小学数学三年级下册《除法运算中的“不变”奥秘：除数是一位数运算律前概念探究》教案

小学数学三年级下册《除法运算中的“不变”奥秘：除数是一位数运算律前概念探究》教案

一、教学内容分析

本课教学内容源自人教版小学数学三年级下册第二单元“除数是一位数的除法”，是在学生已经掌握了表内除法、有余数除法以及除数是一位数、被除数首位够除的笔算除法基础上进行的一次深度拓展与整合探究。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》的视角解构，本课属于“数与代数”领域“数的运算”主题，但又不囿于单纯的技能习得，而是站在大单元教学的视角，引导学生初步感知除法运算中蕴含的某种“规律性”或“不变性”，为后续四年级系统学习“商不变的规律”以及“除法的运算性质”埋下伏笔。教材的传统编排侧重于算法的掌握，即“怎么算”，而本设计则力图向前推进一步，引导学生在多样的除法算例中，通过观察、比较、归纳，提出“在除法计算中，什么变了，什么没变？”的深层追问。这不仅仅是计算技能的训练，更是数学推理意识与模型意识的启蒙。本课内容在知识体系上承前启后，它既是对已学除法计算的一次系统性梳理与提升，更是从“程序性知识”走向“观念性知识”的关键一跃，旨在帮助学生构建更为宏观和结构化的数学认知框架。

二、学情研判

学生在此之前已经能够较为熟练地计算除数是一位数的除法，包括首位够除和首位不够除（需要试商）的情况，对“从高位算起”、“除到哪一位商就写在哪一位上面”、“余数要比除数小”等计算法则已有初步的感性认识。然而，【基础】层次的学情分析显示，学生的认知往往停留在“按步骤操作”的程序性层面，对于不同除法算式之间是否存在内在联系，以及这些联系背后是否隐藏着某种不变的规律，缺乏主动探究的意识和能力。部分学生在计算中常出现试商速度慢、余数处理不当等问题，这恰恰说明他们对算理的理解尚未达到融会贯通的程度。此外，【非常重要】的学情点是，学生在本学期前已经积累了丰富的乘法运算律的学习经验（如交换律、结合律、分配律），这为他们类比迁移至除法的探究提供了宝贵的思维工具。然而，除法与乘法在运算性质上存在显著差异（如除法不具有交换律和结合律），学生在类比过程中极易产生负迁移，这既是本课教学的【难点】，也是培养学生审辨式思维的绝佳契机。因此，教学设计必须精准对接学生的“最近发展区”，引导他们在计算实践中发现问题，在认知冲突中建构新知。

三、教学目标

基于核心素养导向，本课教学目标设定如下：

（一）【基础】知识与技能目标：学生通过观察、计算一组有结构的除法算式，能够发现并用自己的语言初步描述“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变”的现象。能够运用这一规律进行简单的除法计算或解决简单的实际问题，感受其简便性。

（二）【重要】过程与方法目标：学生经历“计算—观察—比较—猜想—验证—归纳”的完整探究过程，体验数学规律的发现需要严谨的论证。在小组合作学习中，能够倾听他人意见，并清晰表达自己的思考过程，发展合作交流与逻辑推理能力。

（三）【非常重要】情感态度与价值观目标：通过对除法运算中“变与不变”辩证关系的探究，初步感悟函数思想，激发对数学内在规律的好奇心和探索欲，增强学习数学的持久兴趣和自信心。

（四）学科思维目标：聚焦“推理意识”与“模型意识”的培养。引导学生从具体的除法算例中抽象出一般化的数学模型，并能运用模型进行解释和预测。同时，在对比乘法与除法运算性质的异同中，发展批判性思维与系统性思维。

（五）评价与元认知目标：通过课堂观察、即时反馈和课后反思，引导学生回顾本课发现规律的过程，评价自己在探究活动中的参与度和贡献度，逐步养成“举例验证”、“反思质疑”的良好数学学习习惯。

四、教学重点与难点

（一）教学重点：引导学生经历“变与不变”的观察视角，自主发现并理解“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变”的规律。其确立依据在于，这一规律是连接整数除法与后续小数除法、分数除法算理一致性的桥梁，是除法运算体系中的核心观念。从素养发展来看，掌握这一规律的价值不在于机械记忆，而在于经历一次完整的数学建模过程，这对于发展学生的抽象概括能力具有不可替代的作用，是【高频考点】更是素养培育的【核心节点】。

（二）教学难点：引导学生深入理解“商不变”规律背后的算理本质，即“计数单位在同步变化，而单位的个数保持不变”。具体而言，学生容易从形式上记住规律，却难以理解为什么被除数和除数变化了，商却没有变。例如，从10÷2=5到100÷20=5，学生知道结果相同，但未必能清晰地意识到这是将“10个一平均分成2份”变成了“10个十平均分成2份”，每份都是5个计数单位，只是计数单位由“一”变成了“十”。【难点】预设的依据在于，学生的抽象思维水平尚处于发展阶段，需要借助直观模型（如方格图、计数器）来支撑对“计数单位”这一核心概念的深度理解，从而跨越从形式模仿到意义理解的鸿沟。

五、教学准备清单

（一）教师准备：多媒体课件（包含结构化的算式组、直观的计数器和方格图演示动画）、精心设计的探究学习单（含观察记录表、猜想验证区、应用拓展题）、不同颜色的小棒和圆片学具若干套（备选）。

（二）学生准备：常规计算练习本、笔、橡皮。预习回顾已学的乘法运算律。

六、教学实施过程（核心环节）

（一）唤醒经验，引入“变与不变”的视角（约5分钟）

1.复习导入，聚焦“规律”。开课伊始，教师板书一组乘法算式：2×3=6，20×30=600，200×300=60000。引导学生快速口算并观察：从上往下看，因数是怎样变化的？积又是怎样变化的？学生调动已有认知，轻松说出“一个因数乘10，另一个因数也乘10，积就乘100”或“因数变大，积也变大”等结论。教师顺势追问：“在因数的变化中，有没有什么是一直不变的？”引导学生思考并发现，虽然具体的数变了，但“乘法”这种运算关系本身以及计算方法（如先忽略0再添0）的某些思路是不变的。

2.设疑激趣，引出课题。教师话锋一转：“看来在乘法世界里，因数与积总是‘同进同退’。那么，在我们刚刚学完的除法世界里，情况也是这样吗？被除数和除数变化了，商会跟着怎样变化？是同步变化，还是另有玄机？”由此激发学生的认知冲突，顺势板书揭示本课课题：《除法运算中的“不变”奥秘：除数是一位数运算律前概念探究》。【非常重要：通过乘法的“变”引出除法是否也有“变与不变”的思考，既复习了旧知，又渗透了研究数学问题的基本视角，即从变化中寻找不变的关系。】

（二）初步观察，发现“商不变”的“蛛丝马迹”（约8分钟）

3.聚焦核心算式，启动观察。课件呈现教材或精心设计的一组核心算式（由易到难，除数均为一位数）：

第一组：6÷3=2

第二组：60÷3=20

第三组：600÷3=200

第四组：120÷6=20

第五组：240÷6=40

（此处可根据学情增加或替换）

4.分层观察，引导表达。首先让学生独立计算，确保结果正确。【基础】随后，教师引导学生观察第一组和第二组：“请同学们仔细观察6÷3=2和60÷3=20，被除数发生了什么变化？除数呢？商又发生了什么变化？”学生容易发现被除数乘10，除数不变，商也乘10。接着观察第二组和第三组，得出类似结论。教师板书：“被除数乘几，除数不变，商也乘几。”

5.制造冲突，转向“同时变化”。教师指着第二组（60÷3=20）和第四组（120÷6=20）：“请同学们再看这两道算式，这一次，被除数怎样了？（乘2）除数又怎样了？（也乘2）结果呢？（没变，还是20）”。这个发现让学生眼前一亮，似乎触摸到了某种不一样的规律。教师再引导比较第一组（6÷3=2）和第五组（240÷6=40），让学生意识到，当被除数变化而除数不变，或者两者变化不一致时，商是会变的。此时，学生的注意力被自然引导至“被除数和除数同时变化，而商却神奇地保持不变”这一特殊现象上来。【重要：此处设计的算式组并非随意罗列，而是有结构地呈现，旨在让学生在大量的“变”中聚焦到“同时变而商不变”这一特例，为后续聚焦探究指明方向。】

（三）聚焦核心，深度探究“商不变”的奥秘（约20分钟）

6.提出猜想，明确探究任务。基于上述观察，教师引导学生提出一个大胆的猜想：“看来，在除法中，是不是存在这样一种可能——被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变？”（学生口述，教师规范板书猜想）。同时，引导学生思考：如果是同时除以一个相同的数呢？也会这样吗？由此确立本课核心探究任务：验证“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变”这一猜想是否成立。

7.小组合作，多元验证。教师将学生分成若干小组，并为每组提供不同的研究素材（学习单上有结构化的问题和留白）。【非常重要】探究要求：

（1）举例验证：每个小组自己举出至少两组不同的例子，来验证这个猜想。例子可以是表内除法，也可以是刚学的除法笔算（如48÷4=12，那么（48×2）÷（4×2）是否等于12？）。

（2）多元表征：鼓励学生不仅用算式计算，还可以尝试用小棒摆一摆、在计数器上拨一拨、或者画方格图来表示为什么商会不变。教师巡视指导，尤其关注学困生，引导他们借助直观学具理解“计数单位”的变化。

（3）记录发现：在小组内交流各自的验证结果，并将结论记录在学习单上。

8.汇报交流，碰撞思维。小组代表上台展示验证过程和发现。

第一种汇报：算式验证。学生展示他们举的例子，如8÷2=4，那么16÷4=4，80÷20=4……，发现确实成立。

第二种汇报：直观演示。有小组可能会利用计数器演示：要算80÷20，可以想成8个十除以2个十，结果就是4。而被除数和除数同时除以10，就变成了8÷2，结果还是4。这里，教师必须高度敏锐，抓住这一生成性资源，【难点突破】进行深度追问：“太棒了！为什么8个十除以2个十等于4，而8除以2也等于4？这个4的意思一样吗？”引导学生辨析：第一个4表示4个十？还是4？实际上，8个十除以2个十得到的是4（这里的4表示4个二十？还是4个一？），通过辨析让学生清晰认识到，无论是80÷20还是8÷2，商“4”都表示4个“一份的量”，只是前者的计数单位是“十”，后者的计数单位是“一”。正是因为被除数和除数的计数单位同步扩大或缩小，导致所分得的“份数”（即商）没有变。这个抽象的道理在直观操作中得以明朗化。

第三种汇报：可能出现反例。如果有小组举例验证时，发现同时乘0，算式无意义或商变成了0？教师及时引导学生讨论，完善规律表述：这个相同的数不能是0。因为除数和乘数都不能为0。

9.归纳总结，建构模型。在充分交流的基础上，师生共同归纳得出规律：在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。教师板书规律，并引导学生阅读课本（如有相关阅读链接），加深理解。【热点：此环节体现了“以学定教”，学生真正成为知识的发现者和建构者，教师的角色是引导者和深化者。】

（四）巩固内化，应用规律解决问题（约7分钟）

10.基础应用，形成技能。出示一组题目，要求学生运用规律快速填空或计算：

（1）如果48÷4=12，那么（48×3）÷（4×3）=（）。

（2）如果200÷5=40，那么（200÷5）÷（5÷5）=（）。（此处需引导学生讨论除数除以5是否可行，强化“同时”和“相同数”的概念）

（3）直接运用规律计算：320÷80，5600÷700。

11.变式练习，深化理解。设计辨析题：

下面的说法对吗？如果不对，请举例说明。

（1）被除数和除数同时乘10，商不变。（√）

（2）被除数和除数同时加上10，商不变。（×，让学生举例：10÷5=2，20÷15≠2）

（3）被除数和除数同时除以一个相同的数，商不变。（×，遗漏了0除外）

通过辨析，进一步夯实对规律中“同时”、“相同”、“0除外”等关键词的理解。【高频考点：这些关键词往往是考试和后续学习中容易出错的地方，必须通过正反例对比，加深印象。】

12.解决实际问题。呈现一个生活情境：我有120元钱，可以买3个篮球。按照这个价格，买30个篮球需要多少钱？引导学生运用商不变的规律（单价不变）来列式解答，感受数学规律在生活中的应用价值。

（五）回顾反思，沟通知识与方法的联系（约5分钟）

13.回顾发现之旅。教师引导学生回顾本课学习过程：“回想一下，今天我们是怎么发现这个‘商不变’的奥秘的？”引导学生梳理出“观察算式—提出猜想—举例验证—归纳规律”的探究路径。教师强调，这是数学家研究数学问题的常用方法，鼓励学生在今后的学习中也要敢于猜想、善于验证。

14.对比乘法与除法。引导学生对比思考：今天我们学习的“商不变规律”和以前学过的乘法运算律（如交换律、结合律、分配律）有什么不同？通过对比，学生初步感知除法不像乘法那样具有交换性和结合性，但除法也有自己独特的“不变”规律。这种对比有助于学生构建更为精确和丰富的运算认知结构。

15.布置课后延伸作业。请同学们回家后，尝试寻找生活中应用“商不变规律”的例子，或者思考：如果被除数和除数不是同时乘或除以一个相同的数，而是同时加上或减去一个相同的数，商会怎样变化？为下节课或后续学习留下思考的悬念。

七、板书设计

（主板书）

除法运算中的“不变”奥秘

——被除数和除数同时变，商不变？

一、观察发现

6÷3=2

60÷3=20（被除数×10，除数不变，商×10）

120÷6=20（被除数×2，除数×2，商不变？）

240÷6=40（被除数×4，除数不