湖北省部分高中联考2025-2026学年高二下学期学科素养测评（期中）数学试卷（含答案）

湖北咸宁市崇阳县第一中学等校2025-2026学年高二下学期数学学科素养测评试题一、单选题1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，3，6，10被称为三角形数，将所有的三角形数从小到大依次排列，则其第7个数为（

）A．15 B．21 C．28 D．362．某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，若质点在这段时间内的平均速度等于时的瞬时速度，则（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3.53．有3封不同的信投入4个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（

）A．81 B．64 C．24 D．124．若成等差数列；成等比数列，则等于（

）A．8 B． C． D．45．已知函数在处有极小值，则实数的值为（

）A．4或12 B．12 C．4 D．4或86．在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于四点，若点构成圆圆周的四等分点，圆的直径长度是双曲线实轴长的2倍，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．7．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（

）A．第12行中第6个数最大B．第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等C．D．第19行中第8个数与第9个数之比为2:38．若函数有两个极小值点，且存在满足条件的、使得有解，则整数m的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．已知数列的首项，则（

）A．是等比数列 B．C．数列的前项和为 D．数列的前项和小于10．下列说法正确的有（

）A．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则有48种排法B．三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则有144种排法C．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有360种不同的分法D．将6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法11．已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过的直线与交于A、B两点（在第一象限），与准线交于，过A、B分别向的准线作垂线，垂足分别为，则下列命题正确的是（

）A．若，则的斜率为B．若为等边三角形，则C．若，则直线的倾斜角为D．若的面积为，则三、填空题12．若，则的值被8除的余数为____________．13．已知数列的前项和为，且，若保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则____________．14．已知对定义域内任意，都有成立，则的取值范围为____________．四、解答题15．已知在的展开式中常数项为，且．(1)求二项式系数最大的项和系数绝对值最大的项．(2)从展开式中的所有项中任取四项，取出的四项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法．16．已知函数，在处切线的斜率为．(1)求的单调区间．(2)若在上取到最小值，求实数a的取值范围．17．已知数列的前项和满足．(1)证明数列为等差数列．(2)求数列的前项和．(3)若不等式对任意恒成立，求的取值范围．18．已知椭圆焦距为4，短轴长为4．(1)求椭圆的方程．(2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．19．对，若函数在有，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若满足，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”．(1)判断函数的凹凸性．(2)若，令，求的最小值．(3)为（2）问所得结果，证明不等式：．参考答案题号12345678910答案CBBACBDCADAD题号11答案ABD1．C【详解】由题图及三角形数知：后一个数与前一个数的差依次为2，3，4，5，6，，所以三角形数依次为1，3，6，10，15，21，28，即第7个数为28.2．B【详解】由题意得：，所以质点在这段时间内的平均速度为：，又，所以，解得.3．B【详解】解：根据题意，不同的投入方法种数有种．4．A【详解】由成等差数列，得，解得，，解得，由成等比数列，设公比为q，则，解得，所以，则.5．C【详解】由函数，可得，因为函数在处取得极小值，可得，解得或，当时，令，解得或；令，解得，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处有极小值，符合题意，当时，令，可得或；令，可得，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处有极大值，不符合题意，舍去.综上可得，.6．B【详解】由已知圆的直径为4，又直径长度是双曲线C实轴长的2倍，所以，所以.因为点构成圆O圆周的四等分点，所以四等分点到圆心的距离为半径，且四点与原点构成的连线互相垂直.即如图所示：设圆与轴交于点N，所以，且，所以设是圆与双曲线的交点，所以或解得或或或，所以四等分点的坐标为,把代入中，得，解得，所以双曲线C的离心率.7．D【详解】选项A：由题意得，第12行共有13个数，根据对称性可得，只有第7个数最大，故A错误；选项B：第2026行共有2027个数，根据对称性可得，只有第1014个数最大，即第1013个数与第1014个数不相等，故B错误；选项C：，故C错误；选项D：第19行中第8个数为，第9个数为，则，故D正确.8．C【详解】当时，令，则，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，，且，当时，，故存在使，又，故，则当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减；当时，，单调递增，故为的两个极小值点，且满足则，令，得则，令，则，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，，故在内存在唯一零点，即，且当时，，，则单调递减；当时，，则单调递增，则，由，又对勾函数在单调递减可得：得，故整数的最小值为3．9．AD【详解】因为，所以，所以，所以，又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，A正确所以，所以，故B错误；因为数列的前项和为，所以C不正确；记数列的前项和为，因为，所以，故D正确．10．AD【详解】解：对于A，先捆绑甲和乙，再全排，则有种排法，故A正确；对于B，先排学生，再老师插空，中间两空必须有教师，则有种，故B错误；对于C，根据题意，分组可为；；，当分组为时，共有种；当分组为时，共有种；当分组为时，共有种；综上，共有种，故C错误；对于D，根据隔板法可知，共有种，故D正确．11．ABD【详解】依题意，抛物线的准线方程为，解得，则抛物线C的方程为，，设直线l的方程为，联立，得，则，选项A：由抛物线定义，得，代入抛物线方程得，即，又，所以的斜率，故A正确；选项B：若为等边三角形，则直线l的倾斜角为，斜率为，即，解得，所以，故B正确；选项C：直线l的方程为，令，得，则，因，由，得，整理得，由，得，又，所以，解得，则直线的斜率，故C错误；选项D：若的面积，又，解得，又，所以，同理，则，故D正确.12．1【详解】令，得，因为，所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即，当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即，所以，又，故被除余1．13．63【详解】当时，，所以，当时，，不符合上式，所以数列的通项公式为，保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个2，新数列的前20项为，则.14．【详解】因为，所以，又，则，即，令，则，所以函数在上单调递减，所以在上恒成立，所以，即，令函数，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，因为，所以，显然恒成立；当时，单调递增，恒成立等价于恒成立，两边取对数得，故，令函数，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，综上所述，正实数的取值范围为.15．(1)，(2)111【详解】（1）根据展开式的通项可得，令，解得．常数项，解得，所以二项式系数最大的项，设第项系数的绝对值最大，则，即，又，所以或3，即第3项和第4项系数的绝对值最大，即；（2）令，解得，即展开式中的有理项共有3项，无理项有6项；所以从展开式中的所有项中任取四项，取出的四项中既有有理项也有无理项的取法共有种．16．(1)增区间为，减区间为(2)【详解】（1）由题意，在处切线的斜率为，，则，，令，解得或，令，解得，的增区间为，减区间为.（2）由题意可知，，由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减．又，当时，，令，则，即，解得或，当时，，的取值范围为．17．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）由题意知：当时，，得，当时，，又，两式相减得，即，，又，∴数列是以为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）知：，即，则，，.（3）不等式等价于，记，则，所以，时，，∴当时，，即，当时，，即得，所以.18．(1)(2)在定直线上【详解】（1）依题意可得，解得，则，所以椭圆的方程为；（2）点在定直线上，理由如下：设点，联立，与直线联立消去，整理得，由，得且，所以，易知，