湖南省长沙市一中2026届高三月考试卷（十）数学+答案

湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三下学期第十次月考数学试

题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

A=1,4,a+2B=1,a2

1.已知集合{}，{}，且AB=B，则a=()

A.1B.-1C.2D.-2

2.复数的值为()

A.-2iB.2iC.-2D.2

3.已知平面向量，为单位向量，且丄，若=2+，则cos）

A.B.C.D.

4.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=1,b=3，A=30o，则c为()

3

A.1B.2C.1或2D.1或

2

5.已知椭圆C的左丶右焦点分别为F1,F2，点P在C上，且满足

=·=则的离心率为()

PF12PF2,LPF2F12LPF1F2，C

A.·2-1B.C.D.

6.已知定义在[0,π)上的函数fx=cos⑴x__3sin⑴x(⑴>0)有最小值，但无最大值，则ω的取值范围

是()

1

A.B.CD.

7.已知在正三棱台ABC_A1B1C1中，AB=6,A1B1=2，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为

()

A.1B.2C.3D.2

8.现有n(n≥3,n∈N*)个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k

k=1,2,3,⋯,n

个袋中有k个红球，n_k个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每

2

个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取

5

出的球是白球的概率是()

1211

A.B.C.D.

25510

二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符

合题目要求，若全部选对得6分.部分选对得部分分，选错或不选得0分）

9.2025湖南省足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念，多元融合激活文旅消费，助推体育产业创新，创造

经济效益超4亿元.下表是常规赛各队的积分：

湘张

永常长株娄衡郴岳益邵湘怀

西家

州德沙洲底阳州阳阳阳潭化

州界

队队队队队队队队队队队队

队队

2226352723201919181311654

则下列说法正确的是()

A.积分数据的众数为19

B.积分数据的第70百分位数为22

C.积分数据的中位数为19.5

D.积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差小

10.已知抛物线y2=4x，其焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于A,B两点，过A,B分别作l的

垂线，垂足分别记为C,D，则()

A..是定值B.以CD为直径的圆过点F

2

C.对于l上的任一点P,LAPB<90恒成立D.△OAB面积的最小值为2

11.已知数列{an}满足a"+1=Sn为{an}的前n项和，则()

A.当a1=5时，a2026=5B.当a1=5时，S2026=4730

*

C.彐a1∈N，使得S2026=S8D.{an}为等比数列的充要条件是a1<0

三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）

i

12.已知aix，则ai=（用数字作答）

_→_→

13.在正方形ABCD所在平面内，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上，设AP=XAB+

__

__→

YAC(X,Y∈R)，则x+2y的最大值为.

x

14.已知函数f(x)=(x_m)2+2x+2m_4有三个不同的零点x1,x2,x3，且x1<x2<x3，则

222的最小值为

3x1+2x2+x3

四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.如图所示，在四棱锥P_ABCD中，底面是边长为6的正方形ABCD，PA=8，PA丄平面ABCD，

点M是CD的中点，点N是PB的中点．

（1）求证：AB丄MN．

（2）求二面角N_AM_B的余弦值．

*

16.已知数列{an}的前n项和为An，对任意"∈N，满足且a1=1数列{bn}满足

lgbn+2_2lgbn+1+lgbn=0，b其前3项和为

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交

叉排列”，得到一个新的数列：a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,…，求这个新数列的前33项和S33.

3

17.已知直线l与双曲线有唯一的公共点Q.

（1）若点N(2,4)在直线l上，求满足条件的所有直线l的方程；

（2）已知直线l的斜率为k，且k过点Q且与l垂直的直线交x轴于A(x1,0)，交y轴于B(0,y1)

点.是否存在定点M,N使得当点Q在双曲线上运动时，动点P(x1,y1)使得llPM|_|PNll为定值?若存在，

求出点M,N的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

x

18.已知函数f(x)=e.cosx（e为自然对数的底数）.

（1）求证：x∈(0,π)时，f(x)<x+1；

（2）设f(x)=m(_2π<x<2π)的解为xi（i=1，2，…),xi>xi+1.

①当xi时，求xi_f(xi+1)的取值范围；

②判断是否存在xi<π,使得xi+xi+1≥成立，并说明理由.

19.现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正

方体骰子，六个面分别以1~6标号.在棋盘上，以O为原点建立平面直角坐标系，设点A的坐标为(1,0).

棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子n次，用Xn表示第n次投掷后棋子的位置（X0为坐标原点），规定：

第n次掷得奇数,

其中向量,k为前n次投掷过程中，

次掷得偶数,

掷得偶数的总次数.

（1）求点X2所有可能的坐标；

（2）求投掷骰子8次后棋子在原点的概率；

（3）投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为r(0≤r≤80)的概率为p(r)，求

4

p(r)的表达式，并指出当r为何值时，p(r)取得最大值.

5

湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三下学期第十次月考数学试

题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

A=1,4,a+2B=1,a2

1.已知集合{}，{}，且AB=B，则a=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】由AB=B，得B≤A，进而得到关于a的方程，结合集合的性质求解即可.

【详解】由AB=B，得B≤A，

所以a2=1或a2=4或a2=a+2，解得a=1或a=2或a=-2或a=-1.

当a=1时，A=1,4,3}，B={1,1}，不符合集合元素的互异性，故舍去.

当a=2时，A={1,4,4}，B={1,4}，不符合集合元素的互异性，故舍去.

当a=-2时，A={1,4,0}，B={1,4}，符合题意.

当a=-1时，A=1,4,1}，B={1,1}，不符合集合元素的互异性，故舍去.

故a=-2.

2.复数的值为()

A.-2iB.2iC.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数除法与乘法法则求结果.

1

2

【详解=_2i,选A.

【点睛】本题重点考查复数的乘除运算，属于基本题.考查基本求解能力.

3.已知平面向量，为单位向量，且丄，若=2+，则cos）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量数量积的运算律，利用夹角计算公式求出余弦值即可.

【详解】由向量，为单位向量，又丄，知

因为=2+，则

所以cos

4.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=1,b=3，A=30o，则c为()

3

A.1B.2C.1或2D.1或

2

【答案】C

【解析】

【分析】应用余弦定理计算求解.

【详解】因为a=1,b=3，A=30o，

由余弦定理得1=3+c2__2xcx化简得c2_3c+2=0

则c=1或c=2.

5.已知椭圆C的左丶右焦点分别为F1,F2，点P在C上，且满足

PF=·2PFPFF=2PFF则C的离心率为()

12,L21L12，

A.2_1B.3_1C.D.

【答案】A

【解析】

2

设则

【详解】LPF1F2=α,LPF2F1=2α,在PF1F2中，由正弦定理得

又因为，所以整理得,

|PF1|=2|PF2|2sinα=sin2α=2sinαcosα

因为α为三角形内角，sinα≠0，所以cos则

故LP即PF1F2是以F2为直角顶点的直角三角形，

在RtPFF中FF=2c由勾股定理得|PF2=2+F2代入PF2PF得

12，|12|，1||PF2||F12|，|1|=·|2|，

2222解得|PF|2c所以PF222

(·|PF2|)=|PF2|+(2c)，2=，|1|=|PF2|=c，

根据椭圆的定义有2a22c+2c22所以

，=|PF1|+|PF2|=·=(+1)c，a=(·2+1)c，

因此，椭圆的离心率e

6.已知定义在[0,π)上的函数f(x)=cos⑴x-·、3sin⑴x(ω>0)有最小值，但无最大值，则ω的取值范围

是()

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【详解】f(xcos

因为x∈[0,π)，⑴>0，则⑴x+∈[,⑴π+)，

又f(x)有最小值，但无最大值，所以解得

3

7.已知在正三棱台ABC_A1B1C1中，AB=6,A1B1=2，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为

()

A.1B.C.3D.2

【答案】D

【解析】

【分析】由正棱台性质可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，然后由截面图结合勾股定理列出关

于球的半径的等量关系。即可求解.

【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为

由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，

如图，取BC和B1C1的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为O1，O2，

则

O1QO2P

设内切球的球心为O，半径为r，则正三棱台的高O1O2=2r，

内切球与相切于点，根据圆的性质可知，

PQMQM=O1QPM=O2P

则PQ=QM+MP

如图：

4

所以→r2=1，即r=1，

所以正三棱台的高为2

8.现有n(n≥3,n∈N*)个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第

k(k=1,2,3,,n)个袋中有k个红球，n_k个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中

2

连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球

5

的条件下，第三次取出的球是白球的概率是()

1211

A.B.C.D.

25510

【答案】A

【解析】

【分析】根据全概率公式及条件概率公式，结合第三次取出的球为白球的概率列出关于n的方程，求出n的

值，再根据条件概率公式求解即可.

【详解】设“取出第i个袋子”为事件Ai，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”为事件B，

则Ω=A1A2An，且A1,A2,,An两两互斥，i=1,2,3,,n，

所以PAiB=PAiAi

所以P=P+P++P

令解得n=5.

所以第1个袋子(k=1)：1红4白；第2个袋子(k=2)：2红3白；

5

第3个袋子(k=3)：3红2白；第4个袋子(k=4)：4红1白；

第5个袋子(k=5)：5红.

设前两次取出白球为事件C，第三次取出白球为事件D，则P.

P

所以P

故在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是.

二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符

合题目要求，若全部选对得6分.部分选对得部分分，选错或不选得0分）

9.2025湖南省足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念，多元融合激活文旅消费，助推体育产业创新，创造

经济效益超4亿元.下表是常规赛各队的积分：

湘张

永常长株娄衡郴岳益邵湘怀

西家

州德沙洲底阳州阳阳阳潭化

州界

队队队队队队队队队队队队

队队

2226352723201919181311654

则下列说法正确的是()

A.积分数据的众数为19

B.积分数据的第70百分位数为22

C.积分数据的中位数为19.5

D.积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差小

【答案】AB

【解析】

【分析】先从小到大排列，再应用众数，百分位数，中位数及方差定义计算判断各个选项即可.

【详解】将14支球队的积分，按照从小到大的顺序排列：4,5,6,11,13,18,19,19,20,22,23,26,27,35；

6

积分数据的众数为19，A选项正确；

因为14×0.7=9.8，所以积分数据的第70百分位数为第10个数据，即22，B选项正确；

积分数据的中位数为19，C选项错误；

积分最高的4队积分的平均数为积分最高的4队积分的方差

积分最低的4队积分的平均数为积分最低的4队积分的方差

29

,

4

所以积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差大，D选项错误；

10.已知抛物线y2=4x，其焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于A,B两点，过A,B分别作l的

垂线，垂足分别记为C,D，则()

A..是定值B.以CD为直径的圆过点F

C.对于l上的任一点P,LAPB<90恒成立D.△OAB面积的最小值为2

【答案】ABD

【解析】

【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及三角形面积公式

求解判断AD；利用抛物线的几何性质推理判断BC.

2,,(,

【详解】抛物线y=4x的焦点F(1,0)，准线l:x=_1，设直线AB:x=ty+1，A(x1y1)Bx2y2)，

2

由消去x，得y_4ty_4=0，则y1+y2=4t,y1y2=_4，

对于，，正确；

Ax1x2+y1yy1y2=_3A

对于B，连接CF,DF，由|AF|=|AC|,|BF|=|BD|,AC//OF//BD，

得LCFO=LACF=LAFC,LDFO=LBDF=LBFD，则LCFD=LCFO+LDFO=90，

因此以CD为直径的圆过点F，B正确；

对于C，取AB中点Q，当P为CD中点时，PQ//AC//BD,|PQAB|，则

7

LAPB=90，C错误；

1122

对于S22·+1≥2

D，OAB=|OF||y1_y2|=·(y1+y)_4y1y2=t，

22

当且仅当t=0时取等号，因此△OAB面积的最小值为2，D正确.

11.已知数列{an}满足an+1=Sn为的前n项和，则()

A.当a1=5时，a2026=5B.当a1=5时，S2026=4730

*

C.彐a1∈N，使得S2026=S8D.{an}为等比数列的充要条件是a1<0

【答案】BCD

【解析】

【分析】AB项通过递推数列规则依次求解各项，可得重复项，进而得到周期规律即可判断；C项取特殊首

项求和即可；D项从充分性与必要性两个角度证明.

【详解】对于A，由a1=5>3→a2=5_3=2，a2=2<3→a3=2×2=4，

a3=4>3→a4=4_3=1，a4=1<3→a5=2×1=2，

a5=2<3→a6=2×2=4，a6=4>3→a7=4_3=1，λ,

由递推关系以下过程重复操作，后面各项依次为5,2,4,1,2,4,1,2,

所以数列{an}除了a1=5外，从a2=2开始成周期为3规律，

从a2到a2026共2025项，2025是3的倍数，所以a2026=a2=2，故A错误；

对于B，根据选项A可知，S2026=5+675×(2+4+1)=4730，故B正确；

对于C，取a1=3，则a2=3_3=0，则a3=2a2=0，λ,

依此下去，对n≥2，都有an=0，此时S8=3+0++0=3，

8

S2026=3+0++0=3，即，使得S2026=S8，故C正确；

*

∃a1=3∈N

对于D，若a1<0，则a2=2a1<0，则a3=2a2<0，λ,

*

依此下去，对n∈N，都有an<0，则an+1=2an成立，

故，数列{an}为等比数列；

若数列{an}为等比数列，设公比为q(q≠0)，

假设数列{an}中存在某项ak≥3，则ak+1=ak_3=akq<ak，q<1，

可得ak，又q≠0，解得0<q<1，

n_ka=0

由an=akq，可知n，故必存在某项ap<3，则ap+1=2ap，

即，这与公比0<q<1矛盾，假设错误，

即数列{an}中任意一项都小于3，自然a1<3；

=

再假设数列{an}中存在某项0<aq<3，则aq+1=2aq，即q2，

n_k

则由an=akq，可知n→∞时，an→+∞,且数列{an}为递增数列，

故存在某项am≥3，则am+1=am_3<am，这与数列递增矛盾，假设也错误；

所以数列{an}中也不存在大于0且小于3的项，又等比数列中各项均不为0，

故数列{an}中任意一项均小于0，即a1<0；

综上所述，{an}为等比数列的充要条件是a1<0，故D正确.

三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）

i

12.已知aix，则ai=（用数字作答）

【答案】0

【解析】

【分析】利用二项式定理和赋值法求解即可.

9

i

【详解】由题意可知，令x=1，则ai.1ai=0.

13.在正方形ABCD所在平面内，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上，设

x,y∈R)，则x+2y的最大值为

【答案】3

【解析】

【分析】以A为原点建系，先求圆C的方程，再将向量式转化为点P的坐标，把目标式x+2y转化为求x+y

的最大值，最后用直线与圆相切的几何方法求解，得最大值为3．

【详解】如图，设正方形ABCD的边长为1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，

则各点坐标为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，

直线BD的方程为x+y__1=0，

由题意得，圆C与直线BD相切，

所以圆C的半径r等于点C到直线BD的距离，即r

所以，动点P的轨迹方程为

uuur

因为=(1,0)，AC=(1,1)，所以=x+y=x(1,0)+y(1,1)=(x+y,y)，

设P(xP,yP)，则xP=x+y，yp=y，所以x+2y=xP+yp，

问题转化为：P(x,y)在圆上，求x+y的最大值，

设x+y=t，即x+y_t=0，

当直线x+y_t=0与圆相切时，t取得最值，

10

圆心C(1,1)到直线x+y_t=0的距离等于半径，即解得t=1，t=3，

所以tmax=3，因此，x+2y的最大值为3．

x

14.已知函数f(x)=(x_m)2+2x+2m_4有三个不同的零点x1,x2,x3，且x1<x2<x3，则

222的最小值为

3x1+2x2+x3

【答案】5

【解析】

【分析】易知f(1)=0，当x≠1时将方程变形为m令g，由

g(2_x)=g(x)可得g(x)关于x=1对称，由题意可得m有两个实数根，即函数y=m与

222

g(x)有两个交点，进而得出x2=1，x1+x3=2，代入3x1+2x2+x3，利用一元二次函数的性质可得答

案．

【详解】由题意得f1=(1__m)21+2×1+2m__4=0，

所以1是函数f(x)的一个零点，

当x≠1时，令f(x)=0，可得m

令gx≠1，

所以g(x)关于x=1对称，

x

若要函数f(x)=(x_m)2+2x+2m_4有三个不同的零点x1,x2,x3，

则需满足方程m有两个实数根，

即函数y=m与g(x)有两个交点，且两交点关于直线x=1对称，

又x1<x2<x3，可得x2=1，x1+x3=2，

11

2

所以3xx1=4xx1+6=4

当且仅当x1=，x2=1，x时，等号成立，

此时222的最小值为．

3x1+2x2+x35

四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.如图所示，在四棱锥P_ABCD中，底面是边长为6的正方形ABCD，PA=8，PA丄平面ABCD，

点M是CD的中点，点N是PB的中点．

（1）求证：AB丄MN．

（2）求二面角N_AM_B的余弦值．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）取PA的中点E，连接EN，DE，利用中位线定理得到四边形DMNE为平行四边形，则MN∥DE，

再利用四边形ABCD是正方形得到线线垂直，利用面面垂直的判定即可证明；

（2）利用空间向量计算二面角即可.

【小问1详解】

取PA的中点E，连接EN，DE，

因为点M是CD的中点，点N是PB的中点，

可得EN∥AB，且ENAB，而DMDCAB，且DM∥AB，

所以EN∥DM且EN=DM，所以四边形DMNE为平行四边形，所以MN∥DE，

又因为PA丄平面ABCD，而PAC平面PAD，所以平面PAD丄平面ABCD，

因为ABC平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB丄AD，

所以AB丄平面PAD，而DEC平面PAD，所以AB丄DE，所以AB丄MN；

12

【小问2详解】

以A为坐标原点，以AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

PA=8，底面是边长为6的正方形ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，

则A(0,0,0)，D(6,0,0)，C(6,6,0)，B(0,6,0)，

所以M(6,3,0)，N(0,3,4)，

所以=(6,3,0)，=(0,3,4)，

易得平面AMB的法向量=(0,0,1)，

设平面AMN的法向量为=(x,y,z)，

则，即令x=2，则=(2,_4,3)，

可得.=3，=1，

所以cos

因为二面角N_AM_B的平面角为锐角，所以它的余弦值为cos

*

16.已知数列{an}的前n项和为An，对任意n∈N，满足且a1=1数列{bn}满足

13

lgbn+2_2lgbn+1+lgbn=0，b其前3项和为

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交

，

叉排列”，得到一个新的数列：a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,求这个新数列的前33项和S33.

n

【答案】（），；

1an=nbn

【解析】

【分析】（1）由题意可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，

可求出A再由=可求出数列{}的通项公式由等差中项法可知数列{lgb}为等差

n，anan，n

An

和

数列，从而可得出数列{bn}为等比数列，且设该等比数列的公比为q(q>0)，结合题中条件求出b1q的

值，即可求出数列{bn}的通项公式；

（2）求出数列{bn}的前n项和Bn，对n进行分类讨论，利用等差数列和等比数列的求和公式可得出Sn.

【小问1详解】

a1=1，所以，数列是以1为首项，以为公差的等差数列，:=1+n__

1)=，:An=.

当n≥2时，an=An__Ann.

冰

a1=1也适合上式，所以，an=n(n∈N).

即

lgbn+2_2lgbn+1+lgbn=0，2lgbn+1=lgbn+lgbn+2，

所以，数列{lgbn}为等差数列，设其公差为d，则d=lgbn+1_lgbn=lg

d

，所以，数列{bn}是正项等比数列，设其公比为q，则q>0.

14

由题意可得解得

b1+b

n__1n

n__1

因此，bn=b1q=×=；

【小问2详解】

n+1

数列{a}的前n项和为A=n(，

nn2

数列的前n项和为Bn

*

①当n=2kk∈N时，Sn=Ak+Bk

*

②当n=4k+1(k∈N)时，Sn=A2k+1+B2k

特别地，当n=1时，S1=1也适合上式；

*

③当n=4k__1(n∈N时，Sn=A2k__1+B2k

综上所述，Sn

所以S

17.已知直线l与双曲线有唯一的公共点Q.

（1）若点N(2,4)在直线l上，求满足条件的所有直线l的方程；

（2）已知直线l的斜率为k，且k过点Q且与l垂直的直线交x轴于A(x1,0)，交y轴于B(0,y1)

点.是否存在定点M,N使得当点Q在双曲线上运动时，动点P(x1,y1)使得llPM|_|PNll为定值?若存在，

求出点M,N的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

15

x+/2y_42_2=0，

【答案】（1）

x_y+2=0，

5x+y_14=0

（2）存在定点M,N使得当点Q在双曲线上运动时，动点P(x1,y1)使得llPM|_|PNll为定值，定点坐

标为M(_3·6,0),N(3v6,0)，定值为6s2.

【解析】

【分析】(1)根据题意知直线为切线或者与渐近线平行的直线

(2)根据题意知直线为切线，做法线，找到坐标之间的关系即可得；

【小问1详解】

因为直线l与双曲线有唯一的公共点Q，

所以直线l与双曲线渐近线平行或者与双曲线相切；

双曲线渐近线yx，

情况一：直线l的斜率不存在。

此时直线l的方程为：x=2，不符合题意；

情况二：直线l的斜率存在.

设直线l的方程为：y_4=k(x_2)，即y=kx_2k+4，

将直线方程代入双曲线方程中得到：(1__2k2)x2+(8k2__16k)x__(8k2__32k+40)=0，

直线平行于双曲线的渐近线，此时k，

直线l的方程为：x_2y+42_2=0或者x

直线与圆锥曲线相切，

此时1_2k2≠0，且Δ=__32(k2+4k__5)=0，

设切点，则22，过点的切线方程为

Q(x0,y0)x0_2y0=8Q

因为点N(2,4)在直线l上，所以代入切线方程可得x0=4y0+4，

所以代入双曲线方程得：22，

(4y0+4)_2y0=8→(7y0+2)(y0+2)=0

解得y0=__2或y0=__，

16

当y0=-2时，x0=4×(_2)+4=_4，切点为：(_4,_2)，

切线方程为__4x+4y=8→x_y+2=0，

(|

当y时，x0=4_l+4=，切点为：

(

切线方程为5x+y__14=0，

综上，满足条件的直线l的方程为有以下四条：

x_2y+42_2=0，

x+2y_42_2=0，

x_y+2=0，

5x+y_14=0

【小问2详解】

直线l的斜率为k，且k所以直线l为切线，

由(1)过点Q的切线方程为

所以

ky0≠0，

过点Q且与l垂直的直线（法线）的斜率为：，

法线方程为：y_y

因为该直线交x轴于A(x1,0)，交y轴于B(0,y1)点，

所以令得同理可得

y=0：x1+3y0，所以xx0，y1=3y0，

22

所以动点P的坐标为px0,3y0)，因为x0_2y0=8，

所以设px,y，则xx0,y=3y0，

所以化简得，

所以动点P的轨迹方程为

17

根据双曲线的定义，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为常数2a，

因为

所以a2=18→a=32,b2=36,c2=a2+b2=18+36=54→c=54=36，

该双曲线的焦点坐标为：F1(__36,0,F236,0)，

对于双曲线上的任意点，都有||PM|_|PN||=2a=6/2，

所以存在定点M,N使得当点Q在双曲线上运动时，动点P(x1,y1)使得llPM|_|PNll为定值，定点坐标

为M(__36,0,N36,0)，定值为62.

x

18.已知函数f(x)=e.cosx（e为自然对数的底数）.

（1）求证：x∈(0,π)时，f(x)<x+1；

（2）设f(x)=m(_2π<x<2π)的解为xi（i=1，2，…),xi>xi+1.

①当xi时，求xi_f(xi+1)的取值范围；

②判断是否存在xi<π,使得xi+xi+1≥成立，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；

②不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】(1)根据给定条件构造函数g(x)=f(x)_x_1，利用导数探讨其单调