2026年高考数学一轮专题训练：空间向量基本定理及坐标表示1 含答案

/空间向量基本定理及坐标表示一．选择题（共8小题）1．（2024春•内蒙古期中）已知{a→，A．0→ B．b→−a→ 2．（2024秋•成都期中）设x，y∈R，向量a→=（x，1，﹣2），b→=（3，﹣2，2），且a→A．2 B．4 C．26 D．263．（2024秋•端州区校级期中）在四面体OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→A．a→−14b→−144．（2024秋•海淀区校级期中）已知a→=(x，1，−3)，b→=(1，3，−9)，如果A．1 B．12 C．13 5．（2024秋•江阴市期中）设{a→，b→，c→}为空间的一个基底，OA→=2a→A．14 B．12 C．236．（2024秋•凉山州期中）如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量a→=OA→，b→A．16a→+C．13a→7．（2024秋•吉林期中）若{a→，b→，A．a→，b→，a→+b→ B．a→，8．（2024秋•郑州月考）若向量{e1→，e2→，e3→}是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a→，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得：a→=xe1→A．(12，−3C．(−12，二．多选题（共4小题）9．（2024秋•张家口月考）下列说法正确的是（）A．向量c→=(3，0，−2)与向量aB．若p→与a→，b→共面，则∃x，yC．若{a→，bD．若MP→=xMA→+yMB→10．（2024•尖草坪区校级开学）若{a→，b→，A．a→+b→，a→−b→，cC．3a→−4b→，2b→−3c→，3a→−611．（2024秋•安徽期末）已知{aA．c→，a→+bB．存在不全为零的实数x，y，z，使得xaC．若d→−a→=0D．若(a→12．（2024秋•绿园区校级期末）下列命题中，正确的有（）A．若向量a→，bB．若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥C．在四面体P﹣ABC中，若PA→•BC→=0，PC→•AB→D．若向量a→+b三．填空题（共4小题）13．（2024秋•小店区校级月考）已知点P在平面ABC上，点O是空间内任意一点，且OP→=12OA→+mOB14．（2024秋•兴庆区校级月考）已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若m→=a→+2b→−3c→15．（2024秋•玉溪月考）空间内四点A（0，0，0），B（1，0，0），C（12，32，0），D可以构成正四面体，则AD16．（2022秋•龙岗区校级期末）已知向量a→=(1，1，0)，b→=(m，0，2)，cos⟨四．解答题（共4小题）17．（2024秋•广饶县校级月考）已知空间中三点A(1，−（1）若向量m→与AB→平行，且|m（2）求以CB，CA，为邻边的平行四边形的面积．18．（2024秋•甘肃校级期中）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，各条棱长均为m，底面是正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝120°，设AB→=a→，（1）用a→，b→，c→表示B（2）求异面直线AC与BD1所成的角的余弦值．19．（2024秋•临海市校级月考）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，E是BC的中点．令AB→=a→，（1）用a→，b→，c→（2）求ED1的长．20．（2024秋•四子王旗期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB长为2，AD长为1，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°，M是PC的中点．设AB→=a→，（1）试用a→，b→，c→（2）求BM的长．

空间向量基本定理及坐标表示答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2024春•内蒙古期中）已知{a→，A．0→ B．b→−a→ 【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】C【分析】直接利用基底向量的定义求出结果．解：由于向量m→与向量0所以不能构成空间的一个基底．故选：C．【点评】本题考查的知识点：向量的基底，主要考查学生的运算能力，属于基础题．2．（2024秋•成都期中）设x，y∈R，向量a→=（x，1，﹣2），b→=（3，﹣2，2），且a→A．2 B．4 C．26 D．26【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】C【分析】直接利用向量的数量积运算求出向量的坐标，进一步求出向量的模．解：由于向量a→=（x，1，﹣2），b→=（3，﹣2，2），且a→⊥b故a→则：a→所以|a故选：C．【点评】本题考查的知识点：向量垂直的充要条件，向量的坐标运算，向量的模，主要考查学生的运算能力，属于中档题．3．（2024秋•端州区校级期中）在四面体OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→A．a→−14b→−14【考点】空间向量单位正交基底及其表示空间向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】D【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．解：四面体OABC中，OA→=a→，OB→=b→，如图所示：所以OG→由OP→=1故AP→故选：D．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．4．（2024秋•海淀区校级期中）已知a→=(x，1，−3)，b→=(1，3，−9)，如果A．1 B．12 C．13 【考点】空间向量线性运算的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】C【分析】直接利用向量共线的充要条件求出x的值．解：由于a→=(x，1，−3)，故x1=13故选：C．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．5．（2024秋•江阴市期中）设{a→，b→，c→}为空间的一个基底，OA→=2a→A．14 B．12 C．23【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】D【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可．解：设{a→，b→，c由已知OA→，OB→，则可设OC→即ka即2x+y=k3故选：D．【点评】本题考查的知识点：共面向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题．6．（2024秋•凉山州期中）如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量a→=OA→，b→A．16a→+C．13a→【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】A【分析】利用空间向量的加法和减法可得出OP→在基底{解：M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量a→=OA→，因为P是MN靠近N的三等分点，则MP→所以，OP→−OM→=2(因为N为BC的中点，则ON→因为M为OA的中点，则OM→因此，OP→故选：A．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．7．（2024秋•吉林期中）若{a→，b→，A．a→，b→，a→+b→ B．a→，【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；空间向量的共线与共面．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】C【分析】直接利用共面向量基本定理的应用求出结果．解：对于A：由于a→+b→=a→+b对于B：由于a→=3对于C：不存在实数x，y使得c→+b对于D：由于c→+b故选：C．【点评】本题考查的知识点：向量的基底，共面向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题．8．（2024秋•郑州月考）若向量{e1→，e2→，e3→}是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a→，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得：a→=xe1→A．(12，−3C．(−12，【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】A【分析】借助待定系数法设p→=m解：由题意可得p→设p→即有−a即可得m+n=−1m−即向量p→在基底{a→故选：A．【点评】本题考查的知识点：向量的基底，向量的坐标运算，共面向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．二．多选题（共4小题）9．（2024秋•张家口月考）下列说法正确的是（）A．向量c→=(3，0，−2)与向量aB．若p→与a→，b→共面，则∃x，yC．若{a→，bD．若MP→=xMA→+yMB→【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；空间向量的共线与共面．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】ABC【分析】直接利用共面向量基本定理和向量的基底的定义判断A、B、C、D的结论．解：对于A：向量c→=(3，0，−2)与向量a→=(1，−1，0)，b→=(2，1，−2)对于B：由于p→与a→，b→共线，根据共面向量基本定理，一定存在x，y使p对于C：若{a→，b→，c对于D：若MP→=xMA→+yMB→(x故选：ABC．【点评】本题考查的知识点：共面向量，向量的基底，主要考查学生的运算能力，属于中档题．10．（2024•尖草坪区校级开学）若{a→，b→，A．a→+b→，a→−b→，cC．3a→−4b→，2b→−3c→，3a→−6【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】计算题；转化思想；等体积法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】AB【分析】直接利用向量的基底的定义求出结果．解：因为{a→+b对于B：设a→+b→=x(对于C：3a→−6c→对于D：因为a→+b→=a→+b故选：AB．【点评】本题考查的知识点：基底向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．11．（2024秋•安徽期末）已知{aA．c→，a→+bB．存在不全为零的实数x，y，z，使得xaC．若d→−a→=0D．若(a→【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】AD【分析】直接利用向量的线性运算，向量的基底，点关于面的对称，向量的数量积判断A、B、C、D的结论．解：对于A：因为c→=a→+b→+c对于B：若存在不全为零的实数x，y，z，使得xa→+yb→+zc对于C：当d→≠0→时，故：d→⊥b→，对于D：由(a→+b→+c故选：AD．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的基底，点关于面的对称，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．12．（2024秋•绿园区校级期末）下列命题中，正确的有（）A．若向量a→，bB．若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥C．在四面体P﹣ABC中，若PA→•BC→=0，PC→•AB→D．若向量a→+b【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】整体思想；数形结合法；空间向量及应用；数学抽象；逻辑思维．【正确答案】ACD【分析】根据空间向量基本定理，向量的数量积的应用判断A、B、C、D的结论即可．解：对于A，若向量a→，b→与空间任意向量都不能构成基底，则两个向量为共线向量，即对于B，若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，b对于C：在四面体P﹣ABC中，若PA→•BC→=0，PC作PO⊥平面ABC，垂足为O，由于PA→•BC→=0，所以AO同理PC→⋅AB→=0所以O为△ABC的垂心，BO⊥AC，所以AC⊥平面BOP，故AC⊥PB，故PB→•AC→=若向量向量a→+b→，b→+cd→=x(a→+b→)+y(b→+c→)+z则a→，b故选：ACD．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间向量基本定理、正交分解及坐标表示，考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2024秋•小店区校级月考）已知点P在平面ABC上，点O是空间内任意一点，且OP→=12OA→+mOB【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】﹣1．【分析】直接利用向量共面的充要条件求出结果．解：已知点P在平面ABC上，点O是空间内任意一点，且OP→=12OA→+mOB故﹣1．【点评】本题考查的知识点：向量共面的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．14．（2024秋•兴庆区校级月考）已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若m→=a→+2b→−3c→【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】3．【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．解：已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若m→=a→+2b→若m→∥n→，则1x+3=故3．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．15．（2024秋•玉溪月考）空间内四点A（0，0，0），B（1，0，0），C（12，32，0），D可以构成正四面体，则AD→=【考点】空间向量线性运算的坐标表示．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．【正确答案】(1【分析】由已知正四面体ABCD的棱长为1，得到D的竖坐标为正四面体的高，求出△ABC的外接圆半径，得到所以正四面体的高，横坐标，纵坐标即底面三角形ABC的重心坐标，由此能求出结果．解：由已知正四面体ABCD的棱长为1，所以D的竖坐标为正四面体的高，△ABC的外接圆半径为12所以正四面体的高为12而横坐标，纵坐标即底面三角形ABC的重心坐标：xD=0+1+所以D故(1【点评】本题考查正四体结构特征、三角形外接圆、重心等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．（2022秋•龙岗区校级期末）已知向量a→=(1，1，0)，b→=(m，0，2)，cos⟨a→【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】(−1，1【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得m＝﹣1，再由向量a→+kb→与2a→+b→所成角为锐角，得到(a解：由向量a→=(1，1，0)，b→因为cos〈a→解得m＝﹣1，所以b→=(−1，0，2)，所以a→又因为向量a→+k所以(a→+若向量a→+kb→与2所以实数k的范围是(−1，1故(−1，1【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•广饶县校级月考）已知空间中三点A(1，−（1）若向量m→与AB→平行，且|m（2）求以CB，CA，为邻边的平行四边形的面积．【考点】空间向量线性运算的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）(−1，22，2)或(1，−22【分析】（1）由已知可设m→=λAB→（2）利用空间向量的夹角公式求出cos＜解：（1）空间中三点A(1，−所以AB→因为向量m→与AB→平行，所以可设所以m→因为|m→|=所以λ＝±1，所以m→=(−1，22所以m→的坐标为(−1，22，2)（2）因为A(1，−所以CB→所以cos即cos∠又∠ACB∈（0，π），所以sin∠所以△ABC的面积S=所以以CB，CA为邻边的平行四边形的面积为17．【点评】本题考查向量的模长公式、投影定义、投影向量、空间向量夹角公式、三角形的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（2024秋•甘肃校级期中）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，各条棱长均为m，底面是正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝120°，设AB→=a→，（1）用a→，b→，c→表示B（2）求异面直线AC与BD1所成的角的余弦值．【考点】空间向量基底表示空间向量；异面直线及其所成的角．【专题】综合题；数形结合；定义法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】见试题解答内容【分析】本题第（1）题先根据题意及图形即可用a→，b→，c→表示BD1第（2）题先用a→，b→表示AC→，再结合第（1）题计算出AC→•BD1→的结果，然后根据向量的数量积公式可计算出cos＜AC解：（1）由题意及图，可知BD则|BD1→=a＝m2+m2+m2﹣0﹣2m2cos120°+2m2cos120°＝3m2，∴|B（2）由题意及图，可知AC→∴AC=a=a＝m2cos120°﹣m2+m2+m2cos120°＝﹣m2，又∵|BD1∴cos〈∴异面直线AC与BD1所成的角的余弦值是66【点评】本题主要考查向量的运算，以及数量积在立体几何中的运用．考查了数形结合思想，向量的表示，模的计算，向量的运算，向量数量积的运用，以及空间想象