2025年北京市朝阳区高考数学一模试题 含答案

/2025年北京市朝阳区高考数学一模试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x||x|<2}，集合BA.{x|0≤x<2} B.{x|0≤2.设复数z=1+i的共轭复数为z−，则zA.1 B.2 C.2 D.3.在(x+2A.6 B.8 C.12 D.244.为得到函数y=sin2x+A.向右平移π4个单位长度 B.向左平移π4个单位长度

C.向右平移π8个单位长度 5.已知{an}是等比数列，a2=2，aA.18 B.14 C.126.已知曲线C：mx2−ny2=1，则“nA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知sinα+sinβ=0，cosα+cosβA.−12 B.12 C.8.某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示.这条河两岸所在直线l1，l2互相平行，桥DE与河岸所在直线垂直.休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A，B，C处，其中入口A点(定点)在桥DE上，且A到直线l1，l2的距离分别为h1，h2(h1,h2为定值)，入口B，C分别在直线l2，l1上，公园的一边AB与直线l2A.函数S(α)的最大值为h1h2

B.函数S(α)的最小值为h1h22

C.若α1，9.在△ABC中，CA=CB=5，AB=4，点M为△A.0 B.−1625 C.−410.n位同学参加学校组织的某棋类单循环制比赛，即任意两位参赛者之间恰好进行一场比赛.每场比赛的计分规则是：胜者计3分，负者计0分，平局各计1分.所有比赛结束后，若这n位同学的得分总和为150分，且平局总场数不超过比赛总场数的一半，则平局总场数为(

)A.12 B.15 C.16 D.18二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数f(x)=12.已知点M(2,1)在抛物线C：x2=2py(p>0)上，则抛物线C的焦点F的坐标为______；以F为圆心，|13.已知函数f(x)是R上的奇函数当x>0时，f(x)=x+e2−x，则f(−2)=14.干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸)和十二地支(子、丑、寅、卯、辰、巳、未、申、酉、戌、亥)的组合来表示年份，循环纪年.比如某一年为甲子年，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年为乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此类推.已知2025年是乙巳年.则2025年之后的首个己巳年是______年.(用数字作答)15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是底面A1B1C1D1内的动点，给出下列四个结论：

①|PA+PC|的最小值为2三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，AB/​/CD，AB=2，AD=CD=1，E为线段AB的中点．

(Ⅰ)求证A117.(本小题13分)

在△ABC中，bcosA+acosB=c2．

(Ⅰ)求c的值；

(Ⅱ)已知sinC=35，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长．

条件①：∠B=π4；

条件②：AB边上的高为3218.(本小题14分)

某高中组织学生研学旅行.现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行.研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表：高一高二高三A地B地A地B地A地B地满意122183156一般226568不满意116232假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立.用频率估计概率．

(Ⅰ)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；

(Ⅱ)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率；

(Ⅲ)对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生人数的方差为s12，调查结果为不满意的学生人数的方差为s22，写出s12和19.(本小题15分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为12．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)过点M(4,0)作直线l与椭圆E交于不同的两点20.(本小题15分)

已知函数f(x)=alnx−x−1x+1(a∈R)．

(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1）处的切线方程；

21.(本小题15分)

已知Q：a1，a2，…，an(n≥3,n∈N∗)为有穷正整数数列，若存在i，j∈{1,2,…,n}(i<j)，使得siai+si+1ai+1+…+sjaj=0，其中si，si+1，…，sj∈{−1,1}，则称Q为连续可归零数列．

(Ⅰ)判断Q1：1，3，2和Q2：4，2，4是否为连续可归零数列？并说明理由；

(Ⅱ)对任意的正整数i，记v(i答案1.A

2.C

3.D

4.D

5.A

6.A

7.B

8.D

9.C

10.B

11.(0,1)

12.(0,1)

相切

13.−3

4

14.2049

15.①②④

16.解：(1)证明：连接D1C，EC，

因为AB=2，CD=1，E为AB的中点，

所以AE=CD，

又AB//CD，所以四边形AECD为平行四边形，

所以EC//AD，EC=AD，

又因为A1D1//AD，A1D1=AD，

所以A1D1//EC，A1D1=EC，

所以四边形A1ECD1为平行四边形，

所以A1E//D1C，

又因为A1E⊄平面C1CDD1，DC⊂平面C1CDD1，

所以A1E//平面C1CDD1；

(2)因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，

又因为平面A1ABB1⊥平面A1ADD1，平面A1ABB1∩平面A1ADD1=AA1，

17.解：(Ⅰ)由正弦定理和bcosA+acosB=c2得，

sinBcosA+cosBsinA=csinC，可得sin(A+B)=sinC=csinC，

显然sinC>0，所以c=1；

(Ⅱ)选条件①：由B=π4，sinC=35，c=1，

因为bsinB=csinC，所以b=csinBsinC=526，

因为b>c，所以B>C，所以C∈(0,π2)，

所以cosC=1−sin2C=45，所以sinA=sin(π4+C)=22×45+22×35=7210，

再由正弦定理得a=csinAsinC=726，

可得△ABC的周长为1+726+526=1+22；

选条件②：由已知得S△ABC=12×c×32=12absinC，

将c=1，sinC=35代入得ab=52，又cosC=±1−sin2C=±45，

当cosC=45时，由余弦定理得1=a2+b2−2ab×45，

所以a2+b2=5，联立ab=52解得a=b=102，

所以△ABC的周长为1+10，

同理，当cosC=−45时，可得a2+b2=−3，舍去，

所以△ABC的周长为1+10；

选条件③：由余弦定理得1=(43)2+b2−2×43b×45，

解得b=53或715，此时△ABC不唯一，不符合要求．

18.解：(Ⅰ)从表格数据可知，随机抽取的100名学生对本次研学旅行满意的人数为12+2+18+3+15+6=56，

因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为56100=1425；

(Ⅱ)设事件A1：抽取的高一学生选择去B地，

事件A2：抽取的高二学生选择去B地，

事件A3：抽取的高三学生选择去B地，

事件Ci：抽取的3人中恰有i人选择去B地，i=2，3，

事件D：抽取的3人中至少有2人选择去B地，

从数据表格可知，抽取的100名学生中高一年级学生总数为12+2+1+2+2+1=20，

20.解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=lnx−x−1x+1，所以f′(x)=1x−2(x+1)2，

所以f(1)=0，f′(1)=12，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1）处的切线方程为y=12(x−1)，即x−2y−1=0；

(Ⅱ)证明：因为f(x)=alnx−x−1x+1(a∈R)，

所以f′(x)=ax−2(x+1)2=ax2+(2a−2)x+ax(x+1)2，x≥1，

设函数h(x)=ax2+(2a−2)x+a，

当a≥12x(0,x(xx2，f+0−0+f增极大值减极小值增所以函数f(x)的单调递增区间是(0,x1)、(x2,+∞)，单调递减区间是(x1,x2)，

因为f(1)=0，所以1为f(x)的一个零点，

又f(x1)>f(1)=0,0<e−1a<1，且f(e21.解：(Ⅰ)数列Q1是连续可归零数列，理由如下：

取s1=1，s2=−1，s3=1，

则s1a1+s2a2+s3a3=1×1+(−1)×3+1×2=0，

所以数列Q1是连续可归零数列，

数列Q2不是连续可归零数列，理由如下：

当(i,j)=(1,3)时，s1a1+s2a2+s3a3=4s1+2s2+4s3=2(2s1+s2+2s3)，

因为s1，s2，s3∈{−1,1}是奇数，故2s1+s2+2s3是奇数，所以2(2s1+s2+2s3)≠0．

当(i,i)=(1,2)时，s1a1+s2a2=4s1+2s2=2(2s1+s2)，

因为s1，s2∈{−1,1}是奇数，故2s1+s2是奇数，所以2(2s1+s2)≠0．

当(i,j)=(2,3)时，s2a2+s3a3=2s2+4s3=2(s2+2s3)，

因为s2，s3∈{−1,1}是奇数，故s2+2s3是奇数，所以2(s2+2s3)≠0，

所以数列Q2不是连续可归零数列．

(Ⅱ)证明