2026届高考数学一轮专题训练立体几何初步（真题演练） 含答案

/2026届高考数学一轮复习备考专题训练：立体几何初步（真题试卷演练）一、选择题1．（2025·长沙模拟）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（）A． B． C． D．2．（2025·安化模拟）已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（）A．3π B．6π C．9π D．12π3．（2025·深圳模拟）已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（）A． B． C． D．4．（2025·腾冲模拟）如图，在正四棱锥中，，，点，分别在棱，上运动，且满足，，其中，则三棱锥的最大体积为（）A． B． C． D．5．（2025·广东模拟）《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，即，其中常数称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长），设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）、球（直径为）的“立圆率”分别为、、，则（）A． B． C． D．6．（2025·浙江模拟）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面的所成角为最小时，截面的面积为（）A． B． C． D．7．（2025·湘阴模拟）已知，，，是球的球面上四点，，，，．记球的体积为，四面体的体积为，则的值为（）A． B． C． D．8．（2025·北京市模拟）故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（）A． B． C． D．二、多项选择题9．（2025·温州模拟）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（）A． B．C．平面 D．平面10．（2025·安化模拟）如图，在直三棱柱中，，，点M是线段上一点，则下列说法正确的是（）A．当M为的中点时，平面B．四面体的体积为定值C．的最小值为D．四面体的外接球半径的取值范围是11．（2025·苏州模拟）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内的动点（含边界），则下列说法正确的是（）A．使三棱锥体积取得最大值的点唯一B．存在点，使得直线与的夹角为C．时，点的轨迹是线段D．平面时，点的轨迹长为三、填空题12．（2025·夏津模拟）陈嘉豪发现，《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．已知长方体，若阳马以该长方体的顶点为顶点，则这样的阳马的个数是（用数字作答）．13．（2025·广东模拟）如图，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成的角为，则为.14．（2025·湖南模拟）如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为．四、解答题15．（2025·广东模拟）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，.（1）证明平面；（2）求平面与平面的夹角.16．（2025·浙江模拟）如图，已知正方形和等腰梯形所在的平面互相垂直，，，.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的正弦值.17．（2025·阳西模拟）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，是的中点，是上的一点.（1）证明：平面平面；（2）若异面直线和垂直，求二面角的正弦值.18．（2025·长沙模拟）如图，在四棱锥中，棱平面，底面四边形是矩形，，点为棱的中点，点在棱上，.（1）求证：；（2）已知平面与平面的交线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值.19．（2025·桐乡市模拟）如图，已知，平面平面，，，，点为梯形内（包括边界）一个动点，且平面．（1）求点的轨迹长度；（2）当线段最短时，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．

答案解析部分1．【正确答案】A2．【正确答案】C3．【正确答案】A4．【正确答案】C5．【正确答案】A6．【正确答案】B7．【正确答案】A8．【正确答案】B9．【正确答案】B,D10．【正确答案】A,B,D11．【正确答案】B,C,D12．【正确答案】2413．【正确答案】14．【正确答案】15．【正确答案】（1）证明：∵，，∴，

又∵平面，平面，

∴平面.（2）解：∵平面，、平面，

∴，，

∴SA，AD，AB两两垂直，

如图所示，以所在直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，

∴，，，，，

∵平面，平面，，，

，，平面，

∴平面，

∴平面的一个法向量为，

设为平面的一个法向量，

，，

，令，则，，，

设平面与平面的夹角大小为，

，

∵，∴，∴平面与平面的夹角大小为

​​​​​​16．【正确答案】（1）证明：设与交于点，连接，在正方形中，，所以，所以，而，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）解：设的中点为，连接，因为四边形为等腰梯形，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，如图所示，以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，设，，

则，，因为，所以，解得（舍去）.所以，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以设平面的法向量为，

则，

令，则，所以.因为，所以所以二面角的正弦值为.​​​​​​17．【正确答案】（1）证明：由题知，，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，又是中点，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由题知，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示：过作，因为，所以，则，设，则，即，又，即，所以，所以，即，则，设平面的一个法向量，平面的一个法向量，则，取，可得，又，可得，取，可得，令平面与平面的夹角为，则，所以，即二面角的正弦值为.18．【正确答案】（1）证明：因为底面四边形是矩形，所以，

又因为平面，平面，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为为中点，，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以；（2）解：在矩形中，，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以为与直线所成角，在中，，，则，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，设平面的法向量为，则，取，，即，易知平面的一个法向量为，则，由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.19．【正确答案】（1）解：因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面，又因为，如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，设AB=b，则，，因为点为梯形内（包括边界）一个动点，可设，所以，又，设平面的法向量为，则，令z=1，则x=b，y=b，所以，因为平面，所以，所以，即，取，则；取，则，所以的轨迹长度为.​​​​​​（2）解：取的中点为，连接，连，由（1）可得的轨迹为.又由（1）可得平面，