND-ZB.

如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点£作E7IIAB.

AC1

图2-2

ABWET,ABWCD,

/.ETWCDWAB,

ZB=ZBET,ZTfD=ZD,

ZBED=Z.BET-4DET=Z.B-ZD.

(3)如图，设N48E=N£8M=x,ZCDE=Z.EDM=y,

h

A\E/C

F

图2

ABWCD,

：.N8/WD=ZA8/V7+NCDM.

m=2x+2y,

x+y=m,

,/ZBFD=Z.ABF+Z.CDF,ZABE:nNEBF,ZCDE=nZ.EDF.

ern-\n-\“一1/、”I1

ZBFD=--x+y=---(x+y)=----=乙.

nnnn22n

【点睛】

本题属于•几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是

学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型.

10.(1)见解析；(2)见解析；(3).

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明；

(2)过作，先说明，然后再说明得到，最后运用等量代换解答即可；

(3)设NDBE=a,则/BFC=3

解析：(1)见解析：(2)见解析；(3)ZEBC=105°.

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到NC=ZBDA，然后结合AB_L8C即可证明：

(2)过“作8H//DM,先说明NA4O=NC4〃，然后再说明/汨〃NC得到=NC,

最后运用等量代换解答即可；

(3)设NO8£=a,则NBFC=3a,根据角平分线的定义可得N48D=NC=2a,

ZF8C=|zDBC=a+45°,根据三角形内角和可得/8FC+/FBC+NBCF=180°,可得

zAFC=BCF的度数表达式，再根据平行的性质可得/AFC+4NCF=180。，代入即可算出a

的度数，进而完成解答.

【详解】

(1)证明：:AM//CN,

NC=4BDA,

,/A5J_BC于/?,

ZB=90°,

ZA+ZfiZ)A=90°,

ZA+ZC=90°；

(2)证明：过B作

,/BD1MA,

ZABD+Z4BH=9O°,

又;AB1BC,

/.Z484+NC3H=90°,

/.ZABD=ZCBH,

•：BHUDM,AM//CN

BHHNC,

ZCBH=NC,

ZABD=ZC；

(3)设N08E=a,则N8FC=3a,

...BE平分/ABDt

ZABD=AC=2a,

又丁AB.LBC,BF平分NDBC,

/08C=N48。+/48c=2。+90,即：/FBC=g/D8c=a+45°

又/BFC+NFBC+NBCF=180°,即：3a+a+45°+ZBCF=180°

/.ZBCF=135°-4a,

Z4FC=NBCF=135°-4a,

又「AM//CN,

Z4FC+ZA/CF=180°,即：ZAFC+ABCN+Z.BCF=180°,

135o-4a+135°-4a+2a=180,解得a=15\

ZABE=1S°,

：.ZEBC=NABE+AABC=15o+90°=105°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角

平分线的性质是解答本题的关键.

三、解答题

11.(1)①，证明见解析，②，(2)或.

【分析】

⑴①根据和镜像证出，即可判断直线与直线的位置关系，②过点Q作

QFIICD,根据平行线的性质证即可；

⑵过点Q作QFIICD,根据点P的位置不同，

解析：(1)①MNHPQ,证明见解析，②/BMQ+/DPQ=700,(2)160。或20。.

【分析】

⑴①根据48//CO和镜像证出NNMP=NQPM,即可判断直线"N与直线尸。的位置关

系，②过点。作OFIICD,根据平行线的性质证N8WQ+NOPQ=NMQ。即可；

(2)过点Q作QMC5根据点〃的位置不同，分类讨论，依据平行线的性质求解即可.

【详解】

(1)①MNHPQ,

证明：:ABHCD,

：./NPM=/QMP,

NNMP=NQMP,NNPM=4QPM,

/.4NMP=4QPM,

MN//PQ；

②过点Q作QFWCD,

•••AB!/CD,

：.AB//CD//QF,

：./BMQ=Z1,Z2=NQPD,

NBMQ+4DPQ=/MQP,

■「NMNP=NMQP=70。，

/BMQ+/DPQ=70°；

(2)如图，当点P在N右侧时，过点Q作QFIICD,

同(1)得，AB//CD//QF,

/FQP十乙NPQ=180°,々FQM=乙BMQ,

•「PQ工CD,

NNPQ=90°,

NFQP=90°,

/MND=NPQM=70°,

NFQM=20。,

/8MQ=20。，

Q

如图，当点P在N左侧时，过点Q作QFIIC。，同(1)得，AB//CD//QF,

同理可得，NFQP=90。，

,/NMN/)=70。，

4MNP=4PQM=\\0。,

：.ZF0M=20°,

AB//QF,

/尸QM+N8MQ=180。，

/BMQ=160。；

综上，NBMQ的度数为160。或20。.

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当的作辅助线，熟练利用平行线的性质推

导角之间的关系.

12.(1)ZACB+ZBED=180°；(2)100°；(3)40°

【分析】

(1)如图1,延长DE交AB于点F,根据ABCD可得NDFB=ND,贝lj

ZDFB=ZA,可得ACDF,根据平行线的性质得NA

解析：(1)ZACB+ZBED=180°；(2)100°；(3)40°

【分析】

(1)如图1,延长DE交A8于点F,根据AB//C。可得NDF8=ND,则NDF8=N4可得

AC//Dr,根据平行线的性质得NAC8+NCZT=180。，由对顶角相等可得结论；

(2)如图2,作EM//CD,HN//CD,根据A8//C。，可得AB〃EM〃HN〃CD,根据平行

线的性质得角之间的关系，再根据N0E8比N0H8大60。，列出等式即可求NOEB的度数；

(3)如图3,过点E作ES//CD,设直线OF和直线8P相交于点G,根据平行线的性质和

角平分线定义可求/P8M的度数.

【详解】

解：(1)如图1,延长OE交A8于点产，

：.^DFB=ZD,

\ZA=ZD,

:.ZA=ZDFB,

ACIIDF,

.♦.NAC8+NC瓦'=180°,

：.ZACB+ZBED=\^°,

故答案为：ZAC6+N6£D=180°；

(2)如图2,作EM"CD,HN//CD.

:.A13//EM//HN//CD,

：.Zl+NEDF=180°,ZMEB=ZABE,

BG平分ZABE,

.-.ZABG=-ZABE,

2

.AB//HN,

:.Z2=ZABG,

CF//HN,

N2+〃=N3,

lzA8E+N0=N3,

2

DH斗分乙EDF,

:.Z3=-ZEDF,

?

-ZABE+=-^EDF,

Z/?=-14EDF-乙ABE),

2

:ZEDF-£ABE=240,

设NDEB=Na,

.Z«=Z1+ZMEB=1800-ZEDF+ZABE=180°-(ZEDF-ZABE)=180。—2/尸,

NDEB比NDHB大60°,

/.Na-60。一//?,

/.Z«=18()o-2(Za-60o),

解得Na=100。.

.•.ZDE8的度数为］00。：

(3)NPBM的度数不变,理由如下：

如图3,过点七作&”S,设直线。尸和直线相交于点G,

图3

BM平分/EBK,DN平分ZCDE,

二/EBM=NMBK=-NEBK,

2

ZCDN=/EDN=-4CDE,

2

­.ES//CD,AB//CD,

：.ES//AB//CD,

:.^DES=ZCDE,

/BES=匕\BE=\&T-4EBK,

NG=NPRK,

由(2)可知：ZDEB=100°,

.，NCDE+180°-AEBK=1(XF,

:./EBK-NCDE=8(F,

•.BP/iDN,

4CDN=ZG,

/.ZPBK=ZG=4CDN=-Z.CDE,

2

"BM=ZMBK-4BK

=-ZEBK--ZCDE

22

△(/EBK-/CDE)

2

=-x80°

2

=40°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质.

13.（1）；（2）,证明见解析；（3）,证明见解析.

【分析】

（1）过点作，先根据平行线的性质、平行公理推论可得，从而可得，再根据平

行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可徨；

解析：（1）90°；（2）Z4PC=2ZAEC,证明见解析；（3）ZAPC+2ZA£C=360°,证

明见解析.

【分析】

（1）过点E作EF//AB,先根据平行线的性质、平行公理推论可得

ZAEF=/BAE/CEF=NDCE,从而可得ZA£C=Zfi4£+ZDCE,再根据平行线的性质可

得NQ43+NPCO=180。，然后根据角平分线的定义可得

NBAE=iNPAB,NDCE=[NPCD,最后根据角的和差即可得；

（2）过点E作EF//AB,过点P作PQ〃AB,先根据（1）可得

ZAEC=NBAE+NDCE=L（NPAB+NPCD）,再根据（1）同样的方法可得

2

ZAPC=NPAB+NPCD,由此即可得出结论；

（3）过点E作EF//AB,过点P作PQ〃AB,先根据（1）可得/PA3+NPCD=2NAEC,

再根据平行线的性质、平行公理推论可得4八2=180。-/"反/”。=180。-/28,然

后根据角的和差、等量代换即可得出结论.

【详解】

解：（1）如图，过点E作EF//AB,

:.ZAEF=NBAE,

QAB//CD,

..EF//CD,

：.ZCEF=ZDCE,

ZAEC=ZAEF+NCEF=/BAE+ZDCE,

又QABHCD,且点P运动到线段AC上，

NE4B+NPCO=180°,

•••相：平分44",CE平分ZPCD,

/.NBAE=-ZPAB,ZDCE=-4PCD,

22

/.ZAEC=-NPA3+-/PCD=-(NPAB+NPCD)=90。；

222

(2)猜想NAPC=2/4EC,证明如下：

如图，过点E作加7/AB,过点/作PQ//AB,

由(1)已得：ZAEC=NBAE+NDCE=1/PAB+NPCD),

2

同理可得：ZAPC=NPAB+N"D,

ZAPC=2ZAEC；

(3)ZAPC+2ZA£C=360°,证明如下：

由(1)已得：^AEC=ZBAE+ZDCE=(ZPAZ?+ZPCD),

即ZPAB+ZPCD=2ZAEC,

•.PQ/IAB,

/.ZAPQ+乙PAB=180°,即ZAPQ=180°-Z.PAB,

QAB//CD,

PQ//CD,

/./CPQ+/PCD=180°,即NCPQ=180。-ZPCD,

ZAPC=^APQ+NCPQ,

=180°-NPAB+180°-ZPCD,

=360°-(/『AB十ZPCD),

=360°-2ZAEC,

即ZAPC+2ZAEC=360°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的

性质是解题关键.

14.(1)图见解析，，理由见解析；(2),理由见解析；(3)图见解析，

或.

【分析】

（1）根据平行线的画法补全图形即可得，根据平行线的性质可得，由此即可

得；

（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可

解析：（1）图见解析，NEDF=NBAC,理由见解析；（2）DE//BA,理由见解析；

（3）图见解析，ZEDF=ZBAC®ZEDF+ABAC=180°.

【分析】

（1）根据平行线的画法补全图形即可得，根据平行线的性质可得

NEDF=NBFD,NBFD=NBAC,由此即可得；

（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得N3AC=N8OD,再根据等量代换可得

/EDF=NBOD,然后根据平行线的判定即可得；

（3）先根据点D的位置面出如图（见解析）的两种情况，再分别利用平行线的性质、对

顶角相等即可得.

【详解】

（1）由题意，补全图形如下：

/EDF=NBAC,理由如下：

.DE//BA,

：.4BDk=4BFD,

­.DF//CA,

:"BFD=/BAC,

:"EDF=/BAC；

(2)DEUBA,理由如下：

如图，延长BA交DF于点0,

DF//CA,

:4AC=/BOD,

•/NEDF=/BAC,

:.ZEDF=ZBOD,

DE//BA：

（3）由题意，有以下两种情况：

①如图3-1,ZEDF=ZBAC,理由如下:

DEUBA,

/.ZE4-ZEAF=180°,

\-DF//CA,

/.ZE+ZEDF=180°,

:.NEAF=NEDF,

由对顶角相等得：ZR4C=ZE4F,

/.4EDF=NBAC；

②如图3-2,ZEDF+ZMC=180°,理由如下:

DEUBA，

ZEDF+ZF=I80°,

VDF//C4,

ZI3AC=ZF,

ZEDF+ZBAC=\S00.

*2

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质等知识点，较难的是题(3),正确分两种情况讨论是解题

关键.

15.(1)4；(2)45°；(3)P(0,-1)或(0,3)

【分析】

(1)根据非负数的性质得到a=-b,a-b+4=0,解得a=-2,b=2,则A

(-2,0),B(2,0),C(2,2),即可计算出

解析：(1)4；(2)45°；(3)P(0,-1)或(0,3)

【分析】

(1)根据非负数的性质得到a=-b,a-b+4=0,解得a=-2,b=2,则A(-2,0),B

(2,0),C(2,2),艮」可计算出三角形ABC的面积=4；

(2)由于CBIIy轴，BDIIAC,则/CAB=NABD,即N3+N4+/5+/6=90°,过E作

EFIIAC,则BDIIACIIEF,然后利用角平分线的定义可得到N3=Z4=Z1,E5=Z6=

Z2,所以NAED=N1+/2=gx90°=45°；

(3)先根据待定系数法确定直线AC的解析式为y=gx+l,则G点坐标为(0,1),然

后利用SAPAC=SAAPG+SACPG进行计算.

【详解】

解：(1)由题意知：a=-b,a-b+4=0,

解得：a=-2,b=2,

A(-2,0),B(2,0),C(2,2),

SAABC=-AB-BC=4；

2

(2),/CBIIy轴，BDIIAC,

NCAB=NABD,

Z3+N4+Z5+N6=90°,

过E作EFIIAC,

,/BDIIAC,

BDIIACIIEF,

1/AE,DE分别平分NCAB,ZODB,

Z3=Z4=Z1,Z5=Z6=Z2,

ZAED=Z1+Z2=；x90°=45°；

(3)存在.理由如下：

设P点坐标为(0，t),直线AC的解析式为y=kx+b,

把A(-2,0)、C(2,2)代入得：

-2k+b=0k=5

,解得《

'2k+b=2

「•直线AC的解析式为y=/x+l,

G点坐标为（0,1）,

SAPAC=SAAPG+SACPG=~|t-l|・2+；|t-l|・2=4,解得t=3或T,

••.P点坐标为（0,3）或（0,-1）.

【点睛】

本题考查了绝对值、平方的非负性，平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同

旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等.

四、解答题

16.(1)120°；(2)NEPF=NAEP+NCFP或NAEP=NEPF+NCFP,证明见详

解.

【分析】

(1)根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由ABIICD,

ZFHP=60°,可以推出

解析：(1)120°；(2)NEPF=NAEP+NCFP或/AEP=NEPF+/CFP,证明见详解.

【分析】

(1)根据题意，当点、P与点、E、厂在一直线上时，作出图形，由ABIICD,ZFHP=60c,可

以推出NGEP=NEGP=60。,计算NPFD即可；

(2)根据点P是动点，分三种情况讨论：①当点P在AB与CD之间时；②当点P在AB

上方时；③当点P在CD下方时，分别求出NAEP、NEPF、NCFP之间的关系即可.

【详解】

(1)当点尸与点E、尸在一直线上时，作图如下，

VABHCD,ZFHP=60°,2GEP=NEGP,

NGEP=/EGP=ZFHP=60°,

ZEFD=1800-ZGEP=180c-600=120\

/.ZPFD=120°,

故答案为:120。；

(2)满足关系式为NEPF=ZAEP+ZCFP或/AEP=ZEPF+ZCFP.

证明：根据点P是动点，分三种情况讨论：

①当点P在AB与CD之间时，

过点P作PQHAB,如下图，

,/ABIICD,

PQHABIICD,

/.ZAEP=ZEPQ,ZCFP=ZFPQ,

ZEPF=ZEPQ+ZFPQ=ZAEP+ZCFP,

②当点P在AB上方时，如下图所示,

,/ZAEP=ZEPF+ZEQP,

ABIICD,

...ZCFP=ZEQP,

ZAEP=ZEQF,

ZEQF=ZEPF+ZCFP,

J.ZAEP=ZEPF+ZCFP,

EB

综上所述，NAEP、NEPF、/CFP之间满足的关系式为：NEPF=NAEP+NCFP或

ZAEP=ZEPF+ZCFP,

故答案为：ZEPF=ZAEP+ZCFP或NAEP=ZEPF+ZCFP.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，注意分情况讨

论问题.

17.（1）①115。，110°；②，证明见解析；（2）,证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）①根据角平分线的定义求得NCAG=NBAC=50。；再由平行线的性质可得

ZEDG=Z030°,ZFMD=

解析：（1）①115。，11C。；②乙4/。=90证明见解析；（2）

乙4正。=90'-1/8,证明见解析.

2

【解析】

【分析】

（1）①根据角平分线的定义求得/CAG=；/BAC=50。；再由平行线的性质可得

ZEDG=ZC=30°,ZFMD=ZGAC=50°；由三角形的内角和定理求得NAFD的度数即可；已知

AG平分NBAC,DF平分NEDB,根据角平分线的定义可得/CAG=^NBAC,

2

；由根据平行线的性质可得N：即可得

ZFDM=2-ZEDGDE//AC,EDG=NC,ZFMD=ZGAC

ZFDM+ZFMD=-ZEDG+/GAC=-ZC+-ZBAC=-（ZBAC+ZC）=-xWO^TO0：再由三

22222

角形的内角和定理可求得/AFD=UO°；

②NAFD=90°+1zB,已知AG平分/BAC,