2026届高考数学复习备考：三角函数的奇偶性、对称性高频考点专题练 含答案

/2026届高考数学复习备考：三角函数的奇偶性、对称性高频考点专题练一、单选题1．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为A． B．C． D．2．函数图像的一条对称轴为，则（

）A． B． C． D．3．若为偶函数，则实数（

）A． B．0 C．2 D．44．将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的个数是（

）①函数的最小正周期为②函数在区间上单调递增③函数在区间上的最小值为④是函数的一条对称轴A．1 B．2 C．3 D．45．已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．已知函数，若，则（

）A．2 B．1 C．0 D．7．已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（

）A． B． C．1 D．28．若函数图象的一个对称中心为，则的值为（

）．A． B． C．1 D．二、多选题9．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，则关于的说法正确的是（

）A．最小正周期为 B．偶函数C．在上单调递减 D．关于中心对称10．已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A．B．的图象过点C．函数的图象关于直线对称D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是11．已知函数，则（

）A．是奇函数 B．的最小正周期为C．的最小值为 D．在上单调递增12．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（

）A．函数是奇函数B．函数在区间上单调递减C．，使得D．的值为定值13．下列关于函数的相关命题，叙述正确的有（

）A．的最小正周期为B．的一条对称轴为C．的单调增区间为D．若时，函数有两个不同零点，则14．已知函数的相邻两对称轴的之间的距离为，函数为偶函数，则（

）A．B．为其一个对称中心C．若在单调递增，则D．曲线与直线有7个交点三、填空题15．若函数的最大值为，则，的一个对称中心为16．若函数是偶函数，是奇函数，已知存在点，，使函数在、点处的切线斜率互为倒数，那么.17．定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为.四、解答题18．设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域.19．已知函数．(1)求函数的对称中心及对称轴方程；(2)当时，求函数的最大值和最小值．

答案题号12345678910答案DABCCACDBCDBCD题号11121314答案ACABDACDACD1．D【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．2．A【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出.【详解】由的图象关于对称，可知：，即，则．故选：A．3．B【分析】根据偶函数的定义，由即可求解.【详解】由得：由题意可知：可得：恒成立，所以，故选：B.4．C【分析】首先对化简，然后根据图像变换得到，再逐一分析关于的性质即可.【详解】根据二倍角公式，得，再向右平移个单位长度，得到，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到，即，对于①，的最小正周期,故①正确，对于②，令,解得,令，则单调递增区间为，不是的子集，在区间上不是单调递增，故②错误，对于③，，，由余弦函数的图像可知，故③正确，对于④，令，解得,令，则，是函数的一条对称轴，故④正确.故选.5．C【分析】由题意，利用辅助角公式得，其中.根据题设知，为图象的一条对称轴，结合可求得，，，再根据关于轴对称，得到，，从而求得的最小值.【详解】由题意，知，其中.因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以为图象的一条对称轴，所以，.又，所以，，解得，，，所以.将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象.由的图象关于轴对称，得，，所以，，所以的最小值为.故选：C.6．A【分析】构造奇函数，利用函数的平移，可得函数的对称性，可得答案.【详解】设，由于，故为R上的奇函数，则的图象关于原点对称．又，所以的图象关于对称，即，由，所以，故选：A．7．C【分析】先推得的对称性与单调性，又也关于对称，由对称性可知方程唯一的根在对称轴上，代入即可解得.【详解】因为，则，所以的图象关于对称，且当时，单调递增，当时，单调递减；又，故可看作由函数向右平移1个单位得到，所以的图象也关于对称；又由于函数与函数的图象有唯一公共点，即方程只有一根，因为两函数图象都关于对称，所以方程的根为，即，解得.故选：C．

8．D【分析】根据正弦函数的对称性求解即可.【详解】因为函数图象的一个对称中心为，所以，解得，又因为，所以.故选：D.9．BCD【分析】A选项，根据辅助角公式，平移和伸缩变换得到，从而得到的最小正周期；B选项，由函数奇偶性定义得到B正确；C选项，由得到，由整体法得到函数的单调性；D选项，，故D正确.【详解】A选项，，的图象向右平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到，所以的最小正周期为，A错误；B选项，的定义域为R，且，故是偶函数，B正确；C选项，由得，由于在上单调递减，所以在上单调递减，C正确；D选项，，，所以D选项正确.故选：BCD.10．BCD【分析】根据函数图象所经过的点，结合正切型函数的对称性、单调性逐一判断即可.【详解】对于A：设该函数的最小正周期为，则有，即，由函数的图象可知：，又，所以，即，由图象可知：，所以，因此A不正确；对于B：，所以B正确；对于C：因为，，所以，所以函数的图象关于直线对称，因此C正确；对于D：当时，，当，，当函数在区间上不单调时，则有，D正确.故选：BCD关键点睛：运用函数对称性、函数单调性的性质是解题的关键.11．AC【分析】根据二倍角公式可化简，进而根据正弦型函数的性质即可结合选项逐一求解.【详解】，又，所以为奇函数，故A正确，的最小正周期，故B错，当时，取最小值为，故C正确.令,解得，所以的单调递增区间为，令，得的其中一个单调递增区间为，故D错误，故选：AC.12．ABD【分析】由经过可求出的解析式，利用奇偶性定义可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；求的值可判断D，利用，分、、，三种情况求的化简式可判断C．【详解】因为经过，所以，即，，解得，，又，所以，则，对于A，，时，令，可得，故为奇函数，所以A正确；对于B，时，，对于在上单调递减，可得在上单调递减，所以B正确；对于D，，所以恒为，即对的值为定值，所以D正确；对于C，当，时，，当，时，，当，时，，所以C错误．故ABD.13．ACD【分析】根据三角恒等变换化简得，利用最小正周期公式求解判断A，根据正弦函数对称性求对称轴判断B，根据正弦函数单调性求解单调区间判断C，将问题转化为曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，画出函数图象数形结合即可求解判断D.【详解】由于，故最小正周期，故A正确；令，解得，令得，所以直线不是函数图像的对称轴，故B错误；令，所以，所以函数的单调递增区间为，故C正确；若函数有两个不同的零点，即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，由，得，设，则，作出函数图象如图所示，由图可知：，故D正确.故选：ACD.14．ACD【分析】对于A，根据相邻两对称轴之间的距离求周期得出，再根据偶函数求得；对于B，利用代入验证法进行判断；对于C，根据正弦函数增区间公式进行求解；对于D，数形结合，结合对称性得出结果.【详解】对于A，由题意，故，又的图象向左平移个单位得到为偶函数，所以，且，故，故A正确；对于B，因为，且不为零，故B错误；对于C，令，，令，故易知在单调递增，故，故C正确；对于D，直线与曲线均过点，且该直线与曲线均关于该点中心对称，当时，，当时，，如图，由对称性可知曲线与直线有7个交点，故D正确．故选：ABD．15．（答案不唯一）【分析】根据辅助角公式对函数进行化简，再根据最大值求出A，最后利用余弦型函数求出对称中心.【详解】由，其中，又函数的最大值为，则，又，则，，不妨取，故，则的对称中心满足，，解得，，即的对称中心为，，则的一个对称中心可为：，故，（答案不唯一）16．【分析】根据题设中的奇函数和偶函数求出，根据导数的几何意义得切线斜率，根据互为倒数得的关系式，化简后可得.【详解】函数是偶函数，可得，即有，①是奇函数，可得，，即为，②由①②可得，，，使得函数在点，处的切线斜率互为倒数，可得，可得，即为，即为，即有，可得，，.故答案为.17．【分析】利用①得出，解得.数形结合，利用②中分析出取得最小值时所在的位置，最后利用③中解出的值,求出【详解】当时，说明与一个取最小值，一个取最大值，而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期，因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值，所以，解得，所以.不妨设，如图所示：

依次讨论对应为点C，A，D，E四种情况，且，若对应为点（或点之后），则，即，不合题意；若求的最大值，即的最小值，即与之间相位跨度最大，若对应为点，则直线为图象的对称轴，又是函数图象的一个对称中心，且，则，解得，则.所以取值的最大值为.故答案为.18．（1）；（2）.【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：，函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.(2)由函数的解析式可得：.据此可得函数的值域为.本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数