2026年高考数学一轮专题训练：空间向量基本定理及坐标表示 含答案

/高考数学一轮复习空间向量基本定理及坐标表示一．选择题（共8小题）1．（2025春•仁寿县校级期中）设向量a→，b→，A．{a→−2bC．{3a→+2．（2024秋•库尔勒市校级期末）已知空间向量AB→=(2，−1，3)，则A．2 B．14 C．2 D．143．（2025春•高邮市期中）已知向量a→=(−1，2，1)，b→=(2，x，A．﹣10 B．﹣2 C．2 D．104．（2025春•高邮市期中）对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（）A．AP→=2OA→C．CP→=2OA5．（2025春•盐城期中）已知向量a→=（﹣3，2，3），b→=（1，x，﹣1）且A．0 B．13 C．−326．（2025春•常州期中）已知点A（3，﹣1，0），若向量AB→=(2，5，−3)，则点A．（1，﹣6，3） B．（5，4，﹣3） C．（﹣1，6，﹣3） D．（2，5，﹣3）7．（2024秋•站前区校级期末）下列可使a→，b→，A．a→，b→，c→两两垂直 B．bC．a→=mb→+nc8．（2025春•张掖校级期中）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记PA→=aA．−34a→C．−14a二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•盐城校级期中）关于空间向量，以下说法正确的是（）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若a→⋅b→C．已知向量组{a→，bD．已知A，B，C不共线，对空间任意一点O，若OP→=34OA→+18（多选）10．（2025•河北开学）已知空间中三个向量a→=(1，2，−1)，b→A．|aB．(aC．b→在c→上的投影向量为D．cos（多选）11．（2024秋•青岛校级期末）已知空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则下列说法正确的是（）A．OB→B．cos〈C．点O到直线BC的距离为5 D．O，A，B，C四点共面（多选）12．（2024•成都开学）已知a→，b→，A．c→，a→+c→，a→−c→ B．a→，2b→，b→−c三．填空题（共4小题）13．（2025春•兴化市期中）已知向量p→在基底{a→，b→，14．（2025春•杨浦区期中）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，如图建系，若DB1→的坐标为（4，3，2），则A15．（2025春•驻马店月考）已知m∈R，向量a→=(1，m，−2)，b→=(16．（2024秋•新城区期末）若{e1→，e2→，e3→}是空间的一个基底，且向量a→=e四．解答题（共4小题）17．（2025春•江苏校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．（1）若向量kAB→−AC→（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．18．（2025春•兴化市校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．（1）若向量kAB→−AC→（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．19．（2024秋•丽水期中）如图，在空间四边形OABC中，点D为BC的中点，2AE→=ED→，设OA（1）试用向量a→，b→，c→（2）若OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求OE→20．（2024秋•福州期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，设AB（1）试用a→，b→，c→表示向量AC（2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量AC→与B

高考数学一轮复习空间向量基本定理及坐标表示答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025春•仁寿县校级期中）设向量a→，b→，A．{a→−2bC．{3a→+【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；逻辑思维．【正确答案】C【分析】根据空间向量的共面定理和空间基底的条件即可解答．解：A选项，由于0→B选项，由于a→C选项，由于向量a→，b→，c→不共面，故c即c→与3D选项，因为a→故选：C．【点评】本题考查空间向量共面的判定，属基础题．2．（2024秋•库尔勒市校级期末）已知空间向量AB→=(2，−1，3)，则A．2 B．14 C．2 D．14【考点】空间向量线性运算的坐标表示．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】B【分析】根据模长公式即可求解．解：因为空间向量AB→所以|AB故选：B．【点评】本题主要考查了空间向量的模长公式，属于基础题．3．（2025春•高邮市期中）已知向量a→=(−1，2，1)，b→=(2，x，A．﹣10 B．﹣2 C．2 D．10【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】A【分析】根据空间向量共线定理得出x，y，代入计算即可．解：由题意可得，−12=2x=那么2x+y＝﹣8﹣2＝﹣10．故选：A．【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．4．（2025春•高邮市期中）对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（）A．AP→=2OA→C．CP→=2OA【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】C【分析】对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，当点P满足：OP→=xOA→+yOB→+zOC→，且x+y+z＝1时，可得出点P在平面ABC解：A.OP→−OA→=2OA→+OBB.OB→−OP→=OA→+OBC.OP→−OC→=2OA→+3OBD.OB→−OA→=2(OP→−OA→)+故选：C．【点评】本题考查了点P在平面ABC内的充要条件，向量的数乘运算，是基础题．5．（2025春•盐城期中）已知向量a→=（﹣3，2，3），b→=（1，x，﹣1）且A．0 B．13 C．−32【考点】空间向量运算的坐标表示；平面向量的相等与共线；空间向量的共线与共面．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】D【分析】利用空间向量平行的坐标关系求解．解：∵向量a→=（﹣3，2，3），b→=（1，∴1−3解得x=−2故选：D．【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．6．（2025春•常州期中）已知点A（3，﹣1，0），若向量AB→=(2，5，−3)，则点A．（1，﹣6，3） B．（5，4，﹣3） C．（﹣1，6，﹣3） D．（2，5，﹣3）【考点】空间向量运算的坐标表示；空间向量及其线性运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】B【分析】直接利用向量的坐标运算的应用求出结果．解：设B（x，y，z），由于点A（3，﹣1，0），若向量AB→故：x−3=2故B（5，4，﹣3）．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．（2024秋•站前区校级期末）下列可使a→，b→，A．a→，b→，c→两两垂直 B．bC．a→=mb→+nc【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】A【分析】根据基底的定义以及向量的共面定理可解．解：要使a→，b→，c→构成空间的一个基底，则a→，结合选项可知，只有选项A，a→，b→，选项B：b→=λc→，能推出a→与选项C：a→=mb→+nc→选项D：a→+b→+c→=0故选：A．【点评】本题考查基底的定义以及向量的共面定理，属于基础题．8．（2025春•张掖校级期中）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记PA→=aA．−34a→C．−14a【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】A【分析】结合图形，利用向量的线性运算将所求向量用基底{a解：如图，连接AG并延长交BC于点D，连接PD．因G为△ABC的重心，PA→故AG→又PM＝3MG，故AM=−1故选：A．【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•盐城校级期中）关于空间向量，以下说法正确的是（）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若a→⋅b→C．已知向量组{a→，bD．已知A，B，C不共线，对空间任意一点O，若OP→=34OA→+18【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；空间向量的共线与共面．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】ACD【分析】根据空间向量共面定理即可判断A；根据a→⋅b→＞0可得0≤〈a→，b解：根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；对于B，由a→⋅b→＞0对于C，假设2a→，b→，c→因向量组{a→，b→，c→故假设不成立，{2a→，b→对于D，因OP→=34OA→+18OB→+1故选：ACD．【点评】本题主要考查空间向量的基本定理，属于基础题．（多选）10．（2025•河北开学）已知空间中三个向量a→=(1，2，−1)，b→A．|aB．(aC．b→在c→上的投影向量为D．cos【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】ACD【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算，即可依次求解．解：a→则|a→|=向量a→=(1，2，−1)，则a→b→则(a→+b→⋅c故b→在c→上的投影向量为b→a→⋅b故cos＜a→故选：ACD．【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于基础题．（多选）11．（2024秋•青岛校级期末）已知空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则下列说法正确的是（）A．OB→B．cos〈C．点O到直线BC的距离为5 D．O，A，B，C四点共面【考点】空间向量数量积的坐标表示；空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离；空间中点到平面的距离；空间向量的共线与共面．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】ABC【分析】计算数量积判断A，求向量夹角判断B，利用向量垂直判断C，根据空间向量共面定理判断D．解：由题意可知，OA→=(0，1，2)，OB→所以OB→⋅BC又OA→⋅OB→=所以cos＜OA→因为OB→⋅BC→=0，所以OB→⊥BC→，|OC→假设若O，A，B，C四点共面，则OA→设OC→=x则2y=3x=22x−y=1，此方程组无解，所以O故选：ABC．【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．（多选）12．（2024•成都开学）已知a→，b→，A．c→，a→+c→，a→−c→ B．a→，2b→，b→−c【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】BCD【分析】根据已知条件，结合基底的定义，即可求解．解：对于A，c→=12(a→对于BCD，三个向量均不共面，可以构成基底，故BCD正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查空间向量基本定理，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•兴化市期中）已知向量p→在基底{a→，b→，【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】（2，1，3）．【分析】根据待定系数法求解即可．解：由题意，p→=2a→+3设p→=x（a→+b→）+y（b→+c→）+zc→=xa→则x＝2，x+y＝3，y+z＝4，解得x＝2，y＝1，z＝3，则p→在基底{【点评】本题考查空间向量的应用，属于基础题．14．（2025春•杨浦区期中）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，如图建系，若DB1→的坐标为（4，3，2），则A【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】（﹣4，3，2）．【分析】根据空间向量的坐标表示可得．解：由题意DB1→=(4，3，2)，故AD＝4，AB故C1（0，3，3），A（4，0，0），故AC故（﹣4，3，2）．【点评】本题主要考查空间向量的坐标表示，属于基础题．15．（2025春•驻马店月考）已知m∈R，向量a→=(1，m，−2)，b→=(m，2，3)【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】整体思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】21．【分析】根据空间向量数量积的坐标表示，建立方程，可得答案．解：由题意，a→解得m＝4，则a→=（1，4，﹣2），所以故21．【点评】本题考查空间向量的数量积，属于基础题．16．（2024秋•新城区期末）若{e1→，e2→，e3→}是空间的一个基底，且向量a→=e【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】﹣1．【分析】根据已知可设e1解：因为向量a→=e1→所以存在实数x、y使得c＝xa+yb，即e1+te3＝x（e1+e2）+y（e2+e3），即e1+te3＝xe1+（x+y）e2+ye3，因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，则x=1，x+故﹣1．【点评】本题考查了空间向量，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•江苏校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．（1）若向量kAB→−AC→（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．【考点】空间向量数量积的坐标表示；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】（1）1413（2）33【分析】（1）根据空间向量坐标运算公式求出kAB→−AC→（2）根据空间向量数量积公式△ABC中角A的余弦值即cos∠BAC，进而求出sin∠BAC，再由面积公式求出S△ABC，即可求四边形面积．解：（1）因为A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5），所以AB→=(1，4，6)−(0，2，3)=(1，2，3)，所以kAB∵向量（kAB→−AC→解得k=（2）∵AB→⋅AC∴由数量积公式得出向量夹角余弦值，即cos∠则sin∠以AB，AC为邻边构成平行四边形面积S＝2S△ABC，而S△∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S=2【点评】本题考查空间向量线性运算即数量积运算，属于基础题．18．（2025春•兴化市校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．（1）若向量kAB→−AC→（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．【考点】空间向量数量积的坐标表示；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】（1）1413（2）33【分析】（1）根据空间向量坐标运算求出kAB→−（2）根据数量积公式求出三角形ABC中角A余弦值即cos∠BAC，再由面积公式求出S△ABC，即可得出平行四边形面积．解：（1）∵A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5），∴AB→=(1，4，6)−(0，2，3)=(1，2，3)，∴kAB∵kAB→−AC→解得k=（2）∵AB→⋅AC∴cos∠BAC=∴S△∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S四边形=2【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，属于基础题．19．