2025-2026学年湖南长沙市明达教学共同体高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南长沙市明达教学共同体高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，4，5}，集合B={1，3，5，7}，则（∁UA）∩（∁UB）=（）A.{6，8} B.{6} C.{8} D.{1，6，8}2.已知a＞b＞0，c＞0，d＜0，则下列正确的是（）A. B. C.ac＜bc D.ad＞bd3.设，为非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知函数f（x）=2x+3x,当f（x）=7时，x的范围所在的区间为（）A. B. C. D.5.某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定：

（1）5km以内（含5km）票价2元，

（2）5km以上，每增加5km,票价增加1元，（不足5km的按5km计算）

第一期开通的路线为20km,请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（）A. B.

C. D.6.已知为不共线的非零向量，，，，则（）A.A，B，C三点共线 B.A，B、D三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线7.下列命题中正确的数是（）A.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α

B.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行

C.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

D.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点8.在△ABC，中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且面积为S，若bcosC+ccosB=asinA，S=（b2+a2-c2），则角B等于（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知向量，，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若∥，则x=±2

C.若x=1，则 D.若x=1，则与的夹角为锐角10.已知复数z=m+1+（m2-1），则下列说法正确的是（）A.若z为实数，则m=±1 B.若z为虚数，则m≠±1

C.若z为纯虚数，则m=-1 D.复数z的虚部为（m2-1）i11.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A.f（x）的图像关于点对称

B.f（x）的图像关于直线对称

C.将函数的图像向左平移个单位长度得到函数f（x）的图像

D.若方程f（x）=m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知，||=2，且与夹角120°，则=

.13.在△ABC中，已知a=5，b=2，C=，则sinB=

.14.如图，在△ABC中，，，，m＞0，n＞0，若D，E，F三点共线，则m+n的最小值为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数的最大值为1.

（1）求常数a的值；

（2）求函数f（x）的单调递减区间.16.(本小题15分)

在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a,b,c,已知A=45°，，.

（1）求b；

（2）求△ABC的面积S.17.(本小题15分)

已知向量，且与的夹角为.

（1）求m及；

（2）若与所成的角是锐角，求实数λ的取值范围.18.(本小题17分)

如图所示，底面边长为的正四棱锥P-ABCD被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥P-A1B1C1D1.

（1）求棱台A1B1C1D1-ABCD的体积；

（2）求棱台A1B1C1D1-ABCD的表面积.19.(本小题17分)

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点：当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且b=acosC.

（1）求A；

（2）若，设点P为△ABC的费马点，求；

（3）设点P在三角形内，到三角形的三个顶点的距离之和的最小值为L，若L=t|PA|，求实数t的最小值.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】AD

10.【答案】AB

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】0

[+2kπ，+2kπ]，k∈Z

16.【答案】b=或

S=或

17.【答案】解：（1）因为，且与的夹角为，

所以=，

解得m=-1，

则，

所以；

（2）因为，

所以

​​​​​​​，

由于与所成的角是锐角，

所以，，

解得且λ≠2，

所以实数λ的取值范围为．

18.【答案】解：（1）底面边长为的正四棱锥P-ABCD被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥P-A1B1C1D1．

所以原棱锥的高为8，

所以正四棱锥P-ABCD的体积为=，

截去的正四棱锥P-A1B1C1D1的体积为=，

所以棱台的体积为-=．

（2）棱台A1B1C1D1-ABCD的表面积：=112．

19.【答案】解：（1）由b=acosC得sinB=sinAcosC，

结合sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，可得cosAsinC=0，

因为△ABC中sinC＞0，所以cosA=0，即；

（2）由（1）得，所以三角形ABC的三个角都小于120°，

由费马点定义，可知∠APB=∠BPC=∠APC=120°，设，，，

由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，得•+•+•=，整理得xy+yz+zx=4，

则=xyyzzx=×4=-2；

（3）点P为△ABC的费马点，则，

设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x,m＞0，n＞0，x＞0，

则由|PB|+|PC|+|PA|=t|PA|，得m+n+1=t.

由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2-mx2cos=（m2+m+1）x2，

，，

由|AC|2+|AB|2=|BC|2，可得（n2+n+1）x2+（m2+m+1）x2=（m2+n2