医学统计学（第3版）课件 第四章 常用概率分布

第四章常用概率分布教材名称目录正态分布二项分布2Poisson分布3一、正态分布

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4概念特征标准正态分布应用正态分布的概念最早由德国数学家高斯（C.F.Gauss）提出，也称为高斯分布（Gaussiandistribution）正态分布是统计学的基本理论分布之一，也是自然界最常见的分布之一如人体生化指标、身高、体重、测量误差等2016年某大学预防医学专业学生《医学统计学》考试成绩Page

5组段频数频率（%）44-4811.049-5355.054-5888.059-631111.064-681515.069-731919.074-781515.079-831111.084-8888.089-9355.094-9822.0合计100100.0学生成绩频率密度图及概率密度曲线正态分布概率密度曲线频数分布表和频率密度分布图中的数据呈中间频数多，两边频数渐少且近似对称将直条顶端中点连接起来形成频率密度折线若样本量增大，再将组距缩小，组段分细，直条宽度变窄，频率密度折线趋于一条光滑的曲线。正态分布的概念高峰位于中央，两侧逐渐下降并完全对称，两端永远不与横轴相交的钟形曲线称为正态分布曲线其概率密度函数和概率分布函数分别为其中，μ为总体均数，σ为总体标准差正态分布的概念如果连续型随机变量X具有如上概率密度函数，则称该连续型随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布（Normaldistribution），记为X~N(μ,σ2)正态分布概率密度曲线下面积P(X)，可根据正态分布概率分布函数计算

正态分布的概率密度函数与概率分布函数示意图正态分布曲线下面积示意图正态分布的特征正态分布呈钟形，单峰，且关于X=μ

对称正态分布概率密度函数在X=μ

处最大，X=μ±σ

处有拐点正态分布有两个参数：位置参数μ

和形状参数（变异度参数）σ正态分布位置变换示意图正态分布形态变换示意图正态分布的特征任何正态分布N（μ，σ²)，其概率密度曲线下的面积具有共同规律曲线下面积为1在区间（μ±σ）上的面积为68.27%；在区间（μ±1.64σ）上的面积为90.00%；在区间（μ±1.96σ）上的面积为95.00%；在区间（μ±2.58σ）上的面积为99.00%。正态分布的特征图4-7正态分布曲线下面积分布规律示意图标准化变换如果随机变量X服从正态分布N（μ，σ²），则将随机变量X进行如下变换u服从标准正态分布N（0，1）该变换称为标准化变换（standardizedtransformation）标准正态分布当μ=0，σ=1时，称为标准正态分布（standardnormaldistribution），记为u~N（0，1）。其概率密度函数和分布函数分别记为标准曲线下面积规律标准正态分布的概率密度曲线与分布函数示意图标准正态分布标准正态分布曲线下面积分布表-简化正态分布计算服从标准正态分布的随机变量在区间(-∞,Z)(Z≤0)上曲线下的面积，可直接查表标准正态分布例4-1设Z~N(0,1)，计算（1）Z取值在区间(-1.96,1.96)内的概率；（2）Z取值在区间(-1.96,1.96)以外的概率。

标准正态分布例4-2已知某地20岁正常成年男性的脉搏数服从正态分布，抽样调查该地110名正常成年男性，得脉搏数的样本均数为76（次/分）、样本标准差为3.6（次/分），试估计该地20岁正常成年男性脉搏数介于70~80（次/分）之间的比例。标准正态分布故该地区20岁正常成年男性脉搏数介于70~80（次/分）之间的比例为81.90%。

正态分布的应用确定医学参考值范围质量控制统计学的重要基础理论之一正态分布的应用确定医学参考值范围医学参考值范围(medicalreferencerange)，：特定的“正常人”的某项指标值（包括解剖、生理、生化指标及组织代谢产物含量等）数据中绝大多数个体的取值所在范围。“正常人”指排除了可能影响研究指标的因素或疾病的个体的同质的所有人。“绝大多数”：90%、95%、99%正态分布的应用具体步骤（1）确定“正常人”对象的范围，抽取足够样本量（2）统一测量标准（3）确定分组（4）确定医学参考值范围的单双侧（5）确定百分比范围（6）根据资料的分布类型，确定医学参考值范围制定方法正态分布的应用方法百分位数法：偏态分布、非对称分布/未知分布类型正态分布法：正态分布资料正态分布的应用

故该地20岁正常成年男性脉搏数的95%参考值范围为68.9~83.1（次/分）

正态分布的应用质量控制医学研究中很多指标都是围绕某个值随机波动，不存在某些影响较大的因素理论依据即正态分布曲线下的面积规律：若某指标值服从正态分布，对每一次测量落在(μ-3σ,μ+3σ)区域以外的概率几乎为0，可以认为是不可能事件。质量控制图控制图的横轴表示时间，纵轴上有七个特殊的点，分别延长形成七条水平线，其中μ所在的水平线为中心线，μ±2σ为上下警戒限，μ±3σ为上下控制限。某实验室采用某一标准品对仪器进行校正，连续测得20个数据，绘制质量控制图如图4-9图4-9同一标准品测定值控制图正态分布的应用统计学的重要基础理论之一很多统计推断是以正态分布为条件的，比如t检验，方差分析等大样本资料时非正态分布也可作正态近似处理二项分布和Poisson分布的正态近似二、二项分布

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3概念特征应用二项分布的概念伯努利试验为医学研究中常用的一类试验伯努利试验特点：只有两种互斥结果独立重复试验中，条件相同，事件A发生的概率相同研究关心事件A发生次数二项分布的概念例4-4假设某校中学生的近视率为10%，随机从该校中学生中抽取3名学生，问3名学生中出现1名学生近视的概率是多少？用甲、乙、丙代表3名学生，则3名学生是否发生近视就是3重伯贝努利试验。故3名学生中任一名发生近视的概率为24.3%

二项分布的概念n重伯努利试验中，事件A的发生次数X服从的概率分布即二项分布，记为X~B(n,π)一种离散型概率分布。参数n称为离散参数，只能取正整数；参数π是每次“试验”事件A发生的概率。其概率函数为

二项分布的特征二项分布图形在π

为0.5时呈对称分布；样本量越大，图形越趋于对称分布二项分布的均数与标准差分别为

二项分布正态近似：nπ与n(1-π)均大于或等于5二项分布概率分布示意图当n很大时，二项分布逼近正态分布示意图二项分布的应用概率估计及累积概率计算。例4-5据报道，有10%的人接种某免疫疫苗后会出现不良反应。现有5人接种此疫苗，试求：(1)其中k个人出现不良反应的概率；(2)至多2人出现不良反应的概率；(3)有人出现不良反应的概率。二项分布的应用5人接种疫苗，即5重伯努利试验，不良反应人数X服从二项分布B(5,0.10)(1)其中k个人出现不良反应的概率；

X=k012345P(X=k)0.590490.328050.072900.008100.000450.00001(2)至多2个人出现不良反应的概率；

(3)有人出现不良反应的概率；

三、Poisson分布

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3概念特征应用Poisson分布的概念Poisson分布也是一种离散型概率分布，用于描述在单位空间或时间内某稀有时间发生次数的概率分布情况。生物医学中，如人群中患病率很低的非传染性疾病患病数或死亡数、医院单位时间内的门诊就诊人数等Poisson分布产生机制设玻片上血细胞平均个数为μ，将玻片等分为n个小格子（n很大）每个小格子上只能有/无血细胞，不可能出现两个/更多血细胞每个小格子是否有血细胞概率相等各个格子之间是否出现血细胞相互独立Poisson分布的概念Poisson分布是二项分布的极限如果X~B(n,π)，π很小，n很大，X近似服从μ=nπ的Poisson分布，记为X~Π(μ)，μ为其唯一参数其概率函数为

μ>0，为某一常数；e=2.7182⋯为自然对数的底数Poisson分布的特征Poisson分布图形特征：μ值愈小，Poisson分布愈不对称；随着μ的增大，分布趋于对称Poisson分布正态近似：μ≥20Poisson分布总体均数与总体方差相等Poisson分布具有可加性

Poisson分布的概率分布示意图Poisson分布的特征例如，已知某地新生儿中罹患染色体异常的例数近似服从Poisson分布。设该地每年新生儿中罹患染色体异常的例数为0.5（假定每年该地新生儿出生人数大致相同），现考虑连续10年罹患染色体异常的新生儿例数的分布情况。Poisson分布的特征由于第i年罹患染色体异常的新生儿例数Xi~Π(0.5)(i=1,2,⋯,10)，且各Xi互相独立，据Poisson分布的可加性，可得：即10年内罹患染色体异常的新生儿例数仍服从Poisson分布，且总体均数为5。

Poisson分布的应用应用条件：作为二项分布极限，适用二项分布应用条件

n很大，π很小n和π未知，已知总体均数μ即可Poisson分布的应用概率计算：例4-6某矿泉水公司为监测其水源地水质污染情况，从该水源地独立抽取水样400次，进行细菌培养后计数水样中的菌落数，结果如下菌落数0123合计频数f243120316400试分析该水源地水样中菌落数的分布是否服从Poisson分布。Poisson分布的应用每次水样中平均菌落数为0.500，方差为0.496，两者很接近，可以认为每次水样中菌落数服从Poisson分布，以样本均数代替总体均数，得

经计算，可得菌落数的概率分布菌